Тела вращения

11 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: окружность и круг, теорема Пифагора, призма и пирамида, развёртки и объём

Консервная банка, ведро, воронка, мяч, бак для воды, барабан стиральной машины, купол цирка. У всех этих предметов есть общее свойство: каждый из них получается, если вращать плоскую фигуру вокруг прямой. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.

Это не просто красивое наблюдение. Из него следует всё остальное: почему любое сечение, перпендикулярное оси, — круг; почему у конуса все образующие равны; почему боковую поверхность цилиндра можно разложить в прямоугольник, а сферу разложить нельзя вообще никак.

В 10 классе мы считали поверхность многогранников, разрезая их по рёбрам. Теперь рёбер нет — есть гладкая поверхность. Инструмент меняется, но идея остаётся прежней: свести пространственную задачу к плоской.

◎ После урока ты сможешь

• описывать цилиндр, конус и шар как тела вращения и называть их элементы
• строить и вычислять осевые сечения и сечения, параллельные основанию
• применять развёртку для вычисления боковой и полной поверхности
• находить сечения шара плоскостью и различать секущую и касательную плоскости
• вычислять объёмы цилиндра, конуса и шара и объяснять их связь через принцип Кавальери

◆ Чертёж честный, но не измеримый

Пространственное тело изображают параллельной проекцией. Окружность основания при этом превращается в эллипс: горизонтальный размер сохраняется, а вертикальный сжимается. Поэтому на рисунке нельзя измерять ни радиус, ни угол — можно только читать устройство тела.

Числа берём из условия и из вычислений. Рисунок нужен, чтобы понять, какой прямоугольный треугольник искать.

Входная диагностика

Ответь сначала без вычислений, где это возможно.

1. Чему равна длина окружности радиуса $5$?
2. Чему равна площадь круга радиуса $3$?
3. Найди гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $6$ и $8$.
4. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда $2\times3\times4$?
5. Площадь основания призмы равна $12$, высота — $5$. Найди объём.
6. У пирамиды то же основание и та же высота. Найди её объём.
7. Все линейные размеры тела увеличили в $2$ раза. Во сколько раз выросли площадь поверхности и объём?
8. Какое тело получится, если прямоугольник вращать вокруг одной из его сторон?

Ответы для самопроверки

1. $C=2\pi\cdot5=10\pi\approx31{,}42$.
2. $S=\pi\cdot3^2=9\pi\approx28{,}27$.
3. $\sqrt{36+64}=10$.
4. $V=24$.
5. $V=12\cdot5=60$.
6. $V=\tfrac13\cdot12\cdot5=20$.
7. Площадь — в $4$ раза, объём — в $8$ раз.
8. Цилиндр.

Если задания 1, 2 и 3 дались тяжело, загляни в окружность и круг и теорему Пифагора: в этой главе они работают почти в каждой задаче.

Договорённости главы

• Все цилиндры и конусы в главе прямые круговые: ось перпендикулярна основанию, а основание — круг.
• Точный ответ записываем через $\pi$: $48\pi$, а не $150{,}8$. Десятичное приближение даём вторым числом со знаком $\approx$ и указанной точностью.
• Радиус обозначаем $r$ у цилиндра и конуса и $R$ у шара, высоту — $h$, образующую конуса — $l$.
• Все линейные размеры перед подстановкой в формулу приводим к одной единице.
• Цифровая лаборатория помогает проверить догадку, но не заменяет чертёж от руки, бумажную развёртку и запись решения.

Маршрут главы

1. Цилиндр — вращение прямоугольника, осевое сечение, развёртка и две формулы поверхности.
2. Конус — образующая, осевое сечение, сектор развёртки и угол $\varphi=360°\cdot\dfrac{r}{l}$.
3. Шар и сфера — сечения плоскостью, касательная плоскость и площадь сферы.
4. Объёмы — принцип Кавальери, объёмы цилиндра, конуса и шара, отношение $1:2:3$.
5. Практикум — комбинированные тела: вписанные, описанные и составные.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с цилиндра — самого простого тела вращения, у которого развёртка получается буквально одним движением ножниц.