5.1 Призма и пирамида

10 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: развёртки и тела из 6 класса, правильные многоугольники, параллельность прямых и плоскостей

Инженер заказывает металлический профиль на каркас павильона. Корпус — двенадцатиугольная башня, крыша — двенадцатиугольный шатёр. Вопрос звучит буднично: сколько всего рёбер надо нарезать?

Пересчитывать по чертежу — долго и ненадёжно: половина рёбер невидима. Значит, нужна формула.

◎ После урока ты сможешь

• различать призму и пирамиду по определению, а не по внешнему виду
• называть основание, боковые грани, боковые рёбра, высоту и апофему
• считать вершины, рёбра и грани n-угольной призмы и пирамиды
• читать чертёж, построенный параллельной проекцией, и не измерять его линейкой

Прогноз до вычислений

Не считая по рисунку, ответь письменно:

1. Сколько рёбер у двенадцатиугольной призмы? А у двенадцатиугольной пирамиды?
2. Чего у пирамиды больше — вершин или граней?
3. Может ли у какого-нибудь многогранника быть ровно $7$ рёбер?

Запиши догадки. К третьему вопросу мы вернёмся в следующем уроке, а первые два проверим прямо сейчас.

Управляемый эксперимент

Меняй вид тела и число сторон основания. Следи не за картинкой, а за тремя числами внизу.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

V − E + F

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a4 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Высота h7 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Элементы многогранника

Вершины V	12
Рёбра E	18
Грани F	8
V − E + F	2

△

V = 12, E = 18, F = 8.правильная шестиугольная призма. Проверка Эйлера: 12 − 18 + 8 = 2 — соотношение выполнено.

↺ Вернуть пример

Как только заметишь закономерность, проверь её на непривычном случае: восьмиугольная пирамида, треугольная призма. Если формула угадана верно, она сработает и там.

Что такое призма

∴ Призма

Возьмём два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях так, что один получается из другого параллельным переносом. Соединим соответствующие вершины отрезками. Полученное тело называется призмой.

• Два равных многоугольника — основания.
• Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, — боковые рёбра; они параллельны и равны.
• Боковые грани — параллелограммы.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.

Виды призм различают по двум независимым признакам:

• Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Тогда боковые грани — прямоугольники, а боковое ребро равно высоте. Иначе призма наклонная.
• Правильная призма — это прямая призма, у которой основание — правильный многоугольник.

Признаки независимы: призма с правильным шестиугольником в основании может быть наклонной, и правильной она уже не будет.

✦ Знакомые частные случаи

Параллелепипед — призма, у которой основание параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед с прямоугольником в основании (та самая коробка из 6 класса). Куб — прямоугольный параллелепипед со всеми равными рёбрами, то есть правильная четырёхугольная призма с боковым ребром, равным стороне основания.

Что такое пирамида

∴ Пирамида

Возьмём многоугольник и точку $S$ вне его плоскости. Соединим $S$ со всеми вершинами многоугольника. Полученное тело — пирамида.

• Многоугольник — основание, точка $S$ — вершина пирамиды.
• Боковые грани — треугольники с общей вершиной $S$.
• Высота пирамиды — перпендикуляр из $S$ к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а основание высоты попадает в центр этого многоугольника.

У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника, проведённая к стороне основания, называется апофемой пирамиды. Апофема понадобится нам в уроке 5.4; пока запомни, что это высота грани, а не высота тела.

! Три подмены, которые дорого стоят

Высота вместо бокового ребра. Высота идёт внутри тела к центру основания, боковое ребро — по поверхности к вершине основания. У правильной пирамиды боковое ребро всегда длиннее высоты.

«Правильная» вместо «с правильным основанием». Наклонная призма с правильным шестиугольником в основании — не правильная призма. Пирамида с квадратом в основании, у которой высота падает не в центр, — не правильная пирамида.

Боковые грани призмы — всегда прямоугольники. Нет: прямоугольники получаются только у прямой призмы. В общем случае это параллелограммы.

Как считать элементы

Пусть в основании лежит $n$-угольник. Дальше — только аккуратный счёт по группам.

Призма. Вершин: $n$ снизу и $n$ сверху, всего $2n$. Рёбра: $n$ в нижнем основании, $n$ в верхнем и $n$ боковых, всего $3n$. Грани: $2$ основания и $n$ боковых, всего $n+2$.

Пирамида. Вершин: $n$ в основании и одна вершина $S$, всего $n+1$. Рёбра: $n$ в основании и $n$ боковых, всего $2n$. Грани: одно основание и $n$ боковых, всего $n+1$.

Тело	Вершины $V$	Рёбра $E$	Грани $F$
$n$-угольная призма	$2n$	$3n$	$n+2$
$n$-угольная пирамида	$n+1$	$2n$	$n+1$

Проверим обе строки одной и той же комбинацией:

$V-E+F=2n-3n+(n+2)=2, \qquad V-E+F=(n+1)-2n+(n+1)=2.$

Одно и то же число $2$ для любого $n$ — это не совпадение. Соотношение $V-E+F=2$ называется формулой Эйлера, и следующий урок целиком про него.

Каркас павильонаРазбираем вместе

Корпус — двенадцатиугольная призма, крыша — двенадцатиугольная пирамида, $n=12$.

Призма: $V=2\cdot12=24$, $E=3\cdot12=36$, $F=12+2=14$. Проверка: $24-36+14=2$.

Пирамида: $V=12+1=13$, $E=2\cdot12=24$, $F=12+1=13$. Проверка: $13-24+13=2$.

Всего резать $36+24=60$ рёбер, но $12$ рёбер верхнего основания призмы совпадают с рёбрами основания крыши. Значит, разных отрезков профиля нужно $60-12=48$.

Обратная задача: 2024 ребраРазбираем вместе

У пирамиды $2024$ ребра. Какое у неё основание?

У $n$-угольной пирамиды рёбер ровно $2n$, поэтому $2n=2024$ и $n=1012$. Основание — $1012$-угольник, вершин $1013$, граней тоже $1013$.

А могла ли такая же задача быть про призму? Тогда $3n=2024$, но $2024$ не делится на $3$ (сумма цифр $8$). Призмы с $2024$ рёбрами не существует.

Почему чертёж нельзя мерить

Пространственное тело изображают параллельной проекцией: через каждую точку тела проводят прямую заданного направления и отмечают, где она встречает плоскость чертежа.

Такая проекция сохраняет:

• прямую переводит в прямую (или в точку);
• параллельные прямые — в параллельные;
• отношение отрезков, лежащих на одной прямой.

И не сохраняет: длины отрезков разных направлений, величины углов, площади. Именно поэтому квадратное основание на чертеже выглядит параллелограммом, а прямой угол — острым.

В лаборатории выше можно переключать два стандартных способа изображения — изометрию (все три оси сокращаются одинаково) и кабинетную проекцию (ось глубины идёт под $45°$ и сокращается вдвое). Тело одно, чертежи разные, а числа $V$, $E$, $F$ не меняются: они относятся к телу, а не к картинке.

Проверка понимания

У призмы 27 рёбер. Сколько у неё вершин?

• А. 27
• Б. 18
• В. 54

Практика

1. У призмы $30$ рёбер. Какой многоугольник лежит в основании? Сколько у неё вершин и граней?
2. У пирамиды $16$ рёбер. Какое у неё основание? Сколько вершин и граней?
3. Может ли у призмы быть ровно $20$ рёбер? А у пирамиды?
4. Проверь формулу Эйлера для семиугольной призмы.
5. У выпуклого многогранника $12$ граней и $30$ рёбер. Сколько у него вершин?
6. У выпуклого многогранника $8$ вершин и $12$ рёбер. Сколько у него граней? Приведи пример такого тела.
7. У правильной четырёхугольной призмы сторона основания равна $5$ см, боковое ребро — $8$ см. Найди сумму длин всех рёбер.
8. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $4$, боковое ребро равно $7$. Найди сумму длин всех рёбер.
9. Сколько диагоналей у четырёхугольной призмы? Диагональ призмы соединяет вершины разных оснований, не лежащие в одной грани.
10. У пирамиды $2024$ ребра. Сколько у неё боковых граней?

Ответы и пояснения

1. $3n=30$, значит $n=10$: десятиугольник. Вершин $2\cdot10=20$, граней $10+2=12$. Проверка: $20-30+12=2$.
2. $2n=16$, значит $n=8$: восьмиугольник. Вершин $9$, граней $9$. Проверка: $9-16+9=2$.
3. Призма — нет: $20$ не делится на $3$. Пирамида — да: $2n=20$, $n=10$, десятиугольная пирамида.
4. $V=14$, $E=21$, $F=9$; $14-21+9=2$.
5. $V=2+E-F=2+30-12=20$.
6. $F=2+E-V=2+12-8=6$. Например, куб или любой параллелепипед; подойдёт и четырёхугольная призма.
7. Рёбер оснований $8$ штук по $5$ см, боковых $4$ штуки по $8$ см: $8\cdot5+4\cdot8=40+32=72$ см.
8. $6\cdot4+6\cdot7=24+42=66$.
9. Из каждой вершины нижнего основания выходит $4$ отрезка в верхнее основание: один боковое ребро и два в соседних боковых гранях. Остаётся $4-3=1$ диагональ на вершину, всего $4\cdot1=4$. Это диагонали параллелепипеда, и их действительно четыре.
10. $2n=2024$, $n=1012$: боковых граней $1012$.

Итог

• Призма — два равных параллельно перенесённых многоугольника плюс параллелограммы между ними; пирамида — многоугольник плюс точка вне его плоскости.
• «Прямая» и «правильная» — разные слова: правильная призма обязана быть прямой и иметь правильное основание.
• Для $n$-угольной призмы $V=2n$, $E=3n$, $F=n+2$; для пирамиды $V=n+1$, $E=2n$, $F=n+1$.
• В обоих случаях $V-E+F=2$ — это подсказка о более общем законе.
• Чертёж строится параллельной проекцией: параллельность сохраняется, длины и углы — нет.

Числа $V$, $E$ и $F$ у нас всегда складывались в двойку. Пора выяснить, почему — и что из этого следует для правильных многогранников.

← Вход в тему · Дальше: правильные многогранники и формула Эйлера →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным