1.1 Что такое функция

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадратный корень, дроби с переменной, числовые промежутки, графики из 8 и 9 класса

Автомат выдаёт билет по введённому номеру места. Термометр показывает температуру в момент времени. Калькулятор возвращает корень введённого числа.

У всех трёх машин одно общее свойство, и оно важнее любых деталей: на один и тот же запрос машина отвечает всегда одинаково. Если бы автомат на номер $12$ выдавал то билет в первый ряд, то в пятый, им нельзя было бы пользоваться.

Именно это свойство и записано в определении функции.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать определение функции и проверять его по графику
• находить область определения по формуле, а множество значений — по формуле и по графику
• проверять чётность и нечётность, начиная с симметрии области определения
• описывать монотонность и ограниченность, обязательно указывая множество

Прогноз до вычислений

Запиши ответы, потом проверишь их в лаборатории и в разборах.

1. Что нельзя подставить в $f(x)=\dfrac{1}{x-4}$, а что — в $g(x)=\sqrt{x-4}$?
2. Может ли множество значений функции состоять всего из одного числа?
3. Функция $y=\dfrac{1}{x}$ убывает на $(-\infty;0)$ и убывает на $(0;+\infty)$. Значит ли это, что она убывает на всей области определения?

Эксперимент: читаем свойства прямо с рисунка

Четыре знакомые кривые. Смотри не на формулу, а на картинку: где график вообще существует, какие высоты встречаются, есть ли симметрия, куда идёт линия слева направо.

Галерея графиков

Четыре формы, которые нужно узнавать сразу

Переключай семейство и меняй коэффициент k. Следи, что остаётся неизменным: форма, область определения и симметрия.

y = x²

Обратная пропорциональностьКвадратичная функцияКвадратный кореньМодуль

Коэффициент k 1

−+

От −6 до 6, шаг 0,5; ноль запрещён

Все четыре формулы записаны с одним и тем же коэффициентом: y = x². Знак k отражает график, а модуль k растягивает его по вертикали.

Таблица значений для y = x²

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Область определениялюбое числоКакие x вообще можно подставить.

Область значенийy ⩾ 0Какие y встречаются на графике.

Нули функцииодин нуль: x = 0Где график пересекает ось x.

Симметрияосевая симметрия относительно оси OyЧто видно, если сложить рисунок пополам.

Возрастание и убываниеубывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞); вершина (0; 0) — наименьшее значениеКуда идёт график слева направо.

Формапарабола с вершиной в начале координатКак называют эту линию.

ƒ

y = x²: парабола с вершиной в начале координат.Область определения: любое число. Область значений: y ⩾ 0. убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞); вершина (0; 0) — наименьшее значение.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на две вещи. Во-первых, у $y=\sqrt{x}$ слева от нуля графика просто нет — это не дефект рисунка, а область определения. Во-вторых, у гиперболы две отдельные ветви, и это позже окажется принципиальным.

Определение и обозначения

∴ Функция

Пусть $X$ — числовое множество. Если каждому числу $x\in X$ по некоторому правилу поставлено в соответствие ровно одно число $y$, то говорят, что задана функция $y=f(x)$.

• $X$ называют областью определения и обозначают $D(f)$;
• множество всех получающихся значений $y$ называют множеством значений и обозначают $E(f)$;
• $x$ — аргумент, $y$ — значение функции в точке $x$.

Слова «ровно одно» — главное в определении. Именно поэтому вертикальная прямая пересекает график функции не более одного раза.

◆ Что именно сейчас получило точное имя

Слово «функция» ты слышал давно. В 7 классе про тариф такси было сказано: одному значению $x$ отвечает ровно одно значение $C$, и такую зависимость называют функцией. В 8 классе ты уже находил область определения и читал по графику, где линия растёт, а где падает. Всё это держалось на честном слове — теперь у него есть определение, и оно ровно про то самое «ровно одно».

Заодно один термин сменил имя. То, что в 8 классе называли областью значений, здесь называется множеством значений и обозначается $E(f)$. Объект один и тот же: набор всех $y$, которые функция вообще выдаёт. Слово «область» дальше в книге закреплено за $D(f)$ — так путаницы не будет.

Способов задать функцию несколько: формулой, таблицей, графиком, описанием («каждому дню — количество осадков»). Это разные записи одного и того же соответствия.

∴ Как искать D(f) по формуле

Если функция задана формулой без дополнительных условий, в $D(f)$ входят все числа, при которых выражение имеет смысл. Запретов в 10 классе всего два:

1. знаменатель не равен нулю;
2. подкоренное выражение квадратного корня неотрицательно.

Если запретов нет, областью определения будет всё множество действительных чисел.

Например, для $f(x)=\dfrac{\sqrt{5-x}}{x+1}$ нужны одновременно два условия: $5-x\geqslant 0$ и $x+1\neq 0$. Получаем $x\leqslant 5$ и $x\neq -1$, то есть

$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;5].$

Чётность и нечётность

∴ Симметрия функции

Функция $f$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и

$f(-x)=f(x)\quad\text{для всех }x\in D(f).$

Функция называется нечётной, если область определения симметрична относительно нуля и

$f(-x)=-f(x)\quad\text{для всех }x\in D(f).$

График чётной функции симметричен относительно оси $y$, график нечётной — относительно начала координат.

Проверку всегда начинай с $D(f)$: если область определения несимметрична, функция не чётная и не нечётная, и считать $f(-x)$ уже не нужно.

Большинство функций не относится ни к тем, ни к другим. «Ни чётная, ни нечётная» — это полноценный ответ, а не признак ошибки.

Монотонность и ограниченность

∴ Возрастание, убывание, границы

Функция возрастает на промежутке $I$, если для любых $x_1,x_2\in I$ из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)<f(x_2)$.

Функция убывает на $I$, если из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)>f(x_2)$.

Функция ограничена снизу на $I$, если существует число $c$ с условием $f(x)\geqslant c$ для всех $x\in I$; ограничена сверху — если $f(x)\leqslant C$; ограничена, если верно и то, и другое.

Название промежутка — обязательная часть ответа. Фраза «функция возрастает» без указания множества смысла не имеет.

Полный паспорт функции f(x) = √(4 − x²)Разбираем вместе

Область определения. Нужно $4-x^2\geqslant 0$, то есть $x^2\leqslant 4$ и

$D(f)=[-2;2].$

Множество значений. При $x\in[-2;2]$ выражение $4-x^2$ пробегает все значения от $0$ до $4$, а корень из них — от $0$ до $2$:

$E(f)=[0;2].$

Чётность. Область определения симметрична относительно нуля, и

$f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x),$

значит функция чётная, а график симметричен относительно оси $y$.

Монотонность. На $[-2;0]$ выражение $4-x^2$ растёт, значит функция возрастает; на $[0;2]$ она убывает.

Ограниченность. Из $E(f)=[0;2]$ сразу следует $0\leqslant f(x)\leqslant 2$: функция ограничена. Наибольшее значение $2$ достигается при $x=0$, наименьшее $0$ — при $x=\pm2$.

Две проверки на чётностьРазбираем вместе

Первая функция: $f(x)=x^3-4x$. Область определения — все числа, она симметрична. Считаем:

$f(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x).$

Функция нечётная.

Вторая функция: $g(x)=x^2+x^3$. Область определения тоже все числа, но достаточно одной пары точек:

$g(1)=1+1=2,\qquad g(-1)=1-1=0.$

Если бы функция была чётной, получилось бы $0=2$; если нечётной — $0=-2$. Не выполнено ни то, ни другое, значит функция ни чётная, ни нечётная. Один контрпример закрывает вопрос.

Проверка понимания

Какова область определения функции f(x) = √(x − 3) : (x − 7)?

• А. x ⩾ 3
• Б. x > 3 и x ≠ 7
• В. x ⩾ 3 и x ≠ 7

! «Убывает на каждой ветви» — это не «убывает всюду»

Про $y=\dfrac{1}{x}$ часто говорят: «функция убывающая». Это неверно, если не указать множество.

Возьмём $x_1=-1$ и $x_2=1$. Тогда $x_1<x_2$, но

$f(x_1)=-1<1=f(x_2).$

Значение выросло, а не упало. Определение убывания нарушено, потому что между двумя точками лежит разрыв.

Правильная формулировка: функция $y=\dfrac{1}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty;0)$ и на промежутке $(0;+\infty)$. Объединять эти промежутки нельзя.

Практика

1. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{1}{x-5}$.
2. Найди $D(f)$ для $f(x)=\sqrt{2x+6}$.
3. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.
4. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$.
5. Найди $D(f)$ и $E(f)$ для $f(x)=\sqrt{9-x^2}$.
6. Исследуй на чётность $f(x)=x^4-3x^2$.
7. Исследуй на чётность $f(x)=x^5+x$.
8. Исследуй на чётность $f(x)=x^2+x^3$.
9. Исследуй на чётность $f(x)=\sqrt{x}$.
10. Найди $E(f)$ для $f(x)=x^2-4$ и для $f(x)=3-|x|$.
11. Назови промежутки возрастания и убывания функции $f(x)=|x|-2$.
12. Ограничена ли функция $f(x)=x^2+1$ снизу? А сверху?
13. Верно ли, что $y=\dfrac{1}{x}$ убывает на всей своей области определения? Приведи проверку.
14. Точки $(2;5)$ и $(2;-5)$ лежат на одной линии в координатной плоскости. Может ли эта линия быть графиком функции?

Ответы и пояснения

1. $x\neq 5$, то есть $D(f)=(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$.
2. $2x+6\geqslant 0$, откуда $x\geqslant -3$ и $D(f)=[-3;+\infty)$.
3. Одновременно $x+1\geqslant 0$ и $x\neq 2$: $D(f)=[-1;2)\cup(2;+\infty)$.
4. $x^2\neq 9$, то есть $x\neq -3$ и $x\neq 3$.
5. $9-x^2\geqslant 0$ даёт $D(f)=[-3;3]$; выражение под корнем меняется от $0$ до $9$, поэтому $E(f)=[0;3]$.
6. $f(-x)=x^4-3x^2=f(x)$ — чётная.
7. $f(-x)=-x^5-x=-f(x)$ — нечётная.
8. $f(1)=2$, $f(-1)=0$: ни чётная, ни нечётная.
9. $D(f)=[0;+\infty)$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
10. Для $x^2-4$: $E(f)=[-4;+\infty)$. Для $3-|x|$: так как $|x|\geqslant 0$, получаем $E(f)=(-\infty;3]$.
11. Убывает на $(-\infty;0]$, возрастает на $[0;+\infty)$.
12. Снизу ограничена: $f(x)\geqslant 1$. Сверху не ограничена: значения растут неограниченно.
13. Неверно. При $x_1=-1<1=x_2$ получаем $f(x_1)=-1<1=f(x_2)$ — значение выросло. Убывание есть только на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$ по отдельности.
14. Нет: одному значению $x=2$ отвечали бы сразу два значения $y$, а определение требует ровно одного.

Итог

• Функция — это соответствие, при котором каждому допустимому $x$ отвечает ровно одно значение $y$.
• $D(f)$ ищут по двум запретам: нулевой знаменатель и отрицательное подкоренное выражение.
• Проверку чётности начинают с симметрии $D(f)$; «ни чётная, ни нечётная» — нормальный ответ.
• Монотонность и ограниченность всегда называют вместе с промежутком, на котором они проверены.

Мы описывали функции по одной. Но между ними есть родство: $y=\sqrt{x-3}+1$ — это тот же корень, только переехавший. В следующем уроке научимся строить любой такой график цепочкой движений эталона.

← Вход в тему · Дальше: преобразования графиков →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным