2.5 Разложение на множители

7 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: распределительное свойство, умножение многочленов, формулы сокращённого умножения

Нужно вычислить $73^2-27^2$. В столбик это две операции возведения в квадрат и одно вычитание: $5329-729=4600$.

А можно так: $(73-27)(73+27)=46\cdot100=4600$. Второй путь короче в уме — потому что разность превратили в произведение.

◎ После урока ты сможешь

• выносить общий множитель за скобки и проверять результат обратным умножением
• раскладывать многочлен на множители способом группировки
• применять формулы сокращённого умножения справа налево
• доводить разложение до конца и объяснять, почему оно завершено

Прогноз до вычислений

• Что общего у всех членов многочлена $6x^2+9x$?
• Можно ли записать этот многочлен в виде произведения двух множителей?
• Зачем вообще превращать сумму в произведение, если сумму считать привычнее?

Зачем нужно произведение

Произведение устроено удобнее суммы в трёх случаях: при вычислениях в уме, при сокращении дробей и при поиске значений, обращающих выражение в ноль. Последнее особенно важно: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Для суммы такого правила нет.

Эта фраза — не попутное замечание, а главная причина всего урока. В 8 классе она станет отдельным правилом $A\cdot B=0\iff A=0$ или $B=0$ и будет решать неполные квадратные уравнения, а в 9 классе — уравнения любой степени. Всё, чему ты научишься здесь, работает на этот один ход.

∴ Разложить на множители

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких многочленов (или одночлена и многочлена).

Это тождественное преобразование: значение выражения не меняется ни при каких значениях букв. Поэтому результат всегда можно проверить обратным умножением.

Способ 1. Вынесение общего множителя

Распределительный закон читается в обе стороны. Слева направо он раскрывает скобки, справа налево — собирает их обратно. Включи в лаборатории режим «Собрать обратно» и посмотри на этот же переход в числах.

Лаборатория распределительного закона

Умножить сумму целиком или по частям

Направленные полосы сохраняют знак каждого вклада — в том числе при отрицательном множителе.

a(b ± c)

ЦеликомПо частямСобрать обратно

Множитель 3

−+

От −10 до 10, шаг 1.

Значение x 2

−+

От −10 до 10, шаг 1.

Число в скобках 4

−+

От −10 до 10, шаг 1.

3 · (2 + 4)=6 + 12=18

1. 1

   Внутри скобок. 2 + 4 = 6.

2. 2

   Распределяем множитель. Первый вклад — 3 · 2 = 6, второй — 3 · (4) = 12.

3. 3

   Сверяем. Оба маршрута дают 18.

=

3 · (2 + 4) = 6 + 12 = 18Обратный ход собирает общий множитель за скобками.

↺ Вернуть пример

Общий множитель ищут в два приёма: наибольший общий делитель коэффициентов и наименьшая степень каждой общей буквы.

$6x^2+9x:\quad \text{НОД}(6;9)=3,\quad \text{наименьшая степень } x \text{ равна } 1.$

Значит, выносим $3x$:

$6x^2+9x=3x(2x+3).$

Проверка обратным умножением: $3x\cdot2x+3x\cdot3=6x^2+9x$.

! Потерянная единица в скобках

При разложении $5x^2+5x$ второй член сам равен вынесенному множителю $5x$. Многие пишут $5x(x)$ и теряют слагаемое.

Верно: $5x^2+5x=5x(x+1)$, потому что $5x=5x\cdot1$. Обратное умножение сразу ловит ошибку: $5x\cdot x=5x^2$ — второго члена нет.

Способ 2. Группировка

Если общего множителя у всех членов нет, его иногда можно найти у частей.

$x^3-2x^2+5x-10.$

Сгруппируем первые два члена и последние два:

$(x^3-2x^2)+(5x-10)=x^2(x-2)+5(x-2).$

Теперь общий множитель появился — это скобка $(x-2)$:

$x^2(x-2)+5(x-2)=(x-2)(x^2+5).$

Группировка удаётся не при любом разбиении: если после вынесения скобки получились разными, попробуй сгруппировать члены по-другому.

Способ 3. Формулы сокращённого умножения справа налево

Те же три формулы, прочитанные в обратную сторону, сразу дают множители:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$

Модель разности квадратов показывает это буквально: фигура площадью $a^2-b^2$ перекладывается в прямоугольник со сторонами $a+b$ и $a-b$. Посчитай площадь по рисунку и проверь себя.

Лаборатория формул сокращённого умножения

Формула как разрезанный квадрат

Каждое слагаемое формулы — это площадь настоящего куска фигуры. Меняй a и b: пропорции на рисунке пересчитываются честно.

a² − b² = (a + b)(a − b)

Отрезок a 9

−+

Целое число от 2 до 12 условных единиц.

Отрезок b 4

−+

Целое число от 1 до 8 условных единиц.

Для этих двух моделей нужно a > b: иначе вырезаемый квадрат не помещается.

a² − b² = (a + b)(a − b)→ответ закрыт до проверки

Площадь оставшейся фигурыПроверить

1. 1

   Вырезаем. Из 9² = 81 убираем 4² = 16; остаётся ?.

2. 2

   Перекладываем. Два куска дают прямоугольник со сторонами 9 + 4 = 13 и 9 − 4 = 5.

3. 3

   Сверяем. Площадь не изменилась: 13 · 5 = ?.

?

Посчитай площадь по рисунку и нажми «Проверить».Площадь при перекладывании не меняется, поэтому a² − b² и (a + b)(a − b) — одно и то же число при любых a и b.

↺ Вернуть пример

Разложим 5a³ − 20aРазбираем вместе

Сначала общий множитель. НОД коэффициентов $5$ и $20$ равен $5$, наименьшая степень $a$ равна $1$:

$5a^3-20a=5a(a^2-4).$

Разложение ещё не закончено: в скобках стоит разность квадратов, ведь $4=2^2$.

$a^2-4=(a-2)(a+2).$

Итого:

$5a^3-20a=5a(a-2)(a+2).$

Проверка при $a=3$: слева $135-60=75$, справа $15\cdot1\cdot5=75$.

✦ Порядок действий при разложении

1. Вынеси общий множитель, если он есть.
2. Посмотри, не подходит ли формула сокращённого умножения.
3. Если членов четыре — попробуй группировку.
4. Проверь каждый полученный множитель: возможно, он раскладывается дальше.

Проверка понимания

Разложи на множители 4x² − 4x.

• А. 4x(x − 1)
• Б. 4x(x)
• В. 4(x² − x)

Практика

1. Вынеси общий множитель: $7a+7b$.
2. Вынеси общий множитель: $6x^2-9x$.
3. Вынеси общий множитель: $a^3+a^2$.
4. Вынеси общий множитель: $5m^2n-10mn^2$.
5. Разложи группировкой: $ax+ay+bx+by$.
6. Разложи группировкой: $x^3-2x^2+5x-10$.
7. Разложи по формуле: $y^2-81$.
8. Разложи по формуле: $m^2+14m+49$.
9. Разложи по формуле: $4a^2-25b^2$.
10. Вычисли рационально $73^2-27^2$.

Ответы и пояснения

1. $7(a+b)$.
2. $3x(2x-3)$.
3. $a^2(a+1)$ — не забудь единицу: $a^2=a^2\cdot1$.
4. $5mn(m-2n)$.
5. $a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$.
6. $x^2(x-2)+5(x-2)=(x-2)(x^2+5)$.
7. $(y-9)(y+9)$.
8. $(m+7)^2$, так как $14m=2\cdot m\cdot7$ и $49=7^2$.
9. $(2a)^2-(5b)^2=(2a-5b)(2a+5b)$.
10. $(73-27)(73+27)=46\cdot100=4600$.

Итог

• Разложение на множители — тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок.
• Общий множитель составляют НОД коэффициентов и наименьшая степень каждой общей буквы.
• Группировка работает, когда после вынесения в частях получается одна и та же скобка.
• Формулы сокращённого умножения читаются в обе стороны.
• Ответ проверяется обратным умножением; разложение завершено, когда ни один множитель дальше не раскладывается.

Осталось собрать все приёмы вместе и научиться выбирать нужный без подсказки — этим займётся практикум.

← Формулы сокращённого умножения · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным