3.3 Формула Ньютона–Лейбница

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: первообразная, определённый интеграл как предел сумм, производная

В прошлом уроке площадь под параболой стоила нам суммы квадратов, предела и целой страницы выкладок. Ответ получился короткий: $\dfrac13$.

Такая разница между длиной решения и длиной ответа — почти всегда признак того, что существует другой путь. Он существует. И он использует первообразную из урока 3.1.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять, почему функция площади является первообразной подынтегральной функции
• вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона–Лейбница
• применять свойства интеграла — линейность, аддитивность и смену знака при перестановке пределов
• находить площадь фигуры, ограниченной двумя графиками

Прогноз до вычислений

1. Пусть $S(x)$ — площадь под графиком постоянной функции $f(t)=3$ от точки $0$ до точки $x$. Запиши формулу для $S(x)$. Чему равна $S'(x)$?
2. Повтори то же для $f(t)=t$: площадь — это треугольник. Чему равна $S(x)$ и её производная?
3. Заметил закономерность? Сформулируй гипотезу.

Функция площади

Зафиксируем непрерывную неотрицательную функцию $f$ и точку $a$. Определим новую функцию: пусть $S(x)$ — площадь криволинейной трапеции от $a$ до $x$. При $x=a$ фигуры ещё нет, поэтому $S(a)=0$.

Что произойдёт, если сдвинуть правую границу на маленькое $\Delta x$? Добавится узкая вертикальная полоска шириной $\Delta x$ и высотой примерно $f(x)$ — она почти прямоугольник:

$\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)\approx f(x)\cdot\Delta x.$

Разделим на $\Delta x$:

$\frac{\Delta S}{\Delta x}\approx f(x).$

Чем меньше $\Delta x$, тем меньше высота полоски отличается от $f(x)$, и приближение становится всё точнее. В пределе получаем точное равенство.

∴ Функция площади — первообразная

Для непрерывной функции $f$ функция площади $S(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ дифференцируема, и

$S'(x)=f(x).$

Иначе говоря, накопленная площадь растёт со скоростью, равной текущей высоте графика. Это и есть мост между двумя половинами главы: площадь — первообразная.

Дальше остаётся арифметика. Пусть $F$ — какая-нибудь первообразная функции $f$. Обе функции, $S$ и $F$, имеют одну и ту же производную, значит, различаются на постоянную:

$S(x)=F(x)+C.$

Подставим $x=a$ и вспомним, что $S(a)=0$: получаем $0=F(a)+C$, то есть $C=-F(a)$. Теперь подставим $x=b$:

$S(b)=F(b)-F(a).$

∴ Формула Ньютона–Лейбница

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и $F$ — любая её первообразная, то

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Правую часть принято записывать короче: $F(x)\Big|_a^b$.

Слово «любая» здесь важно: если взять $F+C$ вместо $F$, то в разности постоянная сократится — $\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a)$. Поэтому при вычислении определённого интеграла писать $+C$ не нужно.

Тот же интеграл за три строкиРазбираем вместе

Вычислим $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$ — площадь под параболой на отрезке $[0;2]$.

Первообразная: $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

Подстановка:

$\int_0^2 x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^2=\frac{8}{3}-\frac{0}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}667.$

Сравним с суммами Римана при $n=4$: левая даёт $1{,}75$, правая — $3{,}75$, по серединам — $2{,}625$. Все три числа окружают $\dfrac83$, но ни одно не равно ему. Формула даёт точное значение сразу — и её длина не зависит от требуемой точности.

Свойства интеграла

Все они проверяются одной подстановкой в формулу Ньютона–Лейбница.

1. Нулевой отрезок: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0$.
2. Перестановка пределов: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$.
3. Линейность: $\displaystyle\int_a^b\bigl(kf(x)+mg(x)\bigr)dx=k\int_a^b f(x)\,dx+m\int_a^b g(x)\,dx$.
4. Аддитивность по отрезку: $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$.

Четвёртое свойство особенно полезно: длинный отрезок можно резать на куски там, где функция меняет знак или где меняется формула.

Площадь фигуры между двумя графиками

Пусть на отрезке $[a;b]$ выполнено $f(x)\geqslant g(x)$. Тогда вертикальный отрезок внутри фигуры между графиками имеет длину $f(x)-g(x)$ — а это в точности высота «полоски» из рассуждения о функции площади.

∴ Площадь между графиками

Если $f(x)\geqslant g(x)$ на всём отрезке $[a;b]$, то площадь фигуры, ограниченной графиками и прямыми $x=a$, $x=b$, равна

$S=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx.$

Формула не требует, чтобы графики лежали выше оси $Ox$: при сдвиге обеих функций вверх на одно и то же число разность не меняется, а фигура просто переезжает.

Если графики пересекаются внутри отрезка, разбей отрезок точками пересечения и на каждом куске бери разность «верхняя минус нижняя». Иначе куски частично погасят друг друга и площадь окажется заниженной.

Парабола и прямаяРазбираем вместе

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x^2$ и $y=x+2$.

Границы. Отрезка нам не дали — его задают сами точки пересечения:

$x^2=x+2\ \Longleftrightarrow\ x^2-x-2=0\ \Longleftrightarrow\ x=-1\ \text{или}\ x=2.$

Кто сверху. Проверим в удобной внутренней точке $x=0$: прямая даёт $2$, парабола — $0$. Значит, сверху прямая.

Интеграл разности.

$S=\int_{-1}^{2}\bigl(x+2-x^2\bigr)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{2}.$

Верхний предел: $2+4-\dfrac83=\dfrac{10}{3}$. Нижний предел: $\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac76$.

$S=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=4{,}5.$

Правдоподобно ли? Фигура помещается в прямоугольник шириной $3$ и высотой $\max(x+2-x^2)=2{,}25$ (максимум при $x=0{,}5$), то есть площадью $6{,}75$. Наш ответ занимает от него примерно две трети — как раз столько, сколько занимает «пузатая» параболическая фигура.

Проверь этот и другие примеры в лаборатории. Кнопка «Взять пределы по пересечениям» сама поставит границы, а список шагов повторит выкладку.

Лаборатория первообразной

Площадь считается вычитанием

Выбери две функции и отрезок. Площадь фигуры между графиками — это интеграл разности, а интеграл считается через первообразную.

F(b) − F(a)

Верхняя функция f022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³График этой функции рисуется сплошной линией.

Нижняя функция g022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³Значение «0» — это ось абсцисс: получится площадь под графиком.

Нижний предел a −1От −8 до 8.

Верхний предел b 2Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Графики пересекаются при x = −1; 2.Взять пределы по пересечениям

1. 1

   Разность: f(x) − g(x) = −x² + x + 2Высота вертикального отрезка внутри фигуры.

2. 2

   Первообразная: F(x) = −x³/3 + x²/2 + 2xПостоянную C можно не писать: при вычитании она исчезнет.

3. 3

   F(2) = 10/3, F(−1) = −7/6Подставляем сначала верхний предел, потом нижний.

4. 4

   F(b) − F(a) = 4,5Разность неотрицательна на всём отрезке, поэтому это и есть площадь.

∫

Площадь равна 4,5.Интеграл разности сразу даёт площадь: на всём отрезке один график лежит выше другого.

↺ Вернуть пример

Отдельно поставь эксперимент про знаки: возьми $f(x)=x^3$ и $g(x)=x$ на отрезке $[-1;1]$. Интеграл разности окажется равен нулю, а площадь — нет. Таблица кусков объяснит, почему.

Проверка понимания

Чему равен интеграл функции f(x) = x² от 1 до 3?

• А. 9
• Б. 26
• В. 26/3

! Где формула чаще всего ломается

Порядок подстановки. $F(a)-F(b)$ вместо $F(b)-F(a)$ даёт ответ с противоположным знаком. Отрицательная площадь — сигнал проверить порядок.

Отрицательная часть графика. Для $f(x)=x^2-2x$ на $[0;2]$ интеграл равен $-\dfrac43$, потому что график лежит ниже оси. Площадь фигуры равна $\dfrac43$: чтобы получить площадь, берут модуль или интегрируют $-f$.

Пересечение внутри отрезка. Считать площадь между $y=x^3$ и $y=x$ на $[-1;1]$ одним интегралом нельзя: получится $0$. Куски слева и справа от нуля лежат по разные стороны и гасят друг друга.

Лишняя постоянная. Запись $\displaystyle\int_0^1 x\,dx=\dfrac12+C$ бессмысленна: определённый интеграл — число, а не семейство.

Практика

1. Вычисли $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx$.
2. Вычисли $\displaystyle\int_1^2 x^3\,dx$.
3. Вычисли $\displaystyle\int_0^1(2x+1)\,dx$.
4. Вычисли $\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx$.
5. Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$.
6. Вычисли $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$.
7. Вычисли $\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x^2}$.
8. Найди площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x$ и $y=x^2$.
9. Найди площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x^2$ и $y=x+2$, и сравни с разбором выше.
10. Найди площадь фигуры между графиками $y=x^3$ и $y=x$ на отрезке $[-1;1]$.
11. Проверь аддитивность: вычисли $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$, $\displaystyle\int_2^3 x^2\,dx$ и сравни их сумму с задачей 1.
12. Вычисли $\displaystyle\int_3^0 x^2\,dx$ и объясни знак.
13. Найди положительное $b$, при котором $\displaystyle\int_0^b x\,dx=8$.
14. Вычисли $\displaystyle\int_0^1(6x^2-4x)\,dx$. Затем найди площадь фигуры между графиком $y=6x^2-4x$ и осью $Ox$ на том же отрезке.

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^3=\dfrac{27}{3}=9$.
2. $\dfrac{x^4}{4}\Big|_1^2=\dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}=3{,}75$.
3. $(x^2+x)\Big|_0^1=2-0=2$. Проверка: это трапеция с основаниями $1$ и $3$ и высотой $1$.
4. $\dfrac{x^3}{3}\Big|_{-1}^{1}=\dfrac13-\left(-\dfrac13\right)=\dfrac23$.
5. $(-\cos x)\Big|_0^{\pi}=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2$.
6. $\left(4x-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2}=\left(8-\dfrac83\right)-\left(-8+\dfrac83\right)=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$.
7. $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, первообразная $-\dfrac1x$; ответ $-\dfrac12+1=\dfrac12$.
8. Пересечения: $x^2=x$ при $x=0$ и $x=1$; сверху прямая. $S=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)dx=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$.
9. $S=4{,}5$ — совпадает с разбором.
10. Графики пересекаются при $x=-1,\ 0,\ 1$. На $[-1;0]$ сверху $x^3$, на $[0;1]$ сверху $x$. Каждый кусок даёт $\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$, вместе $S=\dfrac12$. Один общий интеграл разности дал бы $0$.
11. $\dfrac83+\dfrac{19}{3}=\dfrac{27}{3}=9$ — совпадает с задачей 1.
12. $\dfrac{x^3}{3}\Big|_3^0=0-9=-9$. Пределы переставлены, поэтому знак противоположный: интеграл «идёт справа налево».
13. $\dfrac{b^2}{2}=8$, откуда $b^2=16$ и $b=4$.
14. $\left(2x^3-2x^2\right)\Big|_0^1=2-2=0$. Но площадь нулю не равна: график пересекает ось при $x=\dfrac23$. На $\left[0;\dfrac23\right]$ интеграл равен $-\dfrac{8}{27}$, на $\left[\dfrac23;1\right]$ — $+\dfrac{8}{27}$, поэтому $S=\dfrac{16}{27}$.

Итог

• Функция площади $S(x)$ имеет производную $f(x)$ — площадь накапливается со скоростью, равной высоте графика.
• Формула Ньютона–Лейбница превращает предел сумм в разность двух значений первообразной: $\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)$.
• Постоянная $C$ при вычислении определённого интеграла сокращается.
• Площадь между графиками — интеграл разности «верхняя минус нижняя»; при пересечении внутри отрезка его режут на куски.

Мы научились считать площадь точно. Но площадь под графиком — далеко не всегда про геометрию: под графиком скорости прячется путь, под графиком силы — работа, под графиком расхода — объём. В следующем уроке разберёмся, как читать интеграл в задачах, где никакого рисунка изначально нет.

← Площадь под графиком · Дальше: накопление величины →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным