1.3. Признаки делимости

6 класс · Делимость◷ 35 минут◇ БазаНужно знать: разряды числа и деление с остатком

На складе записали количество деталей как $47\square$ : последняя цифра стёрлась. Можно ли подобрать её так, чтобы число делилось одновременно на $2$ и на $3$ , не перебирая десять делений столбиком?

Меняй цифры и наблюдай

Количество цифр

тысячи

сотни

десятки

единицы

Число2430Сумма цифр: 2 + 4 + 3 + 0 = 9

На 2: даПоследняя цифра 0 чётная.
На 3: даСумма цифр 9 делится на 3.
На 5: даПоследняя цифра 0 равна 0 или 5.
На 6: даЧисло делится и на 2, и на 3.
На 9: даСумма цифр 9 делится на 9.
На 10: даПоследняя цифра 0 равна 0.

2430 делится без остатка на 2, 3, 5, 6, 9, 10.

Последняя цифра управляет делимостью на 2, 5 и 10

Любое натуральное число можно представить как несколько десятков и последнюю цифру:

$n=10q+d,$

где $d$ — цифра единиц. Десятки уже делятся на $2$ , $5$ и $10$ , поэтому остаток определяет только $d$ .

Почему для 3 и 9 складывают цифры

Рассмотрим число $472$ :

$472=4\cdot100+7\cdot10+2.$

Числа $10$ , $100$ , $1000$ и так далее при делении на $9$ дают остаток $1$ . Поэтому для остатка можно заменить каждый разряд его цифрой:

$472\ \text{и}\ 4+7+2=13$

дают одинаковый остаток при делении на $9$ . То же верно для деления на $3$ .

Например, сумма цифр числа $4716$ равна $4+7+1+6=18$ . Число делится и на $3$ , и на $9$ .

Восстановим цифру в числе 47□Разбираем вместе

Чтобы число делилось на $2$ , последняя цифра должна быть чётной.

Чтобы число делилось на $3$ , сумма $4+7+d=11+d$ должна делиться на $3$ . Подходящие цифры для этого условия: $1,4,7$ .

Среди них чётная только $4$ . Значит, искомое число — $474$ .

Оно делится на $6$ , потому что делится одновременно на $2$ и на $3$ .

Проверка понимания

Какую цифру нужно поставить в 49□, чтобы число делилось и на 3, и на 5?

Практика

Определи делимость числа $5733$ на $2$ , $3$ , $5$ , $9$ и $10$ .
Сделай то же для числа $12450$ .
Вставь цифру в $62\square$ , чтобы число делилось на $9$ .
Найди наименьшее четырёхзначное число, которое делится и на $9$ , и на $10$ .
Докажи: если число делится на $2$ и на $5$ , то оно делится на $10$ .
Может ли число делиться на $9$ , но не делиться на $3$ ?
Из цифр $2,4,5$ составь все трёхзначные числа без повторений, которые делятся на $5$ . Какие из них делятся на $3$ ?
Объясни, почему перестановка цифр не меняет делимость числа на $3$ и на $9$ .
Подбери цифру $a$ , чтобы число $73a2$ делилось на $6$ .

Ответы и объяснения

$5733$ делится на $3$ и $9$ (сумма $18$ ), но не на $2$ , $5$ и $10$ .
$12450$ делится на $2$ , $3$ , $5$ и $10$ ; не делится на $9$ , потому что сумма цифр $12$ .
$621$ : нужна цифра $1$ , чтобы сумма стала равна $9$ .
$1080$ : оно заканчивается нулём, а сумма цифр равна $9$ .
Последняя цифра одновременно чётная и равна $0$ или $5$ . Единственная возможность — $0$ .
Нет. Любое число, кратное $9=3\cdot3$ , кратно и $3$ .
На $5$ делятся $245$ и $425$ . Сумма цифр в обоих случаях $11$ , поэтому ни одно не делится на $3$ .
Сумма цифр при перестановке не меняется.
Последняя цифра уже чётная. Сумма цифр $12+a$ должна делиться на $3$ , поэтому $a=0,3,6$ или $9$ .

Итог

Делимость на $2$ , $5$ и $10$ определяется последней цифрой.
Делимость на $3$ и $9$ определяется суммой цифр.
Несколько признаков можно пересекать, постепенно сужая варианты.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.