4.6 Практикум: собираем доказательство

7 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 4.1–4.5

Отдельные теоремы ты уже применял. Настоящая работа начинается там, где ответ не выводится одним шагом: сначала равные треугольники, потом равные углы, потом параллельность — и только затем искомая величина.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать нужную теорему по виду условия
• соединять два-три шага в одно доказательство
• оформлять рассуждение по схеме «дано — доказать — доказательство»
• проверять ответ вторым способом

Станция 1. Перекрёсток

Две дороги пересекаются. Один угол размечен, остальные нужно посчитать, а не измерить.

Лаборатория доказательств

Углы, которые нельзя нарисовать неправильно

Все величины на чертеже вычислены из одного угла — проверь, что теоремы выполняются при любом наклоне.

задача

Две пересекающиеся прямыеПараллельные прямые и секущая

Угол 1 между прямыми57°

−+

От 15° до 165°, шаг кнопок 5°

Найти смежный угол 2Найти вертикальный угол 3

Искомый угол, °Проверить

?

Дан угол 1 = 57°. Найди смежный угол 2.Сначала реши, какая теорема работает: про смежные или про вертикальные углы.

↺ Вернуть пример

Станция 2. Разметка параллельных полос

Две полосы разметки параллельны, поперёк идёт пешеходный переход. Найди парный угол, выбрав нужное свойство.

Лаборатория доказательств

Углы, которые нельзя нарисовать неправильно

Все величины на чертеже вычислены из одного угла — проверь, что теоремы выполняются при любом наклоне.

задача

Две пересекающиеся прямыеПараллельные прямые и секущая

Угол между секущей и прямой a72°

−+

От 15° до 165°, шаг кнопок 5°

соответственныенакрест лежащиеодносторонние

Искомый угол, °Проверить

?

Углы накрест лежащие. Верхний угол равен 72°. Найди второй.Реши, равны ли углы этой пары или дают в сумме 180°.

↺ Вернуть пример

Станция 3. Треугольная ферма моста

Два угла фермы известны из проекта. Третий угол и внешний угол при вершине нужно вычислить.

Лаборатория доказательств

Треугольник, у которого нет свободы

Каждая длина и каждый угол на чертеже вычислены из введённых данных, а не подогнаны на глаз.

задача

Треугольник по даннымРавнобедренныйСумма углов и внешний угол

Угол A55°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Угол B65°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Найти третий угол CНайти внешний угол при вершине C

Искомый угол, °Проверить

?

Даны ∠A = 55° и ∠B = 65°. Найди третий угол C.Одна теорема про сумму трёх углов, другая — про внешний угол. Реши, какая нужна.

↺ Вернуть пример

Как устроено доказательство

◆ Чек-лист доказательства

1. Записал Дано — только то, что действительно дано, без «видно из чертежа».
2. Записал Доказать — одно конкретное утверждение.
3. Каждый шаг сопровождается ссылкой: определение, аксиома или теорема с номером.
4. При равенстве треугольников проверил порядок букв: соответственные элементы должны стоять на одинаковых местах.
5. В конце — то самое утверждение, которое требовалось, и знак $\blacksquare$.

Три шага: параллельность → равенство треугольников → серединаРазбираем вместе

Дано: $AB \parallel CD$; отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$; $AB = CD$.

Доказать: $AO = OD$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $DCO$.

1. $AB = CD$ — по условию.
2. $\angle BAO = \angle CDO$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$ (теорема 8).
3. $\angle ABO = \angle DCO$ — накрест лежащие углы при тех же параллельных прямых и секущей $BC$ (теорема 8).

Сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $A$ и $B$ равны стороне $DC$ и прилежащим к ней углам $D$ и $C$, поэтому по признаку II

$\triangle ABO = \triangle DCO.$

Соответственные стороны равных треугольников равны, а стороне $AO$ соответствует сторона $DO$. Значит $AO = OD$. $\blacksquare$

Внешний угол и равнобедренность вместеРазбираем вместе

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ внешний угол при вершине $C$ равен $130°$. Найдём все углы треугольника.

Внутренний угол при вершине $C$ смежен с внешним:

$\angle C = 180° - 130° = 50°.$

Углы при основании равны, и по следствию из теоремы 9

$\angle A = \angle B = \frac{180° - 50°}{2} = 65°.$

Проверка двумя способами: сумма углов $65° + 65° + 50° = 180°$, а внешний угол по теореме 10 равен $65° + 65° = 130°$ — как и было дано. $\blacksquare$

Проверка понимания

В работе написано: «∠1 = ∠2, потому что на чертеже они выглядят одинаково». Что здесь неверно?

• А. Ничего: чертёж построен по условию, значит ему можно доверять
• Б. Шаг не опирается ни на определение, ни на аксиому, ни на теорему
• В. Нужно было измерить углы транспортиром

Итоговый набор задач

1. Один из смежных углов на $54°$ больше другого. Найди оба.
2. При пересечении двух прямых один из углов в $5$ раз меньше смежного с ним. Найди все четыре угла.
3. При параллельных прямых один из односторонних углов вдвое больше другого. Найди эти углы.
4. Накрест лежащие углы при секущей равны $47°$ и $47°$. Что можно сказать о прямых и почему?
5. В треугольнике $\angle A = 3\angle B$, а $\angle C = 80°$. Найди $\angle A$ и $\angle B$.
6. Внешний угол треугольника при вершине $A$ равен $108°$, а $\angle B = 47°$. Найди $\angle A$ и $\angle C$.
7. Периметр равнобедренного треугольника равен $46$ см, основание — $16$ см. Найди боковую сторону.
8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $13$ см, периметр — $34$ см. Найди основание.
9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ угол $C$ равен $44°$. Найди $\angle A$ и $\angle B$.
10. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ — середине каждого из них. Докажи, что $AC \parallel BD$.
11. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B = 50°$, $\angle C = 70°$, а $AD$ — биссектриса угла $A$, где точка $D$ лежит на $BC$. Найди $\angle ADB$.
12. Докажи: если два внешних угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Ответы, ссылки на теоремы и проверки

1. $x + (x + 54°) = 180°$, $2x = 126°$, $x = 63°$; углы $63°$ и $117°$ (теорема 1). Проверка: $63 + 117 = 180$.
2. $x + 5x = 180°$, $x = 30°$; углы $30°$, $150°$, $30°$, $150°$ (теоремы 1 и 2). Сумма всех четырёх равна $360°$.
3. $x + 2x = 180°$, $x = 60°$; углы $60°$ и $120°$ (следствие из теоремы 8).
4. Прямые параллельны по признаку из теоремы 7: равные накрест лежащие углы.
5. $\angle A + \angle B = 180° - 80° = 100°$; $3\angle B + \angle B = 100°$, $\angle B = 25°$, $\angle A = 75°$. Проверка: $75 + 25 + 80 = 180$.
6. $\angle A = 180° - 108° = 72°$ (смежные); $\angle C = 108° - 47° = 61°$ (теорема 10). Проверка: $72 + 47 + 61 = 180$.
7. $(46 - 16) : 2 = 15$ см.
8. $34 - 2 \cdot 13 = 8$ см.
9. $\angle A = \angle B = (180° - 44°) : 2 = 68°$. Проверка: $68 + 68 + 44 = 180$.
10. В треугольниках $AOC$ и $BOD$: $AO = OB$, $CO = OD$ по условию, $\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные (теорема 2). По признаку I треугольники равны, поэтому $\angle OAC = \angle OBD$. Это накрест лежащие углы при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$, значит по теореме 7 $AC \parallel BD$.
11. $\angle A = 180° - 50° - 70° = 60°$, поэтому $\angle BAD = 30°$. В треугольнике $ABD$: $\angle ADB = 180° - 50° - 30° = 100°$. Проверка через внешний угол: $\angle ADB$ — внешний угол треугольника $ADC$ при вершине $D$, и он равен $\angle C + \angle DAC = 70° + 30° = 100°$.
12. Пусть внешние углы при вершинах $A$ и $B$ равны. Смежные с ними внутренние углы равны $180°$ минус одно и то же число, значит $\angle A = \angle B$. По теореме 5 треугольник равнобедренный с основанием $AB$.

Рефлексия

1. Какая теорема встречалась в твоих доказательствах чаще всего?
2. В каком месте ты чуть не сослался на «видно из чертежа» вместо теоремы?
3. Какие теоремы главы обязательно опираются на аксиому параллельных, а какие обошлись без неё?

Возможные ответы: чаще всего работают теоремы 1 и 2 про смежные и вертикальные углы — они нужны почти в каждом чертеже; на аксиому параллельных опираются теорема 8 и всё, что из неё выведено, включая сумму углов треугольника и внешний угол; признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника и признаки параллельности аксиому параллельных не используют.

✦ Мост дальше

Ты освоил механизм, а не набор фактов: определение — аксиома — теорема — доказательство. Дальше этим же способом появятся четырёхугольники и их свойства, площади, теорема Пифагора, подобие и окружность. Каждый раз будет один и тот же вопрос: на что именно ссылается этот шаг?

← Сумма углов треугольника · К обзору 7 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным