1.3 Логарифм

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: показательная функция и её монотонность, обратная функция, свойства степеней

Колония бактерий удваивается каждый час. Через сколько часов её станет в $10$ раз больше?

Уравнение простое: $2^x=10$. И решение точно есть — показательная функция принимает все положительные значения. Более того, оно единственное: функция строго возрастает. Но записать это решение мы пока не умеем: между $2^3=8$ и $2^4=16$ никакой привычной дроби не подходит.

Ситуация знакомая. Когда-то так же не хватало числа, квадрат которого равен двум, — и появился знак $\sqrt{\ }$. Сейчас не хватает показателя. Значит, нужен новый знак.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать определение логарифма и связывать его с показательным равенством
• вычислять логарифмы, значение которых рационально
• применять основное логарифмическое тождество
• преобразовывать выражения по свойствам логарифмов и по формуле перехода к новому основанию

Прогноз до вычислений

1. В какую степень надо возвести $2$, чтобы получить $8$?
2. В какую степень надо возвести $2$, чтобы получить $\dfrac{1}{4}$?
3. Между какими соседними целыми числами лежит показатель, при котором $2$ даёт $10$?
4. Существует ли показатель, при котором $2$ даёт $-5$?

Эксперимент: возврат по зеркалу

Показательная функция обратима — значит, у неё есть обратная. Посмотри, как одна кривая переходит в другую отражением относительно прямой $y=x$, и как при этом координаты отмеченной точки просто меняются местами.

Лаборатория зеркала

Показательная и логарифмическая функции — отражение друг друга

Меняй основание и выбирай точку. Следи за тем, как координаты меняются местами и как обе кривые ложатся симметрично относительно прямой y = x.

y = log_2 x

a = 2a = 3a = 0,5

x = −3x = −2x = −1x = 0x = 1x = 2x = 3

y = 2ˣ⇄y = log_2 x

Наложить отражение показательной кривой

Пары «показатель — значение» и возврат по логарифму

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
2ˣ	0,125	0,25	0,5	1	2	4	8
log_2 от этого числа	−3	−2	−1	0	1	2	3

Общая точка экспоненты(0; 1)Любое допустимое основание в нулевой степени даёт единицу, поэтому все показательные кривые проходят через эту точку.

Общая точка логарифма(1; 0)Это зеркало предыдущей точки: log_a 1 = 0 при любом допустимом основании.

Проверка возвратаlog_2 0,125 = −3Логарифм возвращает тот самый показатель, который был подставлен в показательную функцию.

⇄

2^−3 = 0,125, значит log_2 0,125 = −3.Точка (−3; 0,125) на показательной кривой переходит в точку (0,125; −3) на логарифмической. Отрезок между ними перпендикулярен прямой y = x и делится ею пополам — это и есть отражение.

↺ Вернуть пример

Нажми «Наложить отражение показательной кривой»: линия ляжет точно на график логарифма. Это не совпадение и не подгонка рисунка — это определение, увиденное с другой стороны.

Определение

∴ Логарифм

Пусть $a>0$, $a\neq1$ и $b>0$. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую надо возвести $a$, чтобы получить $b$:

$\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.$

Три условия обязательны:

• $a>0$ — иначе степень с произвольным показателем не определена;
• $a\neq1$ — иначе $1^c=1$ при любом $c$, и показатель не восстанавливается;
• $b>0$ — иначе решения нет вовсе: показательная функция отрицательных значений не принимает.

Условия на $a$ и $b$ вместе называют областью допустимых значений логарифма.

Читать равенство $\log_a b=c$ удобно так: «$a$ в степени $c$ даёт $b$». Стрелка в определении двусторонняя, поэтому любое показательное равенство можно переписать логарифмическим и наоборот:

$2^{5}=32\ \Longleftrightarrow\ \log_2 32=5,\qquad 10^{-2}=0{,}01\ \Longleftrightarrow\ \lg 0{,}01=-2.$

◆ Три частных случая и одно тождество

При любом допустимом основании $a$:

$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1,\qquad \log_a a^{n}=n.$

А если подставить определение само в себя, получится основное логарифмическое тождество:

$a^{\log_a b}=b\qquad (b>0).$

Оно означает ровно одно: логарифм — это и есть тот показатель, который нужен. Например, $5^{\log_5 7}=7$ без всяких вычислений.

Два основания встречаются так часто, что для них есть отдельные обозначения. Десятичный логарифм — это $\lg b=\log_{10}b$; он живёт в шкалах громкости, кислотности и магнитуд. Натуральный логарифм — это $\ln b=\log_e b$, где $e\approx2{,}71828$; он появляется всюду, где рост непрерывен, и станет главным в теме производной.

Пять логарифмов в умеРазбираем вместе

$\log_2 32$. Ищем показатель: $2^5=32$, значит ответ $5$.

$\log_3\dfrac19$. Здесь $\dfrac19=3^{-2}$, значит ответ $-2$.

$\log_{1/2}8$. Основание меньше единицы. Так как $\left(\dfrac12\right)^{-3}=2^{3}=8$, ответ равен $-3$.

$\log_9 27$. Приведём оба числа к основанию $3$: $9=3^2$, $27=3^3$. Нужен такой $c$, что $\left(3^2\right)^{c}=3^{3}$, то есть $2c=3$ и $c=\dfrac32$. Проверка: $9^{3/2}=\left(\sqrt9\right)^3=27$.

$\log_5 1$. Единица получается только в нулевой степени, ответ $0$.

Свойства логарифмов

Каждое свойство — это просто переведённое свойство степеней. Сложению показателей отвечает умножение чисел, поэтому логарифм превращает умножение в сложение.

∴ Четыре рабочих правила

Пусть $a>0$, $a\neq1$, $x>0$, $y>0$, а $p$ — любое число. Тогда

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,$

$\log_a x^{p}=p\log_a x,\qquad \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\ \ (c>0,\ c\neq1).$

Последняя формула — переход к новому основанию. Именно она позволяет посчитать любой логарифм на калькуляторе, где есть только $\lg$ и $\ln$.

Полезное следствие: $\log_{a^{k}}b=\dfrac{1}{k}\log_a b$ при $k\neq0$.

Свойства в действииРазбираем вместе

$\log_6 2+\log_6 18$. Сумма логарифмов — это логарифм произведения: $\log_6(2\cdot18)=\log_6 36=2$.

$\log_2 40-\log_2 5$. Разность — логарифм частного: $\log_2\dfrac{40}{5}=\log_2 8=3$.

$2\log_5 3+\log_5\dfrac{25}{9}$. Внесём двойку в показатель: $2\log_5 3=\log_5 9$. Тогда сумма равна $\log_5\left(9\cdot\dfrac{25}{9}\right)=\log_5 25=2$.

$\log_2 3\cdot\log_3 8$. Перейдём во втором множителе к основанию $2$: $\log_3 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}$. Тогда произведение равно $\log_2 3\cdot\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}=\log_2 8=3$.

$4^{\log_2 3}$. Основание $4=2^2$, поэтому $4^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{2}=3^{2}=9$.

Проверка понимания

Чему равен log по основанию 4 от 8?

• А. 2
• Б. 0,5
• В. 1,5

! Логарифм суммы — не сумма логарифмов

Свойство $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ соблазняет написать похожее равенство для суммы. Оно неверно.

Проверим на числах: $\log_2(4+4)=\log_2 8=3$, а $\log_2 4+\log_2 4=2+2=4$. Три не равно четырём.

Такая же ошибка — «сократить» логарифмы в дроби: $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$, а вовсе не $\log_2 2=1$. Дробь из двух логарифмов по формуле перехода равна $\log_4 8$, и это действительно $1{,}5$.

Запомни границу: логарифм умеет разбирать произведение, частное и степень. Сумму он разбирать не умеет.

Практика

1. Вычисли $\log_2 64$.
2. Вычисли $\log_3 81$.
3. Вычисли $\log_5\dfrac{1}{25}$.
4. Вычисли $\log_{1/3}9$.
5. Вычисли $\lg 1000$.
6. Вычисли $\lg 0{,}01$.
7. Вычисли $\log_4 8$.
8. Вычисли $\log_8 4$.
9. Вычисли $\log_7 1$.
10. Вычисли $3^{\log_3 11}$.
11. Вычисли $\log_2 5+\log_2 6{,}4$.
12. Вычисли $\log_{12}144-\log_{12}12$.
13. Вычисли $\log_3\sqrt3$.
14. Вычисли $2\log_6 3+2\log_6 2$.
15. Вычисли $\log_2 3\cdot\log_3 16$.
16. Найди область допустимых значений выражения $\log_5(x-3)$.
17. Запиши показательным равенством: $\log_a b=c$. Запиши логарифмическим равенством: $7^{2}=49$.
18. Объясни, почему выражение $\log_1 5$ не имеет смысла.

Ответы и пояснения

1. $2^6=64$, ответ $6$.
2. $3^4=81$, ответ $4$.
3. $\dfrac{1}{25}=5^{-2}$, ответ $-2$.
4. $\left(\dfrac13\right)^{-2}=9$, ответ $-2$.
5. $10^3=1000$, ответ $3$.
6. $10^{-2}=0{,}01$, ответ $-2$.
7. $4^{3/2}=8$, ответ $\dfrac32=1{,}5$.
8. $8^{2/3}=4$, ответ $\dfrac23$.
9. $0$: любое допустимое основание в нулевой степени даёт единицу.
10. $11$ по основному логарифмическому тождеству.
11. $\log_2(5\cdot6{,}4)=\log_2 32=5$.
12. Разность логарифмов — логарифм частного: $\log_{12}\dfrac{144}{12}=\log_{12}12=1$. Тот же ответ даёт прямой подсчёт $2-1=1$.
13. $\sqrt3=3^{1/2}$, ответ $\dfrac12$.
14. $2\log_6 3+2\log_6 2=2\left(\log_6 3+\log_6 2\right)=2\log_6 6=2$.
15. $\log_3 16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 3}$, поэтому произведение равно $\log_2 16=4$.
16. Под знаком логарифма должно стоять положительное число: $x-3>0$, то есть $x>3$, промежуток $(3;+\infty)$.
17. $a^{c}=b$; $\log_7 49=2$.
18. Основание не может равняться единице: $1^{c}=1$ при любом $c$, поэтому получить $5$ невозможно, а восстановить показатель нельзя даже для самой единицы.

Итог

• Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$, чтобы получить $b$; равенства $\log_a b=c$ и $a^{c}=b$ означают одно и то же.
• ОДЗ выражения: $a>0$, $a\neq1$, $b>0$. Эти условия придётся выписывать в каждой задаче главы.
• Основное тождество $a^{\log_a b}=b$ мгновенно снимает целый класс вычислений.
• Логарифм превращает умножение в сложение, деление — в вычитание, а возведение в степень — в умножение на показатель. С суммой он так не умеет.

Логарифм определён для каждого положительного числа — значит, это не отдельная операция, а полноценная функция $y=\log_a x$. Её график мы уже видели в лаборатории: он получается отражением показательной кривой. В следующем уроке разберём его свойства аккуратно.

← Показательная функция · Дальше: логарифмическая функция →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным