4.4 Линейные неравенства

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: линейные уравнения, свойства неравенств, числовые промежутки

Абонемент в бассейн стоит $300$ рублей плюс $40$ рублей за каждое занятие. В кошельке $1000$ рублей. Сколько занятий получится оплатить?

Если бы вопрос был «на сколько занятий хватит ровно», подошло бы уравнение. Но условие другое: расход не должен превысить бюджет. Модель — неравенство

$300+40x\leqslant 1000.$

◎ После урока ты сможешь

• решать линейное неравенство с одной переменной равносильными преобразованиями
• объяснять, на каком шаге и почему знак неравенства меняется
• записывать ответ промежутком и проверять его подстановкой
• распознавать случаи «любое число» и «решений нет»

Прогноз до вычислений

1. Сколько решений у уравнения $3x-5=7$? А у неравенства $3x-5<7$?
2. Число $4$ — решение неравенства $3x-5<7$? А число $0$? А число $-100$?
3. Как будет выглядеть множество решений на координатной прямой: точка, отрезок или луч?

Эксперимент: решаем по шагам

Меняй коэффициенты и знак. Смотри не только на ответ, но и на третий шаг — деление: именно там прячется самая частая ошибка всей темы.

Лаборатория неравенств

Решаем линейное неравенство по шагам

Меняй коэффициенты и знак. Обрати внимание на шаг деления: там прячется самая частая ошибка.

(−∞; 4)

Неравенство

Коэффициент при x слева 3

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева −5

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: < — меньше

<⩽>⩾

Коэффициент при x справа 0

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число справа 7

−+

От −10 до 10, шаг 1

1. 1

   Исходное неравенство3x − 5 < 7

2. 2

   Переносим числа вправо и меняем у них знак3x < 12

3. 3

   Делим обе части на положительное число 3 — знак неравенства сохраняетсяx < 4

4. 4

   Записываем ответ промежутком(−∞; 4)

⩽

3x − 5 < 7 ⟺ (−∞; 4).Условие на x: x < 4. Промежуток называется так: открытый числовой луч.

↺ Вернуть пример

Правило и алгоритм

∴ Линейное неравенство

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида $ax+b<0$ (или со знаком $>$, $\leqslant$, $\geqslant$), где $a$ и $b$ — числа.

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно обращается в верное числовое неравенство. Ответ записывают промежутком.

Разрешённые (равносильные) преобразования — те же три, что и у уравнения, плюс одна оговорка:

1. перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак;
2. умножить или разделить обе части на положительное число — знак неравенства сохраняется;
3. умножить или разделить обе части на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный.

◆ Ответ — множество, а не число

У линейного уравнения корень обычно один. У линейного неравенства решений бесконечно много, и на прямой они образуют луч. Поэтому ответ $x<4$ дописывают до промежутка $(-\infty;\ 4)$: так видно, что граница $4$ не входит.

Знак сохраняетсяРазбираем вместе

$3x-5<7.$

Переносим $-5$ вправо с изменением знака: $3x<12$.

Делим обе части на $3>0$, знак сохраняется: $x<4$.

Ответ: $(-\infty;\ 4)$.

Проверка. Возьмём число из ответа, $x=0$: $3\cdot 0-5=-5<7$ — верно. Возьмём число вне ответа, $x=4$: $3\cdot 4-5=7$, а $7<7$ неверно. Обе проверки согласуются с ответом.

Знак меняетсяРазбираем вместе

$5-2x\geqslant 11.$

Переносим $5$ вправо: $-2x\geqslant 6$.

Делим обе части на $-2<0$ и меняем знак: $x\leqslant -3$.

Ответ: $(-\infty;\ -3]$.

Проверка. При $x=-3$: $5-2\cdot(-3)=11$, и $11\geqslant 11$ — верно, граница входит. При $x=-2$: $5+4=9$, а $9\geqslant 11$ неверно. Ответ подтверждён.

Переменная исчезлаРазбираем вместе

$4x+1>4x-3.$

Переносим $4x$ влево: $0\cdot x>-4$, то есть $0>-4$. Переменной больше нет, а числовое неравенство верно — значит, подходит любое число. Ответ: $(-\infty;\ +\infty)$.

А теперь почти то же самое:

$2x+3\leqslant 2x+1.$

После переноса получаем $0\leqslant -2$ — неверное числовое неравенство. Значит, решений нет, ответ: $\varnothing$.

Возвращаемся к бассейнуРазбираем вместе

$300+40x\leqslant 1000.$

Переносим $300$: $40x\leqslant 700$. Делим на $40>0$: $x\leqslant 17{,}5$.

Ответ неравенства — промежуток $(-\infty;\ 17{,}5]$. Но в задаче $x$ — количество занятий, то есть целое неотрицательное число. Поэтому реальный ответ: не больше $17$ занятий.

Проверка: $300+40\cdot 17=980\leqslant 1000$, а $300+40\cdot 18=1020>1000$.

Обратная задача: сначала предскажи

Реши неравенство в уме, выбери знак итогового ответа и введи граничное число. Рисунок покажет ответ только после нажатия «Проверить».

Лаборатория неравенств

Решаем линейное неравенство по шагам

Меняй коэффициенты и знак. Обрати внимание на шаг деления: там прячется самая частая ошибка.

x ⋛ ?

Неравенство

Коэффициент при x слева −4

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева 3

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: ⩽ — меньше или равно

<⩽>⩾

Коэффициент при x справа 1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число справа −7

−+

От −10 до 10, шаг 1

Мой ответ

x < …x ⩽ …x > …x ⩾ …

Граничное число

Проверить

?

Реши неравенство в уме и запиши ответ.Выбери знак итогового неравенства и введи граничное число. Помни про деление на отрицательное.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Что является решением неравенства −3x > 12?

• А. x > −4
• Б. x < −4
• В. x > 4

! Три ошибки, которые стоят всей задачи

Первая и главная: разделить на отрицательное число и оставить знак прежним. Спасает привычка проверять одно число: если ответ не проходит проверку, знак перевёрнут.

Вторая: правильно получить $x<4$ и записать промежуток $[4;\ +\infty)$. Луч должен идти в ту же сторону, что и знак: $x<4$ — это $(-\infty;\ 4)$.

Третья: увидеть $0\cdot x>-4$ и написать «решений нет». Переменная исчезла — надо просто проверить оставшееся числовое неравенство: если оно верно, подходит любое число.

Практика

1. Реши неравенство $2x<10$.
2. Реши неравенство $x+4\geqslant 1$.
3. Реши неравенство $3x-5<7$.
4. Реши неравенство $5-2x\geqslant 11$.
5. Реши неравенство $-4x>20$.
6. Реши неравенство $6x+1\leqslant 4x+9$.
7. Реши неравенство $3(x-2)>x+4$.
8. Реши неравенство $\dfrac{x-1}{2}\leqslant 3$.
9. Реши неравенство $7x+2>7x-5$.
10. Реши неравенство $5x+3<5x-2$.
11. Найди наименьшее целое решение неравенства $3x+4>1$.
12. Абонемент стоит $300$ рублей плюс $40$ рублей за занятие, бюджет — $1000$ рублей. Сколько занятий получится оплатить?

Ответы и пояснения

1. $x<5$, то есть $(-\infty;\ 5)$.
2. $x\geqslant -3$, то есть $[-3;\ +\infty)$.
3. $3x<12$, значит $x<4$: $(-\infty;\ 4)$.
4. $-2x\geqslant 6$, делим на $-2$ со сменой знака: $x\leqslant -3$, то есть $(-\infty;\ -3]$.
5. Делим на $-4$ со сменой знака: $x<-5$, то есть $(-\infty;\ -5)$.
6. $2x\leqslant 8$, значит $x\leqslant 4$: $(-\infty;\ 4]$.
7. $3x-6>x+4$, затем $2x>10$ и $x>5$: $(5;\ +\infty)$.
8. Умножаем обе части на $2>0$: $x-1\leqslant 6$, значит $x\leqslant 7$: $(-\infty;\ 7]$.
9. После переноса $0>-5$ — верно всегда, ответ: $(-\infty;\ +\infty)$.
10. После переноса $3<-2$ — неверно, ответ: $\varnothing$.
11. $3x>-3$, значит $x>-1$. Наименьшее целое решение — $0$, потому что само $-1$ не входит.
12. $300+40x\leqslant 1000$, откуда $x\leqslant 17{,}5$. Занятий целое число, поэтому $17$: $300+40\cdot 17=980$, а $18$ занятий стоили бы $1020$ рублей.

Итог

• Линейное неравенство решают теми же переносами и делением, что и уравнение.
• Деление на отрицательное число переворачивает знак — это единственное отличие, но проверяют его на каждом решении.
• Ответ записывают промежутком и подтверждают двумя подстановками: изнутри и снаружи.
• Если переменная исчезла, остаётся числовое неравенство: оно даёт либо всю прямую, либо пустое множество.

Одно условие мы решать научились. В настоящих задачах их обычно два сразу: «не меньше и не больше». Дальше — про такие пары.

← Свойства числовых неравенств · Дальше: системы неравенств →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным