1.5 Степень с целым показателем

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: степень с натуральным показателем, свойства степеней, стандартный вид числа, действия с дробями

В 7 классе ты записывал расстояние до Солнца как $1{,}496\cdot10^{8}$ км — коротко и удобно. А теперь возьмём диаметр вируса: примерно $0{,}0000001$ м. Нулей столько же, считать их так же тяжело, но записать число в том же виде пока нечем: степень десятки должна пойти в другую сторону.

Начнём с простого вопроса. Вот лестница:

$10^{3}=1000,\qquad 10^{2}=100,\qquad 10^{1}=10,\qquad 10^{0}=?,\qquad 10^{-1}=?$

Что стоит на месте вопросительных знаков — и кто вообще имеет право это решать?

◎ После урока ты сможешь

• объяснять, почему при a ≠ 0 равенства a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ — единственно возможные
• вычислять степени с целым отрицательным показателем и записывать их дробью
• применять свойства степеней к любым целым показателям
• записывать малые числа в стандартном виде и выполнять с ними умножение и деление

Прогноз до вычислений

Каждая следующая строчка лестницы получается из предыдущей одним и тем же действием. Найди это действие и назови два пропущенных числа до эксперимента:

1. Что нужно сделать со значением, чтобы показатель уменьшился на единицу?
2. Чему тогда обязано равняться $10^{0}$?
3. А $10^{-1}$?

Проверь догадку в лаборатории: сначала введи свои ответы, потом нажми «Проверить». Основание можно менять — правило от этого не зависит.

Лаборатория целых показателей

Ниже нуля: a⁰ и a⁻ⁿ

Спустись по лестнице показателей на ступень ниже нуля и проверь, что свойства степеней при этом остаются в силе.

a⁻ⁿ

Лестница показателейСвойства для целых показателей

Основание a 2

−+

Целое от 2 до 10; ноль в отрицательной степени не определён.

Верхняя ступень 3

−+

С какого натурального показателя начинаем спуск.

Глубина ниже нуля 3

−+

Сколько ступеней проходим после нулевого показателя.

Моё значение a⁰

Моё значение a⁻¹ (можно дробью 1/2)

Проверить

Что держит лестницу

Каждая ступень вниз — деление на основание

Показатель уменьшился на единицу — значит из произведения ушёл один множитель, то есть значение разделили на 2. Ниже единицы это правило не отменяется — продолжи деление сам и проверь прогноз. Основание обязано быть отличным от нуля: делить на ноль нельзя.

=

Назови 2 в нулевой и в минус первой степени, потом нажми «Проверить».Отрицательный показатель не делает число отрицательным: он переворачивает дробь.

↺ Вернуть пример

Ступень вниз — это деление на основание. Логика не обрывается на $a^{1}$: она спокойно продолжается через ноль и уходит ниже. Но пока это только наблюдение. Определение так не вводят — его выводят.

Почему выбора нет

Мы хотим одного: сохранить главное свойство степеней

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Посмотрим, к чему оно нас обязывает, если позволить показателю быть нулём. Пусть $a\ne0$ и $n$ — натуральное. Тогда

$a^{n}\cdot a^{0}=a^{n+0}=a^{n}.$

Число $a^{n}$ не равно нулю, поэтому обе части можно на него разделить:

$a^{0}=1.$

Никакой договорённости «пусть будет единица» здесь нет: любое другое значение сломало бы свойство. Теперь тот же приём с отрицательным показателем:

$a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}=1.$

Значит, $a^{-n}$ — это число, которое в произведении с $a^{n}$ даёт единицу, то есть число, обратное к $a^{n}$.

∴ Степень с целым показателем

Пусть $a\ne0$ и $n$ — натуральное число. Тогда по определению

$a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.$

Вместе с натуральными показателями это даёт степень $a^{k}$ для любого целого $k$.

Полезное следствие для дробей:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n},\qquad a\ne0,\ b\ne0.$

Отрицательный показатель просто переворачивает дробь.

◆ Условие a ≠ 0 — не формальность

Определение $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ содержит деление на $a^{n}$, а при $a=0$ это деление на ноль. Поэтому записи $0^{-1}$, $0^{-2}$ и вообще $0^{-n}$ не имеют смысла.

Не определено и $0^{0}$: вывод $a^{0}=1$ опирался на деление на $a^{n}\ne0$, а при $a=0$ делить не на что.

Зато $0^{5}=0$ — натуральный показатель к нулю по-прежнему применим.

Свойства не изменились

Определение подбиралось так, чтобы старые правила продолжали работать. И они работают — уже для любых целых показателей.

∴ Пять правил для целых показателей

Пусть $a\ne0$, $b\ne0$, а $m$ и $n$ — любые целые числа. Тогда

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn},$

$(ab)^{n}=a^{n}b^{n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}.$

Главное изменение — в правиле частного. В 7 классе приходилось требовать $m\geqslant n$, чтобы показатель остался натуральным. Теперь это условие снято: разность $m-n$ может быть любой.

Проверь это на конкретных числах: поставь отрицательные показатели и сравни два пути — вычисление по свойству и прямое действие над значениями степеней.

Лаборатория целых показателей

Ниже нуля: a⁰ и a⁻ⁿ

Спустись по лестнице показателей на ступень ниже нуля и проверь, что свойства степеней при этом остаются в силе.

a⁻ⁿ

Лестница показателейСвойства для целых показателей

ПроизведениеЧастноеСтепень степени

Основание a 2

−+

На этом числе свойство проверяется точным вычислением.

Первый показатель m 2

−+

Целое от −6 до 6.

Второй показатель n 5

−+

Целое от −6 до 6; теперь минус разрешён.

2²:2⁵=2⁻³

Два пути к одному числу

Свойство против прямого вычисления

Что считаем	Точное значение
22	4
25	32
по свойству: 2−3	1/8
прямым действием	1/8

Показатели вычитаются; теперь разность может быть и отрицательной, и нулевой.

Проверка на числе

Оба пути дают 1/8

Правило не пришлось менять: оно работает для любых целых показателей, потому что определения a⁰ и a⁻ⁿ выбраны именно так, чтобы его сохранить.

=

Показатель результата равен −3.Показатели вычитаются; теперь разность может быть и отрицательной, и нулевой.

↺ Вернуть пример

Три значения и проверка каждогоРазбираем вместе

$2^{-3}$. По определению $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$.

Проверка свойством: $2^{3}\cdot2^{-3}$ обязано равняться $2^{0}=1$. И правда $8\cdot\dfrac{1}{8}=1$.

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$. Дробь переворачивается: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$.

Проверка по определению: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$, а $\dfrac{1}{4/9}=\dfrac{9}{4}$. Сошлось.

$0{,}1^{-3}$. Здесь удобно заметить, что $0{,}1=10^{-1}$, поэтому

$0{,}1^{-3}=\left(10^{-1}\right)^{-3}=10^{3}=1000.$

Проверка по определению: $0{,}1^{3}=0{,}001$, а $\dfrac{1}{0{,}001}=1000$.

Упрощение выраженийРазбираем вместе

Всюду считаем, что буквы отличны от нуля.

$a^{5}\cdot a^{-3}=a^{5+(-3)}=a^{2}$.

Проверим на числе $a=2$: $32\cdot\dfrac{1}{8}=4$, и правда $2^{2}=4$.

$\dfrac{a^{-2}}{a^{-5}}=a^{-2-(-5)}=a^{3}$.

Вычитание отрицательного показателя — обычное вычитание целых чисел: $-2-(-5)=-2+5=3$.

$\left(a^{-3}\right)^{2}=a^{-6}=\dfrac{1}{a^{6}}$.

Ответ принято дописывать без отрицательного показателя — в виде дроби.

$\dfrac{x^{-2}y^{3}}{x^{-4}y}=x^{-2-(-4)}\cdot y^{3-1}=x^{2}y^{2}$.

Проверка понимания

Чему равно (−5)⁰?

• А. 0
• Б. 1
• В. −1

! Минус в показателе — не минус у числа

Самая частая ошибка: «$4^{-2}$ — это $-16$».

Отрицательный показатель говорит только одно: возьми число, обратное к степени. Знак результата определяет основание, а не показатель:

$4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16},\qquad (-4)^{-2}=\frac{1}{(-4)^{2}}=\frac{1}{16},\qquad (-4)^{-3}=\frac{1}{(-4)^{3}}=-\frac{1}{64}.$

Проверка на пальцах: степень с отрицательным показателем у положительного основания всегда положительна и меньше единицы, если основание больше единицы.

Проверка понимания

Чему равно 4⁻²?

• А. −16
• Б. 1/16
• В. −8

Малые числа в стандартном виде

Теперь запись $a\cdot10^{n}$ работает в обе стороны. Возьмём число $0{,}00034$:

$0{,}00034=\frac{3{,}4}{10\,000}=\frac{3{,}4}{10^{4}}=3{,}4\cdot10^{-4}.$

Практическое правило прежнее: поставь запятую после первой значащей цифры и посчитай, на сколько знаков она переехала. Если запятая поехала вправо — показатель отрицательный.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

Число

Например 149600000, 5720 или 0,00042.

Моя мантисса a, где 1 ≤ a < 10

Мой показатель 0

−+

Показатель степени десятки.

Проверить

0,00034=?

Порядок числа

Показатель равен -4 — он отрицательный

Для чисел меньше единицы нужен отрицательный показатель: это степень с целым показателем, и запись a · 10ⁿ работает в обе стороны.

=

Запиши число в стандартном виде и нажми «Проверить».Стандартный вид сравнивает числа по порядку: сначала смотрим на показатель, и только потом на мантиссу.

↺ Вернуть пример

Умножение и деление тоже не меняются — показатели просто складываются и вычитаются как целые числа:

$(3\cdot10^{-4})\cdot(2\cdot10^{-3})=6\cdot10^{-7},\qquad (8\cdot10^{-2}):(4\cdot10^{3})=2\cdot10^{-5}.$

Проверка понимания

Какая запись является стандартным видом числа 0,00034?

• А. 3,4 · 10⁻⁴
• Б. 34 · 10⁻⁵
• В. 3,4 · 10⁴

Степень с минусом — это дробь

Запись $a^{-n}$ и запись $\dfrac{1}{a^{n}}$ означают одно и то же число. Зачем тогда две формы?

• Дробь удобна в ответе: её видно, с ней складывают и сокращают.
• Степень удобна в вычислениях: умножение превращается в сложение показателей, и длинные выражения сворачиваются в одну строчку.

Отсюда и общая привычка: считать в степенях, а ответ записывать дробью.

$3x^{-2}=\frac{3}{x^{2}},\qquad (3x)^{-2}=\frac{1}{9x^{2}},\qquad \frac{2}{y^{-3}}=2y^{3}.$

Обрати внимание на разницу между первыми двумя записями: в $3x^{-2}$ показатель относится только к $x$, а в $(3x)^{-2}$ — ко всей скобке, поэтому тройка тоже возводится в квадрат.

И ещё одно наблюдение, которое пригодится в следующей главе: условие $x\ne0$ у степени $x^{-2}$ — это ровно то же условие, что и у алгебраической дроби $\dfrac{1}{x^{2}}$. Ограничение никуда не исчезает от смены записи.

Практика

Всюду считай, что буквенные основания отличны от нуля.

1. Вычисли: $3^{-2}$, $5^{-1}$, $10^{-3}$, $2^{-5}$.
2. Вычисли: $9^{0}$, $(-7)^{0}$, $\left(\dfrac{3}{8}\right)^{0}$.
3. Вычисли: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$, $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}$, $0{,}1^{-3}$.
4. Запиши без отрицательного показателя: $a^{-6}$, $5x^{-2}$, $(5x)^{-2}$, $\dfrac{3}{y^{-4}}$.
5. Упрости и запиши ответ одной степенью: $a^{9}\cdot a^{-5}$, $a^{-2}\cdot a^{-6}$, $\dfrac{a^{3}}{a^{7}}$, $\left(a^{-3}\right)^{-2}$.
6. Вычисли: $2^{6}\cdot2^{-8}$, $\dfrac{3^{2}}{3^{5}}$, $\left(10^{-2}\right)^{3}$.
7. Запиши в стандартном виде: $0{,}00034$, $0{,}000512$, $0{,}0000006$.
8. Запиши обычной десятичной записью: $2{,}5\cdot10^{-3}$, $7\cdot10^{-6}$, $1{,}08\cdot10^{-2}$.
9. Вычисли и запиши ответ в стандартном виде: $(3\cdot10^{-4})\cdot(2\cdot10^{-3})$, $(8\cdot10^{-2}):(4\cdot10^{3})$.
10. Что больше: $2^{-3}$ или $3^{-2}$?
11. Диаметр вируса примерно $1\cdot10^{-7}$ м, толщина волоса — $7\cdot10^{-5}$ м. Во сколько раз волос толще?
12. Упрости $\dfrac{x^{-3}y^{2}}{x^{-5}y^{-1}}$ и запиши ответ без отрицательных показателей.
13. Объясни, почему записи $0^{-2}$ и $0^{0}$ не имеют смысла, а запись $0^{2}$ — имеет.

Ответы и пояснения

1. $3^{-2}=\dfrac{1}{9}$; $5^{-1}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$; $10^{-3}=0{,}001$; $2^{-5}=\dfrac{1}{32}$.
2. Все три равны $1$: нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна единице.
3. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$; $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}=4$; $0{,}1^{-3}=\dfrac{1}{0{,}001}=1000$.
4. $a^{-6}=\dfrac{1}{a^{6}}$; $5x^{-2}=\dfrac{5}{x^{2}}$; $(5x)^{-2}=\dfrac{1}{25x^{2}}$; $\dfrac{3}{y^{-4}}=3y^{4}$.
5. $a^{9-5}=a^{4}$; $a^{-2+(-6)}=a^{-8}$; $a^{3-7}=a^{-4}$; $a^{(-3)\cdot(-2)}=a^{6}$.
6. $2^{6-8}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$; $3^{2-5}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$; $10^{-6}=0{,}000001$.
7. $3{,}4\cdot10^{-4}$; $5{,}12\cdot10^{-4}$; $6\cdot10^{-7}$.
8. $0{,}0025$; $0{,}000007$; $0{,}0108$.
9. $(3\cdot2)\cdot10^{-4+(-3)}=6\cdot10^{-7}$; $(8:4)\cdot10^{-2-3}=2\cdot10^{-5}$.
10. $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$, а $3^{-2}=\dfrac{1}{9}\approx0{,}111$. Больше $2^{-3}$: у дробей с единицей в числителе больше та, у которой знаменатель меньше.
11. $\dfrac{7\cdot10^{-5}}{1\cdot10^{-7}}=7\cdot10^{-5-(-7)}=7\cdot10^{2}=700$ раз.
12. $x^{-3-(-5)}\cdot y^{2-(-1)}=x^{2}y^{3}$.
13. Запись $0^{-2}$ означает $\dfrac{1}{0^{2}}=\dfrac{1}{0}$ — деление на ноль. Равенство $a^{0}=1$ выведено делением на $a^{n}\ne0$, поэтому для $a=0$ оно не работает и $0^{0}$ не определено. А $0^{2}=0\cdot0=0$ — обычное произведение, здесь ничего не запрещено.

Итог

• При $a\ne0$ по определению $a^{0}=1$ и $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$; иначе сломалось бы правило $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$.
• Условие $a\ne0$ обязательно: $0^{0}$ и $0^{-n}$ не определены.
• Все пять свойств степеней работают для любых целых показателей; в частном исчезло требование $m\geqslant n$.
• Стандартный вид $a\cdot10^{n}$ теперь описывает и малые числа: $0{,}00034=3{,}4\cdot10^{-4}$.
• Степень с отрицательным показателем — это дробь: считать удобнее степенями, а отвечать — дробью.

Показатель прошёл весь путь от натуральных чисел до целых. Следующий шаг — дробный показатель, и сделан он будет тем же приёмом: сохраняя свойства степеней. Но это уже старшие классы, а сейчас соберём всю главу в практикуме.

← Свойства корня · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным