4.2 Параллельность

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: аксиомы стереометрии, скрещивающиеся прямые, параллельные прямые на плоскости

Полки в шкафу параллельны полу, хотя ни одна из них его не касается. Стены соседних секций параллельны друг другу, и расстояние между ними одинаково по всей высоте. Чтобы эти утверждения стали проверяемыми, нужны признаки: что именно достаточно измерить, чтобы гарантировать параллельность.

◎ После урока ты сможешь

• применять определение параллельных прямых в пространстве и их транзитивность
• доказывать параллельность прямой и плоскости по признаку
• доказывать параллельность двух плоскостей по признаку
• находить угол между скрещивающимися прямыми параллельным переносом

Прогноз до вычислений

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, значит общего угла «на глаз» у них нет. Как ты думаешь, чему равен угол между ними: $0°$, $45°$ или $90°$? А между $AB$ и $CD_1$?

Запиши обе догадки. В лаборатории выбери вид пары и нажми «Проверить»: вместе с ответом появится и угол между прямыми — он вычислен по направляющим векторам, а не измерен по картинке.

Лаборатория пространства

Две прямые в кубе

Отметь два ребра и выясни, лежат ли они в одной плоскости. Куб можно повернуть: расположение прямых от этого не меняется.

66 пар рёбер

ABBCCDDAA₁B₁B₁C₁C₁D₁D₁A₁AA₁BB₁CC₁DD₁

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная: длины и углы на рисунке искажены, но параллельность прямых сохраняется.

Как расположены выбранные рёбра?

параллельныепересекающиесяскрещивающиесяПроверить

?

Пара AB и B₁C₁.Поверни куб, реши, есть ли плоскость, содержащая обе прямые, и выбери ответ.

Всего у куба 12 рёбер и 66 пар: 18 параллельных, 24 пересекающихся и 24 скрещивающихся.

↺ Вернуть пример

Параллельные прямые в пространстве

∴ Определение и две теоремы

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теорема 2 (транзитивность). Если $a\parallel b$ и $b\parallel c$, то $a\parallel c$.

Транзитивность в пространстве уже не очевидна: прямые $a$ и $c$ могут лежать в разных плоскостях, и требуется доказательство. Зато пользоваться ею удобно — почти каждая задача о кубе начинается с цепочки вида $A_1B_1\parallel AB\parallel DC$.

Угол между скрещивающимися прямыми

У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому угол между ними определяют переносом.

∴ Угол между скрещивающимися прямыми

Через произвольную точку проведём прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым $a$ и $b$. Полученный угол (тот из двух, который не тупой) и называется углом между $a$ и $b$. От выбора точки он не зависит.

Угол между прямыми всегда лежит в промежутке от $0°$ до $90°$.

Два угла в кубеРазбираем вместе

Угол между $AB$ и $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$, а прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ под углом $90°$ — это угол квадрата $ABCD$. Значит искомый угол равен $90°$.

Угол между $AB$ и $CD_1$. Заметим, что $CD_1\parallel BA_1$: отрезки $CB$ и $D_1A_1$ равны и параллельны, поэтому $CBA_1D_1$ — параллелограмм. Значит нужный угол равен углу $A_1BA$. Но $ABB_1A_1$ — квадрат, а $BA_1$ — его диагональ, поэтому

$\angle A_1BA=45°.$

Оба ответа получены без единого измерения по рисунку.

Прямая, параллельная плоскости

∴ Признак и свойство

Признак. Если прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна какой-нибудь прямой $b$, лежащей в $\alpha$, то $a\parallel\alpha$.

Свойство. Пусть $a\parallel\alpha$, а плоскость $\beta$ проходит через $a$ и пересекает $\alpha$ по прямой $b$. Тогда $a\parallel b$.

Признак экономит работу: вместо проверки бесконечного числа точек достаточно найти в плоскости одну удобную параллельную прямую. Например, $A_1B_1\parallel AB$, прямая $AB$ лежит в плоскости $ABCD$, а $A_1B_1$ в ней не лежит — значит $A_1B_1\parallel(ABCD)$.

! Две прямые, параллельные одной плоскости, могут пересекаться

Из $a\parallel\alpha$ и $b\parallel\alpha$ не следует $a\parallel b$. В кубе рёбра $AB$ и $AD$ оба параллельны плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, но пересекаются в точке $A$. Параллельность плоскости фиксирует только отсутствие общих точек с ней и ничего не говорит о взаимном расположении самих прямых.

Параллельные плоскости

∴ Признак параллельности плоскостей и его следствия

Определение. Плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следствие 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

Следствие 2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Слово «пересекающиеся» в признаке отбрасывать нельзя. Две параллельные прямые одной плоскости могут быть параллельны двум прямым другой плоскости, и при этом плоскости пересекутся: пара параллельных прямых задаёт только одно направление, а плоскость определяется двумя.

Противоположные грани куба параллельныРазбираем вместе

Докажем, что $(ABB_1A_1)\parallel(DCC_1D_1)$.

В первой плоскости возьмём пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$, во второй — $DC$ и $DD_1$. Грань $ABCD$ — квадрат, поэтому $AB\parallel DC$. Грань $ADD_1A_1$ — тоже квадрат, поэтому $AA_1\parallel DD_1$.

Две пересекающиеся прямые первой плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй — по признаку плоскости параллельны.

Отсюда сразу следует и равенство отрезков: например, $AD$ и $BC$ лежат на параллельных прямых между этими плоскостями, поэтому $AD=BC$.

Проверка понимания

Прямая a не лежит в плоскости α. Какое условие гарантирует, что a ∥ α?

• А. a не пересекает какую-то прямую плоскости α
• Б. a параллельна некоторой прямой, лежащей в α
• В. a перпендикулярна некоторой прямой из α

Практика

Во всех задачах о кубе речь идёт о $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$ см.

1. Докажи, что $B_1C_1\parallel(ABCD)$.
2. Докажи, что $(ABB_1A_1)\parallel(DCC_1D_1)$.
3. Найди угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.
4. Найди угол между прямыми $AB$ и $CD_1$.
5. Найди угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.
6. Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены плоскостью $\gamma$ по прямым $a$ и $b$. Как расположены $a$ и $b$?
7. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, точки $B$ и $D$ — в параллельной ей плоскости $\beta$, причём $AB\parallel CD$ и $AB=7$ см. Найди $CD$.
8. Верно ли, что из $a\parallel\alpha$ и $b\parallel\alpha$ следует $a\parallel b$? Приведи контрпример.
9. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Сколько прямых плоскости $\alpha$ параллельны прямой $a$?
10. Назови все рёбра куба, параллельные плоскости $BCC_1B_1$.

Ответы и пояснения

1. $B_1C_1\parallel BC$, прямая $BC$ лежит в плоскости $ABCD$, а $B_1C_1$ в ней не лежит. По признаку $B_1C_1\parallel(ABCD)$.
2. $AB\parallel DC$ и $AA_1\parallel DD_1$, обе пары состоят из пересекающихся прямых. По признаку плоскости параллельны.
3. $90°$: $B_1C_1\parallel BC$, а $\angle ABC=90°$.
4. $45°$: $CD_1\parallel BA_1$, а $BA_1$ — диагональ квадрата $ABB_1A_1$, поэтому $\angle A_1BA=45°$.
5. $45°$: $BC_1$ — диагональ квадрата $BCC_1B_1$, а $AA_1\parallel BB_1$, поэтому искомый угол равен $\angle B_1BC_1=45°$.
6. Параллельны — это следствие 1 из признака.
7. $CD=7$ см: отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
8. Неверно. Рёбра $AB$ и $AD$ параллельны плоскости $A_1B_1C_1D_1$, но пересекаются в точке $A$.
9. Бесконечно много, и все они параллельны друг другу: через каждую точку плоскости $\alpha$ проходит ровно одна такая прямая.
10. $AD$, $A_1D_1$, $AA_1$, $DD_1$ — четыре ребра. Остальные либо лежат в этой плоскости, либо пересекают её.

Итог

• Параллельность в пространстве требует общей плоскости, и она транзитивна.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят параллельным переносом одной из них.
• Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой этой плоскости и сама в ней не лежит.
• Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной параллельны двум пересекающимся прямым другой.

Теперь у нас есть язык, чтобы говорить о «непересечении». Дальше займёмся противоположным случаем — прямым углом между прямой и плоскостью.

← Аксиомы и взаимное расположение · Дальше: перпендикулярность →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным