Язык доказательства

7 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: наглядная геометрия 6 класса: прямые, углы, треугольники, транспортир

В 6 классе ты измерял, строил и сравнивал. Транспортир показывал $58°$, линейка — $7{,}2$ см, и этого хватало. Теперь появляется вопрос, на который измерение не отвечает: точно равны или просто похожи?

Два отрезка на чертеже могут отличаться на десятую долю миллиметра — глаз этого не увидит, транспортир не покажет. Значит, нужен другой инструмент: рассуждение, которое верно для всех чертежей сразу, а не только для того, что лежит перед тобой.

◎ После урока ты сможешь

• отличать определение, аксиому и теорему и понимать, зачем нужен каждый вид утверждения
• доказывать равенство углов и треугольников ссылками на уже доказанное
• применять признаки равенства треугольников и свойства равнобедренного треугольника
• работать с параллельными прямыми, суммой углов треугольника и внешним углом

✦ Чертёж — это черновик мысли

Рисунок подсказывает, что доказывать, но сам ничего не доказывает. Он всегда сделан с погрешностью и всегда изображает один частный случай. Доказательство работает для любого треугольника, в том числе для того, который ты никогда не нарисуешь.

Три вида утверждений

• Определение говорит, что означает слово. «Смежные углы» — это не «углы, которые рядом», а точно описанная конфигурация.
• Аксиома принимается без доказательства. Например: через любые две точки проходит ровно одна прямая. Аксиом мало, и они очень простые.
• Теорема — утверждение, которое выводится из определений, аксиом и уже доказанных теорем. Такой вывод и называется доказательством.

Некоторые слова вообще не определяются: точка, прямая, лежать между. Их смысл задают аксиомы. Иначе определения ходили бы по кругу: «прямая — это линия», «линия — это прямая».

Входная диагностика

Ответь по памяти, опираясь на 6 класс.

1. Сколько прямых проходит через две различные точки?
2. Как называется угол в $90°$? А в $180°$?
3. Какой угол называют тупым?
4. Как расположены две прямые на плоскости, если они не пересекаются?
5. Какой треугольник называют равнобедренным? А равносторонним?
6. Как найти расстояние от точки до прямой?
7. Что такое биссектриса угла?
8. Что такое медиана треугольника?

Ответы для самопроверки

1. Ровно одна.
2. Прямой; развёрнутый.
3. Больше прямого, но меньше развёрнутого.
4. Они параллельны.
5. У равнобедренного две стороны равны, у равностороннего — все три.
6. Провести перпендикуляр из точки к прямой и измерить его.
7. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
8. Отрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны.

Если что-то забылось, загляни в главу «Фигуры, меры и пространство» — особенно в уроки про углы и треугольники.

Договорённости главы

• Каждое новое утверждение либо определение, либо аксиома, либо теорема с доказательством. Четвёртого не дано.
• В доказательстве разрешено ссылаться только на то, что уже доказано раньше. Ссылка вперёд — это не доказательство, а обещание.
• Все чертежи в лабораториях построены по вычисленным данным: если на картинке угол равен $47°$, значит он ровно $47°$, а не «примерно».
• Оформление доказательства: Дано — Доказать — Доказательство — знак завершения $\blacksquare$.

Маршрут главы

1. Определения, аксиомы и первые теоремы — смежные и вертикальные углы: первые два утверждения, которые мы честно докажем.
2. Признаки равенства треугольников — три совпадения вместо шести.
3. Равнобедренный треугольник — как одно равенство сторон порождает целую цепочку свойств.
4. Параллельные прямые — признаки, аксиома параллельных и свойства углов при секущей.
5. Сумма углов треугольника — главная теорема главы и внешний угол.
6. Практикум — собираем доказательства из нескольких шагов.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с первых двух теорем — они короткие, и на них держится вся остальная глава.