5.6 Практикум: павильон-многогранник

10 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 5.1–5.5

Школа строит выставочный павильон: шестигранная башня с шатровой крышей и кубический витринный блок рядом. Нужно заказать профиль на каркас, ткань на обшивку и заранее показать заказчику разрез витрины.

Каждая строка сметы — это отдельная величина, и почти каждая ошибка в этой главе происходит не в арифметике, а на шаге «какую формулу здесь брать».

◎ После урока ты сможешь

• выбирать нужную величину и формулу по реальному вопросу
• связывать чертёж, счёт элементов, сечение и площадь поверхности
• проверять результат вторым способом и формулой Эйлера
• называть ограничения своей модели

Станция 1. Каркас

Корпус павильона — правильная шестиугольная призма. Сколько отрезков профиля придётся нарезать и сколько узлов сварить?

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

V − E + F

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a3 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Высота h4 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Сколько рёберПроверить

?

Сосчитай рёбра по модели.Считай по группам: рёбра оснований и боковые рёбра. Затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Полный расчёт павильонаРазбираем вместе

Корпус — правильная шестиугольная призма: сторона основания $3$ м, высота $4$ м. Крыша — правильная шестиугольная пирамида на верхнем основании корпуса, высота крыши $2$ м.

Каркас. У призмы $3\cdot6=18$ рёбер, у пирамиды $2\cdot6=12$. Шесть рёбер верхнего основания призмы одновременно являются рёбрами основания крыши, поэтому разных отрезков

$18+12-6=24.$

Их длины: $12$ горизонтальных рёбер по $3$ м, $6$ вертикальных по $4$ м и $6$ боковых рёбер крыши. Для шестиугольника $R=a=3$, значит боковое ребро крыши равно $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx3{,}61$ м. Всего профиля

$12\cdot3+6\cdot4+6\sqrt{13}=36+24+6\sqrt{13}\approx81{,}63\text{ м}.$

Стены. $P=18$ м, поэтому $S_{\text{бок}}=18\cdot4=72\text{ м}^2$.

Кровля. Для шестиугольника $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, значит $r^2=6{,}75$ и апофема крыши

$l=\sqrt{2^2+6{,}75}=\sqrt{10{,}75}\approx3{,}28\text{ м}.$

$S_{\text{кровли}}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot3{,}28\approx29{,}51\text{ м}^2.$

Пол. $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\cdot3^2\sqrt{3}}{2}=13{,}5\sqrt{3}\approx23{,}38\text{ м}^2.$

Проверка Эйлера для корпуса: $12-18+8=2$. Сходится.

Станция 2. Обшивка

Тот же корпус, но теперь считаем материал. Сначала прикинь ответ в уме, потом проверь.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

м²

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a3 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Высота h4 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Полная поверхность, м²Проверить

?

Вычисли площадь полной поверхности.Сначала площадь основания, потом боковую поверхность Ph. Ответ округли до сотых.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание: лаборатория показывает и полную поверхность, а на стены нужна только боковая. Полная включает пол и потолок, которые обшивать не надо.

Станция 3. Разрез витрины

Витринный блок — куб с ребром $6$ дм. Дизайнер просит разрез через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, а затем — через середины рёбер $AB$, $BC$ и $CC_1$.

Лаборатория сечений

Сечение куба плоскостью через три точки

Поставь три точки на рёбрах куба ABCDA₁B₁C₁D₁ — лаборатория найдёт все точки пересечения плоскости с рёбрами и соберёт из них многоугольник.

3 точки

Треугольник у вершиныДиагональное сечениеПятиугольникПравильный шестиугольник

Точка M на ребреABABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Точка N на ребреADABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Точка K на ребреCC₁ABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Ребро куба6 дм

Плоскость пересекает пять из шести граней куба.

Сколько сторон у многоугольника сечения?

3456Проверить

?

Сколько сторон будет у сечения?Посчитай, скольких граней куба касается плоскость: столько сторон и получится. Затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Сначала назови число сторон, не глядя на ответ: посчитай, скольких граней касается плоскость. Потом переключай заготовки и проверяй каждую.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или приближённое и какое допущение модели использовано.

Пример: «кровля — $4{,}5\sqrt{43}\approx29{,}51\text{ м}^2$, боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды, без нахлёстов и свесов». Число без такого паспорта нельзя ни проверить, ни защитить перед заказчиком.

Проверка понимания

Нужно посчитать, сколько ткани уйдёт на стены шестигранной башни — без пола и без потолка. Какая величина нужна?

• А. Полная поверхность призмы
• Б. Боковая поверхность призмы, P · h
• В. Объём призмы

Итоговый набор задач

1. У призмы $27$ рёбер. Определи основание, число вершин и число граней. Проверь формулу Эйлера.
2. У пирамиды $22$ ребра. Сколько у неё вершин и граней?
3. У выпуклого многогранника $14$ граней и $24$ ребра. Сколько вершин?
4. Все грани многогранника — треугольники, их $20$, в каждой вершине сходится $5$ рёбер. Найди $E$ и $V$ и назови тело.
5. Правильная четырёхугольная призма: сторона основания $6$, высота $9$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
6. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания $4$, высота $10$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
7. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $12$, апофема $10$. Найди $S_{\text{полн}}$ и высоту.
8. Ребро куба равно $8$. Найди площадь диагонального сечения.
9. Ребро куба равно $4$. Через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Найди периметр и площадь сечения.
10. Ребро куба равно $2$. Через середины рёбер $AB$, $BC$ и $CC_1$ проведена плоскость. Определи вид сечения, найди его сторону и площадь.
11. Крыша — правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания $8$ м и высотой $3$ м. Сколько квадратных метров кровли нужно без учёта нахлёстов?
12. Павильон: корпус — правильная шестиугольная призма со стороной $3$ м и высотой $4$ м; крыша — правильная шестиугольная пирамида на том же основании с высотой $2$ м. Найди площадь стен и площадь кровли.

Ответы, модели и проверки

1. $3n=27$, $n=9$; $V=18$, $F=11$. Проверка: $18-27+11=2$.
2. $2n=22$, $n=11$; $V=12$, $F=12$. Проверка: $12-22+12=2$.
3. $V=2+E-F=2+24-14=12$.
4. $2E=20\cdot3=60$, $E=30$; $V=\dfrac{60}{5}=12$. Икосаэдр.
5. $P=24$; $S_{\text{бок}}=24\cdot9=216$; $S_{\text{осн}}=36$; $S_{\text{полн}}=216+72=288$.
6. $r=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$, $r^2=12$; $l=\sqrt{100+12}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\approx10{,}58$. $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot24\cdot4\sqrt{7}=48\sqrt{7}\approx127{,}00$; $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\cdot16\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\approx41{,}57$; $S_{\text{полн}}\approx168{,}57$.
7. $P=48$; $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot48\cdot10=240$; $S_{\text{осн}}=144$; $S_{\text{полн}}=384$. Высота: $r=6$, $h=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
8. Прямоугольник $8\times8\sqrt{2}$: $S=64\sqrt{2}\approx90{,}51$.
9. Сторона $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$; треугольник равносторонний, $P=6\sqrt{2}\approx8{,}49$; $S=\dfrac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}\approx3{,}46$.
10. Правильный шестиугольник со стороной $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\approx1{,}41$; $S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2=3\sqrt{3}\approx5{,}20$. Для справки $P=6\sqrt{2}\approx8{,}49$.
11. $r=4$, $l=\sqrt{9+16}=5$; $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot32\cdot5=80\text{ м}^2$.
12. Стены: $P=18$ м, $S_{\text{бок}}=18\cdot4=72\text{ м}^2$. Кровля: $r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, $r^2=6{,}75$, $l=\sqrt{4+6{,}75}=\sqrt{10{,}75}\approx3{,}28$ м; $S=\tfrac12\cdot18\cdot3{,}28\approx29{,}51\text{ м}^2$. Точная запись кровли: $\tfrac12\cdot18\cdot\dfrac{\sqrt{43}}{2}=4{,}5\sqrt{43}$.

Рефлексия проекта

1. Какие ответы в наборе точные, а какие пришлось округлять? Почему?
2. Какую задачу можно проверить вторым способом, не повторяя первый?
3. Какое реальное ограничение не учитывает модель павильона?

Возможные ответы: точные — все, где числа целые или записаны через корень ($64\sqrt{2}$, $3\sqrt{3}$, $384$); округляем только там, где нужен ответ в метрах для сметы. Задачи на счёт элементов проверяются формулой Эйлера, задачи на боковую поверхность пирамиды — через отношение $S_{\text{осн}}:\cos\varphi$, задачи на сечение — сравнением с числом пересечённых граней. Модель не учитывает толщину стен и профиля, нахлёсты и швы ткани, свесы кровли, оконные и дверные проёмы и запас материала на раскрой.

✦ Мост дальше

Сейчас все наши тела были составлены из плоских многоугольников. Дальше в курсе появятся тела вращения — цилиндр, конус, шар, — и окажется, что призма с очень большим числом сторон почти неотличима от цилиндра, а пирамида — от конуса. Формулы $S_{\text{бок}}=Ph$ и $S_{\text{бок}}=\tfrac12Pl$ перейдут в $2\pi Rh$ и $\pi Rl$ буквально подстановкой $P=2\pi R$.

А после поверхностей придёт очередь объёма — и там снова понадобится умение честно строить сечение: объём тела считают, интегрируя площади его сечений.

← Объёмы многогранников · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным