4.5 Практикум: измеряем недоступное

9 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 4.1–4.4

Школа получила участок у реки под учебный полигон. Нужно измерить ширину реки, не переплывая её; рассчитать деревянную ферму для навеса; разметить восьмиугольную клумбу и сектор газона.

Ни одна задача не подписана «здесь теорема синусов». Сначала решаешь, какой инструмент подходит, и только потом считаешь.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать теорему по набору доступных измерений
• переводить реальную ситуацию в треугольник и обратно
• проверять результат вторым способом и оценивать его правдоподобие
• называть ограничения своей модели

Станция 1. Ширина реки

Дерево $C$ стоит на другом берегу. Вдоль своего берега размечен базис $AB = 40$ м; теодолитом измерены углы $\angle A = 60°$ и $\angle B = 75°$.

Лаборатория работает с базисом $10$ м. Наша разметка вчетверо больше, поэтому все длины на чертеже нужно умножить на $4$: форма треугольника от масштаба не зависит, а длины меняются пропорционально.

Лаборатория решения треугольников

Достроить треугольник по трём числам

Чертёж строится из данных, а не рисуется на глаз: длины и углы на картинке настоящие. Меняй набор данных и следи, какая теорема нужна первой.

задача

Три стороныДве стороны и угол между нимиСторона и два угла

Сторона c = AB10 м

−+

От 3 до 15 м

Угол A60°

−+

От 15° до 150°

Угол B75°

−+

Сумма A и B не больше 165°

Сторона a, мПроверить

?

Найди сторону a, лежащую против угла A.Третий угол — по сумме углов, две стороны — по теореме синусов.

↺ Вернуть пример

От базиса к ширине рекиРазбираем вместе

Третий угол: $\angle C = 180° - 60° - 75° = 45°$.

Сторона $AC$ лежит против угла $B$:

$AC = \frac{AB\cdot\sin B}{\sin C} = \frac{40\cdot\sin 75°}{\sin 45°} \approx \frac{40\cdot0{,}9659}{0{,}7071} \approx 54{,}64 \text{ м}.$

Но ширина реки — это не $AC$, а расстояние от дерева до прямой берега, то есть высота из $C$:

$h = AC\cdot\sin A \approx 54{,}64\cdot0{,}8660 \approx 47{,}32 \text{ м}.$

Проверка. Ту же высоту можно получить из вершины $B$: $BC = \dfrac{40\sin 60°}{\sin 45°} \approx 48{,}99$ м, и тогда $h = BC\cdot\sin B \approx 48{,}99\cdot0{,}9659 \approx 47{,}32$ м. Совпало.

Ограничение модели. Мы считаем берег прямой линией, а базис — горизонтальным. Ошибка в $1°$ при измерении угла даёт здесь примерно полметра в ответе, поэтому углы измеряют дважды.

Станция 2. Стропильная ферма

Навес держат две стропильные ноги длиной $5$ м и $7$ м, сходящиеся в коньке под углом $100°$. Их нижние концы соединяет горизонтальная затяжка. Сколько метров бруса нужно на затяжку?

Лаборатория решения треугольников

Достроить треугольник по трём числам

Чертёж строится из данных, а не рисуется на глаз: длины и углы на картинке настоящие. Меняй набор данных и следи, какая теорема нужна первой.

задача

Три стороныДве стороны и угол между нимиСторона и два угла

Сторона b = AC5 м

−+

От 3 до 15 м

Сторона c = AB7 м

−+

От 3 до 15 м

Угол A100°

−+

От 15° до 150°

Сторона a, мПроверить

?

Найди сторону a, лежащую против угла A.Сначала теорема косинусов даёт третью сторону, затем находятся оставшиеся углы.

↺ Вернуть пример

Затяжка и площадь фермыРазбираем вместе

Известны две стороны и угол между ними — работает теорема косинусов. Косинус тупого угла отрицателен: $\cos 100° \approx -0{,}1736$.

$a^2 = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cdot(-0{,}1736) \approx 74 + 12{,}16 = 86{,}16,$

откуда $a \approx 9{,}28$ м.

Проверка границами. При $90°$ вышло бы $\sqrt{74} \approx 8{,}60$ м, при $180°$ — ровно $12$ м. Значение $9{,}28$ лежит между ними и ближе к нижней границе, как и положено углу $100°$.

Площадь треугольника фермы: $S = \dfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin 100° \approx 17{,}5\cdot0{,}9848 \approx 17{,}23\text{ м}^2$ — по ней считают площадь зашивки фронтона.

Станция 3. Клумба и сектор газона

Клумба имеет форму правильного восьмиугольника со стороной $2$ м. Её обносят бордюром, а внутри засыпают грунтом слоем $15$ см.

Лаборатория круга и правильных фигур

Многоугольник, вписанный в окружность

Все размеры вычисляются из числа сторон и одной длины. Чертёж честный: отношение радиусов на картинке ровно такое, каким его даёт формула.

задача

Правильный многоугольникДуга и сектор

Число сторон n8

−+

От 3 до 12

Сторона a2 м

−+

От 2 до 10 м

Площадь, м²Проверить

?

Найди площадь: правильный восьмиугольник со стороной 2 м.Апофема известна: r = 2,41 м. Площадь равна половине произведения периметра на апофему.

↺ Вернуть пример

Бордюр, грунт и колышкиРазбираем вместе

Периметр $P = 8\cdot2 = 16$ м — столько нужно бордюрной ленты.

Апофема: $r = \dfrac{2}{2\operatorname{tg} 22{,}5°} \approx 2{,}41$ м, поэтому

$S = \frac{1}{2}\cdot16\cdot2{,}41 \approx 19{,}31\text{ м}^2, \qquad V \approx 19{,}31\cdot0{,}15 \approx 2{,}90\text{ м}^3.$

Чтобы разметить клумбу на местности, нужен радиус описанной окружности: $R = \dfrac{2}{2\sin 22{,}5°} \approx 2{,}61$ м. Ставим колышек в центр, чертим окружность радиуса $2{,}61$ м и откладываем по ней восемь дуг по $\dfrac{360°}{8} = 45°$.

Рядом с клумбой размечают газон в форме кругового сектора: радиус $6$ м, центральный угол $120°$.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или приближённое и какое допущение модели использовано. Ответ «$47{,}32$» без паспорта проверить невозможно; ответ «ширина реки $\approx 47{,}3$ м, приближённо, при допущении прямого берега» — можно.

Проверка понимания

Доступны только два измерения на своём берегу: длина базиса и два угла с его концов на дальний объект. Какой инструмент даст расстояние до объекта?

• А. Сумма углов и теорема синусов
• Б. Теорема косинусов
• В. Теорема Пифагора

Итоговый набор задач

1. В треугольнике $b = 9$, $c = 12$, угол между ними равен $60°$. Найди третью сторону.
2. Стороны треугольника равны $7$, $9$ и $14$. Определи его вид и найди наибольший угол.
3. В треугольнике $a = 12$, $\angle A = 30°$, $\angle B = 105°$. Найди остальные стороны.
4. Найди радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $6$, $8$, $10$.
5. Найди площадь треугольника со сторонами $10$ и $14$ и углом $150°$ между ними.
6. Площадь треугольника равна $36$, две его стороны равны $9$ и $16$. Найди угол между ними.
7. Найди внутренний и центральный углы правильного девятиугольника.
8. Правильный шестиугольник имеет сторону $5$ м. Найди периметр, оба радиуса и площадь.
9. Найди длину окружности и площадь круга радиуса $8$ см.
10. Радиус равен $9$ см, дуга — $40°$. Найди длину дуги и площадь сектора.
11. Катер прошёл $15$ км строго на север, повернул на $40°$ вправо и прошёл ещё $20$ км. На каком расстоянии от старта он оказался?
12. Треугольный участок имеет стороны $40$, $50$ и $60$ м. Найди его площадь и наибольший угол.

Ответы, модели и проверки

1. $a^2 = 81 + 144 - 2\cdot9\cdot12\cdot\dfrac{1}{2} = 225 - 108 = 117$, поэтому $a = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}82$.
2. $14^2 = 196 > 49 + 81 = 130$ — тупоугольный. $\cos = \dfrac{130 - 196}{2\cdot7\cdot9} = -\dfrac{66}{126} \approx -0{,}5238$, наибольший угол $\approx 121{,}6°$.
3. $\angle C = 45°$; $2R = \dfrac{12}{\sin 30°} = 24$; тогда $b = 24\sin 105° \approx 23{,}18$ и $c = 24\sin 45° = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$.
4. $6^2 + 8^2 = 10^2$ — треугольник прямоугольный, гипотенуза является диаметром, поэтому $R = 5$.
5. $S = \dfrac{1}{2}\cdot10\cdot14\cdot\sin 150° = 70\cdot0{,}5 = 35$.
6. $\sin \alpha = \dfrac{2\cdot36}{9\cdot16} = \dfrac{72}{144} = 0{,}5$, поэтому $\alpha = 30°$ или $\alpha = 150°$.
7. Внутренний $\dfrac{7\cdot180°}{9} = 140°$; центральный $\dfrac{360°}{9} = 40°$.
8. $P = 30$ м; $R = 5$ м; $r = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33$ м; $S = \dfrac{1}{2}\cdot30\cdot4{,}33 \approx 64{,}95\text{ м}^2$ (точно $37{,}5\sqrt{3}$).
9. $C = 16\pi \approx 50{,}27$ см; $S = 64\pi \approx 201{,}06\text{ см}^2$.
10. $l = \dfrac{\pi\cdot9\cdot40}{180} = 2\pi \approx 6{,}28$ см; $S = \dfrac{\pi\cdot81\cdot40}{360} = 9\pi \approx 28{,}27\text{ см}^2$.
11. Поворот на $40°$ означает, что угол треугольника в точке поворота равен $180° - 40° = 140°$. Тогда $d^2 = 225 + 400 - 2\cdot15\cdot20\cdot\cos 140° \approx 625 + 459{,}6 = 1084{,}6$ и $d \approx 32{,}93$ км. Правдоподобие: $32{,}93$ меньше $15 + 20 = 35$ и больше $20 - 15 = 5$.
12. По формуле Герона $p = 75$ и $S = \sqrt{75\cdot35\cdot25\cdot15} = 375\sqrt{7} \approx 992{,}2\text{ м}^2$. Наибольший угол лежит против стороны $60$: $\cos = \dfrac{1600 + 2500 - 3600}{2\cdot40\cdot50} = \dfrac{500}{4000} = 0{,}125$, то есть $\approx 82{,}8°$. Проверка площади вторым способом: $\dfrac{1}{2}\cdot40\cdot50\cdot\sin 82{,}8° \approx 1000\cdot0{,}992 = 992$. Сходится.

Сектор газона: короткий расчёт

Радиус $6$ м, угол $120°$ — это треть круга:

$l = \frac{\pi\cdot6\cdot120}{180} = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ м}, \qquad S = \frac{\pi\cdot36\cdot120}{360} = 12\pi \approx 37{,}70\text{ м}^2.$

Длина ограждения складывается из дуги и двух радиусов: $12{,}57 + 12 \approx 24{,}57$ м.

Рефлексия проекта

1. В какой из задач ответ был точным, а в какой зависел от округления тригонометрических значений?
2. Какую задачу можно проверить двумя разными способами? Приведи оба.
3. Какое реальное ограничение не учитывает модель реки, фермы или клумбы?
4. Где в этой главе появлялась неоднозначность и как её распознать заранее?

Возможные ответы: точными были задачи 1, 4, 5, 6, 7 и 12 в буквенной записи; ширина реки, затяжка фермы и площадь клумбы приближённые. Площадь треугольника проверяется формулой Герона и формулой с синусом; ширина реки — высотой из двух разных вершин. Модель не учитывает изгиб берега, толщину бруса, уклон участка и погрешность измерений. Неоднозначность возникает в наборе «две стороны и угол не между ними», а также каждый раз, когда известен только синус угла.

✦ Мост дальше

Теперь треугольник — не картинка, а вычислительный прибор: три подходящих числа задают все шесть элементов. Дальше в 9 классе те же задачи получат второй язык — координаты и векторы, — и многие вычисления станут короче. А тригонометрия из этой главы вырастет в тригонометрию произвольного угла и в тригонометрические функции.

Общий обзор года и остальные главы — на странице 9 класса.

← Правильные многоугольники и круг · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным