1.2 Иррациональные числа

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: квадратный корень, обыкновенные и периодические дроби, чётность и делимость

Столяру нужна квадратная крышка площадью ровно $2$ дм². Её сторона — число $\sqrt{2}$. Столяр берёт линейку с миллиметрами и спрашивает: какую дробь ему поставить на чертёж?

Попробуем подобрать. $1{,}4^2=1{,}96$ — мало. $1{,}41^2=1{,}9881$ — ближе. $1{,}414^2=1{,}999396$ — совсем близко. Кажется, ещё немного — и попадём. Но не попадём никогда, и это можно доказать.

◎ После урока ты сможешь

• проверять приближения корня возведением в квадрат и видеть, что точное попадание не наступает
• воспроизводить доказательство иррациональности корня из двух методом от противного
• различать рациональные и иррациональные числа по десятичной записи и по определению
• описывать множество действительных чисел и место корней на числовой прямой

Прогноз до вычислений

Как ты думаешь: если продолжать подбирать десятичные дроби всё точнее, найдётся ли такая, у которой квадрат равен ровно $2$? Ответь «да» или «нет» до эксперимента — и запомни свой ответ.

Лаборатория квадратного корня

Площадь, сторона и зажим корня

Корень из числа — это сторона квадрата такой площади. Найти её точно удаётся не всегда, зажать между двумя числами — всегда.

√2

Квадрат по площадиЗажим корня

Число под корнем2От 0,01 до 10000; можно вводить десятичную дробь.

До целыхДо десятыхДо сотыхДо тысячных

Уточнение корня разряд за разрядом: квадрат нижней границы не больше подкоренного числа, квадрат верхней — не меньше.

Разряд	Снизу	Квадрат снизу	Сверху	Квадрат сверху
целые	1	1	2	4
десятые	1,4	1,96	1,5	2,25
сотые	1,41	1,9881	1,42	2,0164
тысячные	1,414	1,999396	1,415	2,002225

√

√2 ≈ 1,414 с недостатком и ≈ 1,415 с избытком.1,414² = 1,999396 ≤ 2 ≤ 2,002225 = 1,415². Точное значение — бесконечная непериодическая дробь, поэтому знак ≈ обязателен.

↺ Вернуть пример

Увеличивай точность и смотри на колонку квадратов. Слева всегда что-то меньше двух, справа — больше двух. Промежуток сжимается, но двойка каждый раз оказывается внутри, а не на границе. Эксперимент подсказывает ответ, но не доказывает его: вдруг нужная дробь появится на сотом знаке?

Доказательство от противного

✦ Как устроено рассуждение от противного

Мы предполагаем то, что хотим опровергнуть, и честно выводим следствия. Если получилось противоречие — предположение неверно, и верно противоположное. С этим приёмом ты уже встречался в 7 классе: так доказано, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Понадобится одно наблюдение о чётности.

∴ Если квадрат чётный, то и само число чётно

Пусть $m$ нечётно, то есть $m=2t+1$. Тогда

$m^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1=2(2t^2+2t)+1$

— число нечётное. Значит, у чётного квадрата основание не может быть нечётным.

Утверждение. Не существует такой обыкновенной дроби, квадрат которой равен $2$.

Доказательство. Предположим противное: $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, а дробь несократима (общих делителей, кроме единицы, у $m$ и $n$ нет). Любую дробь можно сократить до такого вида, так что это не ограничение.

Возведём в квадрат:

$\frac{m^2}{n^2}=2,\qquad\text{откуда}\qquad m^2=2n^2.$

Слева стоит квадрат, справа — удвоенное число, то есть чётное. Значит, $m^2$ чётно, а по наблюдению выше чётно и само $m$. Запишем $m=2k$:

$(2k)^2=2n^2,\qquad 4k^2=2n^2,\qquad n^2=2k^2.$

Теперь чётным оказался $n^2$, а значит, и $n$. Но тогда $m$ и $n$ оба делятся на $2$ — и дробь $\dfrac{m}{n}$ сократима. Это противоречит нашему выбору.

Противоречие означает, что предположение неверно: дроби, равной $\sqrt{2}$, не существует. $\blacksquare$

Обрати внимание: мы не перебирали дроби. Перебор бесконечен и ничего бы не доказал. Доказательство закрывает все дроби сразу — одним рассуждением.

Новый вид чисел

∴ Рациональные, иррациональные, действительные

Рациональное число — то, которое можно записать в виде $\dfrac{m}{n}$, где $m$ целое, $n$ натуральное. В десятичной записи такие числа конечны или бесконечны периодичны: $\tfrac{3}{4}=0{,}75$, $\tfrac{1}{3}=0{,}(3)$.

Иррациональное число — то, которое так записать нельзя. Его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Вместе они образуют множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой, и каждой точке — действительное число: прямая заполнена без просветов.

Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$, число $\pi$. Общий факт, которым мы будем пользоваться: если натуральное число не является точным квадратом, то его корень иррационален. Доказывается он почти так же, как для двойки, только вместо чётности используют делимость на простой множитель.

А вот $\sqrt{36}=6$ и $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ — числа рациональные. Знак корня сам по себе ничего не решает: важно, что стоит под ним.

Рациональное или иррациональное?Разбираем вместе

$\sqrt{64}=8$ — рационально: корень извлекается.

$0{,}(6)=\dfrac{2}{3}$ — рационально: бесконечная дробь, но с периодом.

$\sqrt{10}$ — иррационально: $3^2=9$, $4^2=16$, точного квадрата $10$ нет.

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ — рационально, хотя оба множителя иррациональны.

$(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$ — тоже рационально: иррациональные части взаимно уничтожились.

Последние два примера показывают, что «иррациональность» не передаётся по наследству через действия. Каждый раз результат нужно проверять отдельно.

Проверка понимания

Какое из чисел рационально?

• А. √8
• Б. √64
• В. 1 + √2

! «Бесконечная дробь — значит иррациональная»

Не всякая. Дробь $0{,}(3)$ бесконечна, но равна $\tfrac{1}{3}$ и совершенно рациональна.

Решает не длина записи, а период: у рациональных чисел он обязательно есть, у иррациональных его нет никогда. И наоборот: увидев на калькуляторе $1{,}414213562$, помни, что это обрезанная запись, а не значение $\sqrt{2}$.

Практика

1. Какие из чисел рациональны: $\sqrt{25}$, $\sqrt{26}$, $0{,}(12)$, $\dfrac{3}{7}$, $\sqrt{0{,}04}$?
2. Вычисли $1{,}41^2$ и $1{,}42^2$ и объясни, почему $\sqrt{2}$ лежит между этими числами.
3. Докажи, что $\sqrt{2}\ne\dfrac{7}{5}$.
4. В доказательстве иррациональности $\sqrt{2}$: какой шаг позволяет утверждать, что $m$ чётно?
5. Приведи пример двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна.
6. Приведи пример двух иррациональных чисел, произведение которых рационально.
7. Рационально ли число $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}$?
8. Между какими соседними целыми числами лежит $\sqrt{30}$?
9. Является ли рациональным число $3{,}101001000100001\ldots$ (после каждой единицы на один ноль больше)?
10. Верно ли, что сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна?

Ответы и пояснения

1. Рациональны $\sqrt{25}=5$, $0{,}(12)$, $\dfrac{3}{7}$ и $\sqrt{0{,}04}=0{,}2$. Иррационально только $\sqrt{26}$: между $5^2=25$ и $6^2=36$ точных квадратов нет.
2. $1{,}41^2=1{,}9881<2$, $1{,}42^2=2{,}0164>2$. Квадрат растёт вместе с числом, поэтому $1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42$.
3. $\left(\dfrac{7}{5}\right)^2=\dfrac{49}{25}=1{,}96\ne2$, а у равных чисел квадраты равны.
4. Шаг $m^2=2n^2$: правая часть чётна, значит чётен $m^2$; нечётное число даёт нечётный квадрат, поэтому $m$ чётно.
5. Например, $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$: сумма равна $0$. Подойдут и $1+\sqrt{2}$ с $1-\sqrt{2}$: сумма равна $2$.
6. Например, $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ или $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
7. Да: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$.
8. $5^2=25<30<36=6^2$, поэтому $5<\sqrt{30}<6$.
9. Нет: запись бесконечна, а группы нулей всё время удлиняются, поэтому периода нет.
10. Верно. Если бы сумма $r+i$ была рациональна и равна $q$, то $i=q-r$ — разность двух рациональных чисел — тоже была бы рациональной. Противоречие.

Итог

• Дроби, равной $\sqrt{2}$, не существует; это доказано рассуждением от противного, а не перебором.
• Иррациональное число — это число, не представимое обыкновенной дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа и заполняют координатную прямую целиком.
• Корень из натурального числа рационален ровно тогда, когда это число — точный квадрат.

Раз точного десятичного значения у $\sqrt{2}$ нет, придётся научиться работать с приближениями осознанно: называть границы, точность и способ округления. Этим займёмся в следующем уроке.

← Квадратный корень · Дальше: оценка и приближения →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным