3.2. Равные отношения и пропорции

6 класс · Отношения◷ 45–60 минут◇ БазаНужно знать: отношение и равные дроби

Для одной порции краски смешивают $2$ мерки синего пигмента и $3$ мерки белого. Для большой панели планируют взять $8$ мерок синего пигмента. Сколько мерок белого нужно, чтобы сохранить тот же оттенок?

◎ После урока ты сможешь

• строить равные отношения умножением или делением обеих частей на одно число
• читать пропорцию как равенство двух отношений
• находить неизвестный член через коэффициент масштаба или единицу

Сохрани состав

Лаборатория пропорций

Одинаковое изменение двух величин

Строй равные отношения и находи неизвестное через смысл масштаба.

таблица отношений

Построить равное отношениеНайти неизвестное

Первый член 2Целое число от 1 до 999

Второй член 3Целое число от 1 до 999

Новый первый член 8Целое число от 1 до 999

Строка	Первая величина	Вторая величина
Исходное отношение	2	3
Одно действие	× 4	× 4
Новое отношение	8	12

1. 1

   Читаем первую строку. На 2 единиц первой величины приходится 3 второй.

2. 2

   Находим значение для одной единицы. 3 ÷ 2 = 32. Это количество второй величины, которое приходится на одну единицу первой.

3. 3

   Переходим к 8 единицам. Умножаем обе величины на один масштаб 4; получаем 12.

?

2 : 3 = 8 : 12Мы проследили одинаковое изменение столбцов. Формула «крест-накрест» здесь не нужна как догадка.

↺ Вернуть пример

Если увеличить каждую часть рецепта в $4$ раза, получим

$2:3=8:12.$

Белого пигмента понадобится $12$ мерок. Количество краски выросло, а её состав не изменился.

∴ Пропорция

Равенство двух отношений называют пропорцией: $a:b=c:d,$ где $b\ne0$ и $d\ne0$. Это та же запись, что $\frac ab=\frac cd$.

Один множитель для обеих частей

Равные отношения строятся так же, как равные дроби:

$3:5=6:10=12:20=30:50.$

В каждом переходе обе части умножены на один коэффициент. Можно двигаться и назад, разделяя обе части на общий делитель.

! Ловушка: прибавить одинаковое число

Из $2:3$ нельзя получить равное отношение $4:5$, прибавив к обеим частям $2$: $\frac23\ne\frac45$. Отношение хранит множитель, поэтому обе части масштабируют умножением или делением, а не сложением.

Как найти неизвестное

Сначала ищи видимый коэффициент масштаба.

Решим 4 : 7 = x : 21Разбираем вместе

Вторая часть выросла с $7$ до $21$, то есть в $3$ раза. Чтобы отношение сохранилось, первая часть тоже должна вырасти в $3$ раза:

$x=4\cdot3=12.$

Проверка сокращением:

$12:21=4:7.$

Если коэффициент не виден сразу, удобно узнать значение на одну единицу.

Из 15 кг яблок получают 9 л сока. Сколько получится из 25 кг?Разбираем вместе

Сначала находим выход сока из $1$ кг:

$9:15=0{,}6\text{ л/кг}.$

Для $25$ кг:

$0{,}6\cdot25=15\text{ л}.$

Пропорция $15:9=25:x$ описывает тот же расчёт, но путь через единицу одновременно показывает смысл коэффициента.

Почему работают произведения крест-накрест

Если

$\frac ab=\frac cd,$

то умножение обеих частей равенства на ненулевое число $bd$ даёт

$ad=bc.$

И наоборот: при $b\ne0$ и $d\ne0$ из равенства $ad=bc$ можно вернуться к равенству дробей. Поэтому пропорцию можно проверить равенством произведений крайних и средних членов.

Для $4:7=12:21$:

$4\cdot21=84,\qquad 7\cdot12=84.$

✦ Формула — проверка смысла, а не замена ему

Перекрёстное умножение быстро находит неизвестное, но не отвечает, почему величины вообще должны образовать пропорцию. Сначала установи, что один и тот же состав или коэффициент действительно сохраняется.

Проверка понимания

Какое число завершает пропорцию 5 : 8 = 15 : x?

• А. 18
• Б. 24
• В. 40

Когда пропорции нет

Не любая пара изменений пропорциональна. Если к цене доставки всегда добавляют фиксированные $200$ рублей, удвоение массы посылки не обязательно удвоит всю стоимость. Если квадрат увеличить по стороне в $2$ раза, его площадь вырастет в $4$ раза, а не в $2$.

Пропорция подходит, когда обе связанные величины умножаются на один и тот же коэффициент относительно своих исходных значений.

Практика

Дополни равное отношение

1. $3:4=12:x$.
2. $7:9=x:27$.
3. $18:24=3:x$.
4. Верна ли пропорция $14:21=8:12$? Проверь двумя способами.

Реши через масштаб или единицу

5. На $6$ порций нужно $900$ г овощей. Сколько нужно на $10$ порций?
6. Автомобиль проехал $240$ км на $20$ л топлива при неизменном расходе. Сколько километров он проедет на $35$ л?
7. Для смеси берут песок и цемент в отношении $5:2$. Сколько килограммов цемента нужно на $30$ кг песка?
8. $8$ одинаковых тетрадей стоят $520$ рублей. Сколько стоят $13$ таких тетрадей?

Объясни

9. Ученик решил $2:5=x:20$ так: «К $5$ прибавили $15$, значит к $2$ тоже прибавлю $15$; $x=17$». Найди ошибку и реши верно.
10. Приведи пример, где одна величина увеличилась в $2$ раза, а другая — нет, поэтому пропорцию составлять нельзя.

Ответы и объяснения

1. $x=16$: множитель равен $4$.
2. $x=21$: множитель равен $3$.
3. $18:24=3:4$, поэтому $x=4$.
4. Да. Оба отношения сокращаются до $2:3$; также $14\cdot12=21\cdot8=168$.
5. На одну порцию приходится $900:6=150$ г; на $10$ порций нужно $1500$ г.
6. $240:20=12$ км/л; $12\cdot35=420$ км.
7. $30:5=6$ кг на одну условную часть; цемента $2\cdot6=12$ кг.
8. Одна тетрадь стоит $520:8=65$ рублей; $13\cdot65=845$ рублей.
9. Отношение сохраняет умножение, а не одинаковое приращение. $5$ увеличили в $4$ раза, значит $x=2\cdot4=8$.
10. Например, сторона квадрата выросла с $3$ до $6$ см в $2$ раза, а площадь — с $9$ до $36$ см² в $4$ раза.

Итог

• Пропорция утверждает, что два отношения равны.
• Равное отношение получается одним множителем для обеих частей.
• Коэффициент масштаба и путь через одну единицу раскрывают смысл; равенство перекрёстных произведений удобно для проверки.

Следующий урок соберёт единичную ставку, таблицу, формулу $y=kx$ и график в одну модель прямой пропорциональности.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным