2.2 Преобразования графика

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: график y = x², квадрат суммы и разности, координатная плоскость

Парабол на свете бесконечно много: узкие и широкие, поднятые и опущенные, повёрнутые вверх и вниз. Строить каждую по таблице значений — долго.

Но есть короткий путь. Все параболы получаются из одной-единственной кривой $y=x^2$ несколькими простыми движениями. Их всего четыре, и каждое видно прямо в формуле.

◎ После урока ты сможешь

• связывать каждое слагаемое в записи y = a(x − m)² + n с движением графика
• строить параболу цепочкой преобразований эталона y = x²
• называть вершину и ось симметрии прямо по вершинной форме
• переходить от вершинной формы к стандартному виду и обратно

Прогноз до вычислений

1. График $y=(x-3)^2$ — это $y=x^2$, сдвинутый вправо или влево?
2. Что произойдёт с параболой $y=x^2$, если умножить всю формулу на $2$? А на $-1$?
3. Хватит ли двух движений, чтобы получить $y=-x^2+4$ из $y=x^2$?

Эксперимент: три ручки управления

Пунктирная линия — эталон $y=x^2$, она не двигается никогда. Сплошная — та функция, которую ты настраиваешь. Меняй по одной ручке за раз и записывай, что именно изменилось.

Лаборатория преобразований графика

Одна парабола, три ручки управления

Пунктирная линия — эталон y = x², она никогда не двигается. Меняй a, m и n и следи, что происходит со сплошной линией.

y = a(x − m)² + n

Эталон y = x²Вправо на 3Влево на 2Вверх на 4Ветви внизУже в 3 разаШире в 2 разаВсё сразу

Коэффициент a 1−2−1−0,50,5123Знак задаёт направление ветвей, модуль — растяжение по вертикали.

Сдвиг m (по горизонтали) 3−5−4−3−2−1012345Целое от −5 до 5; в записи стоит внутри скобки со знаком минус.

Сдвиг n (по вертикали) −2−5−4−3−2−1012345Целое от −5 до 5; прибавляется после скобки.

y = (x − 3)² − 2→y = x² − 6x + 7

Спрятать эталон y = x²

1. 1

   y = x²Берём эталонную параболу

2. 2

   y = (x − 3)²Сдвигаем график вдоль оси x на 3 вправо

3. 3

   y = (x − 3)² − 2Сдвигаем график вдоль оси y на 2 вниз

∪

y = (x − 3)² − 2, то есть y = x² − 6x + 7.Вершина (3; −2), ось симметрии x = 3. Сдвиги видны прямо в записи: число в скобке отвечает за горизонталь, число за скобкой — за вертикаль.

↺ Вернуть пример

Проверь на опыте три вещи:

• при изменении $n$ вершина едет только по вертикали, а форма кривой не меняется;
• при изменении $m$ вершина едет только по горизонтали, и снова форма та же;
• при изменении $a$ вершина стоит на месте, а кривая становится уже, шире или переворачивается.

Четыре движения

∴ Вершинная форма

График функции

$y=a(x-m)^2+n,\qquad a\neq 0,$

получается из параболы $y=x^2$ так:

1. растяжение или сжатие по вертикали в $|a|$ раз: при $|a|>1$ парабола становится уже, при $|a|<1$ — шире;
2. отражение относительно оси $x$, если $a<0$;
3. сдвиг вдоль оси $x$ на $m$ единиц: вправо при $m>0$ и влево при $m<0$;
4. сдвиг вдоль оси $y$ на $n$ единиц: вверх при $n>0$ и вниз при $n<0$.

Вершина оказывается в точке $(m;n)$, а ось симметрии — прямая $x=m$.

Порядок важен: сначала масштаб и отражение, потом сдвиги. Если сдвинуть первым, а растянуть вторым, вершина уедет не туда — растяжение потянет за собой и сдвиг.

Ничего специально «параболического» в этих четырёх движениях нет. Тот же набор работает для корня, модуля, гиперболы и синуса: в 10 классе мы запишем его в общем виде $y=a\cdot f\bigl(k(x-m)\bigr)+n$, и вершинная форма окажется частным случаем — тем, где эталон $f(x)=x^2$.

Почему сдвиг по горизонтали «противоположен» знаку в скобке? Потому что скобка сама решает, когда ей быть нулём. Выражение $(x-3)^2$ обращается в ноль при $x=3$ — значит, самая низкая точка переехала в $x=3$, то есть вправо. А $(x+3)^2$ равно нулю при $x=-3$: сдвиг влево.

! «В скобке плюс — значит вправо»

Самая частая ошибка урока. Запись $y=(x+4)^2$ даёт сдвиг влево на $4$, а не вправо.

Проверка занимает три секунды: приравняй скобку к нулю. $x+4=0$ даёт $x=-4$ — вершина слева от начала координат.

Со вторым слагаемым такой путаницы нет: в $y=x^2+4$ прибавление $4$ честно поднимает график на $4$ вверх.

Разбираем y = −2(x + 1)² + 3Разбираем вместе

Сначала прочитаем формулу по частям: $a=-2$, скобка $(x+1)$ означает $m=-1$, свободное слагаемое даёт $n=3$.

Цепочка преобразований эталона:

$y=x^2\ \to\ y=2x^2\ \to\ y=-2x^2\ \to\ y=-2(x+1)^2\ \to\ y=-2(x+1)^2+3.$

Словами: растянули в $2$ раза по вертикали, отразили относительно оси $x$, сдвинули на $1$ влево и на $3$ вверх.

Вершина — точка $(-1;3)$, ось симметрии — прямая $x=-1$, ветви направлены вниз, поэтому $3$ — наибольшее значение функции.

Раскроем скобки и получим привычный стандартный вид:

$-2(x+1)^2+3=-2(x^2+2x+1)+3=-2x^2-4x-2+3=-2x^2-4x+1.$

Проверим в одной точке: при $x=0$ вершинная форма даёт $-2\cdot1+3=1$, стандартная — тоже $1$.

Проверка понимания

Как из графика y = x² получить график y = (x + 4)² − 1?

• А. Сдвиг на 4 вправо и на 1 вверх
• Б. Сдвиг на 4 вправо и на 1 вниз
• В. Сдвиг на 4 влево и на 1 вниз

Обратный переход

Из вершинной формы в стандартную ведут обычные скобки. Обратный путь — выделение полного квадрата, приём из 8 класса:

$x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3)^2-4.$

Значит, парабола $y=x^2-6x+5$ — это эталон, сдвинутый на $3$ вправо и на $4$ вниз, с вершиной $(3;-4)$. Проверить легко: $y(3)=9-18+5=-4$.

Обе записи задают одну и ту же функцию, просто отвечают на разные вопросы. Стандартный вид удобен для поиска нулей через дискриминант, вершинный — для построения графика.

Практика

1. Назови вершину и ось симметрии параболы $y=(x-5)^2+2$.
2. Назови вершину параболы $y=(x+3)^2-1$.
3. Назови вершину и направление ветвей для $y=-(x-2)^2$.
4. Назови вершину параболы $y=3x^2+4$.
5. Опиши цепочку преобразований для $y=2(x-1)^2-5$ и назови вершину.
6. Раскрой скобки в $y=(x-4)^2+1$.
7. Раскрой скобки в $y=-2(x+3)^2-4$.
8. Запиши формулу параболы, полученной из $y=x^2$ сдвигом на $6$ вправо и на $2$ вниз.
9. Найди значения функции $y=(x-1)^2-4$ при $x=-1,\,0,\,1,\,2,\,3$. Где её нули?
10. График $y=a(x-2)^2+1$ проходит через точку $(0;5)$. Найди $a$.

Ответы и пояснения

1. Вершина $(5;2)$, ось симметрии $x=5$.
2. Вершина $(-3;-1)$: скобка обращается в ноль при $x=-3$.
3. Вершина $(2;0)$, ветви вниз, ведь $a=-1$.
4. Вершина $(0;4)$: сдвига по горизонтали нет, парабола только поднята и сужена в $3$ раза.
5. Растянуть в $2$ раза, сдвинуть на $1$ вправо и на $5$ вниз; вершина $(1;-5)$.
6. $x^2-8x+16+1=x^2-8x+17$.
7. $-2(x^2+6x+9)-4=-2x^2-12x-18-4=-2x^2-12x-22$.
8. $y=(x-6)^2-2$.
9. $y(-1)=4-4=0$, $y(0)=1-4=-3$, $y(1)=-4$, $y(2)=1-4=-3$, $y(3)=4-4=0$. Нули: $x=-1$ и $x=3$.
10. Подставим точку: $a\cdot(0-2)^2+1=5$, то есть $4a=4$ и $a=1$.

Итог

• Любая парабола получается из $y=x^2$ растяжением, отражением и двумя сдвигами.
• В записи $y=a(x-m)^2+n$ вершина видна сразу: это точка $(m;n)$, а ось симметрии — прямая $x=m$.
• Знак внутри скобки противоположен направлению сдвига: $(x-3)^2$ едет вправо, $(x+3)^2$ — влево.
• Переход между вершинной и стандартной формой в одну сторону делают скобки, в другую — выделение полного квадрата.

Вершинную форму удобно читать, но функции чаще задают стандартным видом. В следующем уроке получим формулу, которая находит вершину сразу по $a$, $b$ и $c$ — без выделения квадрата.

← Парабола y = ax² + bx + c · Дальше: вершина и свойства →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным