3.3 Уравнения с модулем

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: модуль числа, равносильность и следствие, квадратные уравнения

Датчик показывает температуру $x$ градусов. В паспорте прибора написано: «отклонение от $20°$ не превышает $3°$». Слово «отклонение» здесь не про знак, а про расстояние — и записывается оно одним символом:

$|x-20|\le3.$

А если отклонение известно точно, получается уравнение $|x-20|=3$ с двумя ответами: $17$ и $23$. Модуль стирает разницу между «на три градуса выше» и «на три градуса ниже» — ровно так же, как квадрат стирает разницу между $1$ и $-1$. Оба ответа приходится восстанавливать вручную.

◎ После урока ты сможешь

• читать модуль как расстояние на координатной прямой
• решать уравнения с модулем разбором двух случаев
• переходить к равносильной системе или совокупности
• решать уравнения с суммой модулей методом промежутков

Прогноз до вычислений

• Сколько корней у уравнения $|x-4|=0$? А у $|x+3|=-2$?
• Уравнение $|x-1|=2x-4$: как думаешь, корней будет два или один?
• Уравнение $|x+1|-|x-2|=3$: может ли у него быть бесконечно много корней?

Эксперимент: галочка и прямая

График модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Поэтому там, где вторая линия ушла под ось, общих точек нет — сколько бы кандидатов ни выдал квадрат.

Лаборатория модуля

Модуль: два случая и одна картинка

График модуля никогда не опускается ниже оси. Поэтому там, где вторая линия ушла вниз, общих точек быть не может — и кандидат оттуда обязательно окажется посторонним.

|x − 1| = 2x − 4

|x − 2| = 3|x − 1| = 2x − 4|2x + 1| = x + 4|x − 3| = x − 5|x² − 5| = 4|x + 2| = |2x − 1|

|x − 1| = 2x − 4

Сколько корней у уравнения

Проверить

?

Сколько общих точек у линий уравнения |x − 1| = 2x − 4?Галочка модуля лежит выше оси всегда. Посмотри, где её пересекает вторая линия, и впиши число корней.

↺ Вернуть пример

Найди пример, в котором корней нет вообще, и пример, в котором их четыре.

Определение и три следствия

∴ Модуль

$|a|=\begin{cases}a,&a\ge0,\\ -a,&a<0.\end{cases}$

Геометрически $|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля, а $|a-b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$ на координатной прямой.

Три свойства, которыми мы будем пользоваться: $|a|\ge0$; $|a|=|-a|$; $\sqrt{a^2}=|a|$.

Определение через расстояние ты уже видел — в 6 классе, когда сравнивал числа со знаком. Ничего нового про сам модуль здесь не появилось: запись через два случая — это то же самое расстояние, только сказанное формулой. Новое — третье свойство $\sqrt{a^2}=|a|$: под модулем теперь может стоять целое выражение с буквой, и снимать его придётся, не зная заранее его знака.

∴ Простейшее уравнение

Для числа $c$ уравнение $|f(x)|=c$:

• при $c<0$ корней не имеет;
• при $c=0$ равносильно $f(x)=0$;
• при $c>0$ равносильно совокупности $f(x)=c$ или $f(x)=-c$.

∴ Модуль равен выражению

$|f(x)|=g(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} g(x)\ge0,\\ f(x)=g(x)\ \text{ или }\ f(x)=-g(x). \end{cases}$

$|f(x)|=|g(x)|\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=g(x)\ \text{ или }\ f(x)=-g(x).$

Во втором случае условия на знак нет: обе части неотрицательны сами по себе.

Схема с $g(x)\ge0$ — родная сестра схемы для корня из прошлого урока. Причина та же: слева стоит величина, которая не бывает отрицательной.

✦ Система и совокупность — разные слова

Система (фигурная скобка) означает «и»: должны выполняться все условия сразу. Совокупность (квадратная скобка) означает «или»: достаточно хотя бы одного.

В схеме выше есть и то и другое: условие на знак соединено с двумя вариантами через «и», а сами варианты — между собой через «или».

Фигурную скобку ты ставишь с 7 класса — в системах уравнений, а потом в системах неравенств 8 класса. Слово «система» во всех трёх случаях значит одно и то же «и»; разное только то, что стоит внутри скобки, — уравнения, неравенства или условия отбора.

А вот «или» до сих пор работало без имени: два корня из $A\cdot B=0$, два случая из $x^2=25$ — это уже были совокупности, просто мы их так не называли.

Разобранные примеры

Разбор по определениюРазбираем вместе

$|x-1|=2x-4.$

Случай 1: $x-1\ge0$, то есть $x\ge1$. Тогда модуль снимается со знаком плюс:

$x-1=2x-4,\qquad x=3.$

Условие $3\ge1$ выполнено — корень принимается.

Случай 2: $x-1<0$, то есть $x<1$. Тогда модуль снимается со знаком минус:

$-(x-1)=2x-4,\qquad -x+1=2x-4,\qquad 3x=5,\qquad x=\frac{5}{3}.$

Условие $x<1$ нарушено: $\dfrac{5}{3}>1$. Корень отбрасываем.

Ответ: $x=3$. Проверка: $|3-1|=2=2\cdot3-4$.

Тот же пример через системуРазбираем вместе

$|x-1|=2x-4\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} 2x-4\ge0,\\ x-1=2x-4\ \text{ или }\ x-1=-(2x-4). \end{cases}$

Из первого варианта $x=3$, из второго $x-1=-2x+4$, то есть $3x=5$ и $x=\dfrac{5}{3}$.

Условие $2x-4\ge0$ означает $x\ge2$. Значение $\dfrac{5}{3}\approx1{,}67$ ему не удовлетворяет.

Ответ: $x=3$ — тот же самый.

Два способа обязаны давать один ответ. Если ответы разошлись, ошибка есть ровно в одном из них — и её видно, если сравнить, какое условие где потеряно.

Модуль равен модулюРазбираем вместе

$|x-5|=|2x+1|.$

Условия на знак не нужно: обе части неотрицательны. Раскрываем совокупность:

$x-5=2x+1\ \Rightarrow\ x=-6;\qquad x-5=-(2x+1)\ \Rightarrow\ 3x=4\ \Rightarrow\ x=\frac{4}{3}.$

Проверка: $|-6-5|=11$ и $|2\cdot(-6)+1|=11$; $\left|\dfrac{4}{3}-5\right|=\dfrac{11}{3}$ и $\left|\dfrac{8}{3}+1\right|=\dfrac{11}{3}$.

Ответ: $-6$; $\dfrac{4}{3}$.

Сумма модулей: метод промежутковРазбираем вместе

$|x-1|+|x+2|=5.$

Каждый модуль меняет способ раскрытия в своей точке: первый — в $x=1$, второй — в $x=-2$. Эти две точки разбивают прямую на три промежутка.

Промежуток $x<-2$. Оба выражения отрицательны:

$-(x-1)-(x+2)=5,\qquad -2x-1=5,\qquad x=-3.$

Условие $-3<-2$ выполнено — корень принимается.

Промежуток $-2\le x<1$. Первое отрицательно, второе неотрицательно:

$-(x-1)+(x+2)=5,\qquad 3=5.$

Числовое равенство неверно — на этом промежутке корней нет.

Промежуток $x\ge1$. Оба неотрицательны:

$(x-1)+(x+2)=5,\qquad 2x+1=5,\qquad x=2.$

Условие $2\ge1$ выполнено.

Ответ: $-3$; $2$.

Геометрическая проверка: $|x-1|+|x+2|$ — сумма расстояний от $x$ до точек $1$ и $-2$. Между ними эта сумма постоянна и равна $3$, поэтому пятёрку можно получить только снаружи отрезка.

Проверка понимания

Уравнение |x − 3| = x − 5 возвели в квадрат и получили единственного кандидата x = 4. Каков ответ?

• А. Корней нет
• Б. x = 4
• В. x = 4 и x = 2

! Что ломается чаще всего

Раскрыли модуль двумя способами и забыли условия. Уравнения $f=g$ и $f=-g$ дают кандидатов, а не корни. Пока не проверено $g\ge0$ (или условие своей ветви), решение не закончено.

Написали $|x|=\pm x$. Такой записи не существует. Модуль равен одному конкретному числу; знак определяется знаком самого $x$, а не выбирается свободно.

Сократили $\sqrt{x^2}$ до $x$. Верно только при $x\ge0$; в общем случае $\sqrt{x^2}=|x|$. Например, $\sqrt{(-5)^2}=5$, а не $-5$.

В методе промежутков потеряли границу. Точки перелома нужно куда-то отнести — например, брать промежутки вида $[a;b)$. Если границу не включить ни в один промежуток, корень в ней просто исчезнет.

Практика

1. $|x|=7$
2. $|x-4|=0$
3. $|x+3|=-2$
4. $|2x-6|=8$
5. $|x-1|=2x-4$
6. $|3x+1|=x+3$
7. $|x-5|=|2x+1|$
8. $|x^2-4|=5$
9. $|x-1|+|x+2|=5$
10. $|x+1|-|x-2|=3$
11. $|x^2-5|=4$
12. $|x-2|=x-2$

Ответы и пояснения

1. $x=7$ или $x=-7$.
2. Модуль равен нулю только в одной точке: $x=4$.
3. Корней нет: модуль неотрицателен.
4. $2x-6=8$ даёт $x=7$; $2x-6=-8$ даёт $x=-1$. Ответ: $-1$; $7$.
5. Кандидаты $3$ и $\dfrac{5}{3}$; условие $2x-4\ge0$ оставляет только $x=3$.
6. Условие $x+3\ge0$, то есть $x\ge-3$. Варианты: $3x+1=x+3$ даёт $x=1$; $3x+1=-(x+3)$ даёт $4x=-4$ и $x=-1$. Оба подходят. Проверка: $|4|=4$ и $|-2|=2$. Ответ: $-1$; $1$.
7. $x=-6$ или $x=\dfrac{4}{3}$ (условия на знак не требуется).
8. $x^2-4=5$ даёт $x^2=9$ и $x=\pm3$; $x^2-4=-5$ даёт $x^2=-1$ — корней нет. Ответ: $-3$; $3$.
9. $-3$; $2$ (разбор в примере выше).
10. Точки перелома $-1$ и $2$. При $x<-1$: $-(x+1)+(x-2)=-3\ne3$ — корней нет. При $-1\le x<2$: $(x+1)+(x-2)=2x-1=3$, откуда $x=2$ — условию $x<2$ не удовлетворяет. При $x\ge2$: $(x+1)-(x-2)=3$ — верное равенство при любом таком $x$. Ответ: все $x\ge2$, то есть промежуток $[2;+\infty)$.
11. $x^2-5=4$ даёт $x=\pm3$; $x^2-5=-4$ даёт $x^2=1$ и $x=\pm1$. Ответ: $-3$; $-1$; $1$; $3$.
12. Равенство $|t|=t$ верно ровно при $t\ge0$. Значит $x-2\ge0$. Ответ: все $x\ge2$.

Итог

• $|a|$ — это расстояние, поэтому $|a|\ge0$ всегда, а $\sqrt{a^2}=|a|$, а не $a$.
• Уравнение $|f|=g$ равносильно системе «$g\ge0$ и ($f=g$ или $f=-g$)».
• Уравнение $|f|=|g|$ условия на знак не требует.
• Сумму модулей раскрывают по промежуткам, границы которых — нули подмодульных выражений; корень каждой ветви проверяют её же условием.
• Ответом может оказаться не число, а целый промежуток.

Мы уже несколько уроков пишем «и», «или», «множество корней», «при любом $x$». Пора разобраться с этими словами всерьёз — и научиться не только решать, но и доказывать.

← Иррациональные уравнения · Дальше: множества и логика →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным