Геометрический синтез

9 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: теорема Пифагора, тригонометрия острого угла, подобие, окружность и круг

В 8 классе тригонометрия жила только внутри прямоугольного треугольника. Стоило углу стать тупым — и определение «противолежащий катет делить на гипотенузу» переставало иметь смысл: катетов нет, гипотенузы нет.

Но задачи от этого не исчезли. Геодезист измеряет расстояние до точки на другом берегу. Инженер считает затяжку стропильной фермы. Плиточник размечает восьмиугольную клумбу. Во всех трёх случаях треугольник произвольный, и нужен инструмент, который работает всегда.

Эта глава даёт такой инструмент. Мы расширим синус и косинус на все углы от $0°$ до $180°$, получим две теоремы, которые связывают стороны и углы любого треугольника, и научимся восстанавливать треугольник целиком по трём подходящим числам.

◎ После урока ты сможешь

• находить синус и косинус углов от 0° до 180° и пользоваться формулами приведения
• применять теорему косинусов в прямом и обратном направлении
• применять теорему синусов и связывать её с радиусом описанной окружности
• решать треугольник по трём данным и различать надёжные и неоднозначные наборы
• вычислять размеры правильных многоугольников, длину окружности и площадь круга и сектора

✦ Одна формула вместо трёх случаев

Теорема Пифагора работает только при прямом угле. Теорема косинусов работает при любом — и в прямоугольном случае превращается в теорему Пифагора, потому что $\cos 90° = 0$. Так устроено большинство обобщений в математике: новое правило не отменяет старое, а содержит его как частный случай.

Входная диагностика

Сначала отвечай без вычислений, где это возможно.

1. Чему равна сумма углов треугольника?
2. Найди $\sin 30°$, $\cos 60°$ и $\cos 45°$.
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны $5$ и $12$. Чему равна гипотенуза?
4. Стороны треугольника равны $3$, $4$ и $5$. Какой это треугольник?
5. Как найти площадь треугольника по основанию и высоте?
6. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
7. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
8. Радиус окружности равен $5$ см. Чему равны длина окружности и площадь круга?
9. Существует ли треугольник со сторонами $2$, $3$ и $6$?

Ответы для самопроверки

1. $180°$.
2. $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$; $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$; $\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
4. Прямоугольный: $9 + 16 = 25$.
5. $S = \dfrac{1}{2}ah$.
6. $90°$ — это теорема о вписанном угле.
7. $(5-2)\cdot180° = 540°$.
8. $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ см; $S = \pi\cdot 25 = 25\pi \approx 78{,}5\text{ см}^2$.
9. Нет: $2 + 3 = 5 < 6$, неравенство треугольника нарушено.

Если что-то из этого списка вспоминается с трудом, загляни в теорему Пифагора и в урок «Окружность и круг».

Договорённости главы

• Стороны треугольника обозначаем $a$, $b$, $c$, а противолежащие им углы — $A$, $B$, $C$. Сторона $a$ всегда лежит против угла $A$.
• Углы измеряем в градусах; синус и косинус определены для всех углов от $0°$ до $180°$ включительно.
• Точный ответ оставляем точным ($c = \sqrt{79}$, $S = 10\sqrt{3}$) и только потом округляем со знаком $\approx$. Углы округляем до десятых долей градуса, длины — до сотых.
• Табличные значения для $30°$, $45°$, $60°$ знаем наизусть; остальные берём с калькулятора и честно помечаем как приближённые.
• Все чертежи в лабораториях построены по вычисленным координатам: если на картинке угол выглядит тупым, он тупой и по данным.

Маршрут главы

1. Теорема косинусов — синус и косинус углов от $0°$ до $180°$, третья сторона по двум сторонам и углу, вид треугольника по трём сторонам.
2. Теорема синусов — пропорция «сторона к синусу», описанная окружность и площадь через синус.
3. Решение треугольников — четыре набора данных, порядок действий и честный разговор о неоднозначности.
4. Правильные многоугольники и круг — вписанная и описанная окружности, длина окружности, площадь круга и сектора.
5. Практикум — измеряем недоступное: ширина реки, стропильная ферма, разметка площадки.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с теоремы косинусов: на ней держится вся остальная глава.