3.5 Практикум: школьный фестиваль

7 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 3.1–3.4

Школа готовит фестиваль. Нужно уложиться в смету, выбрать типографию для афиш и назначить цены на билеты так, чтобы сойтись с планом сборов. Все три вопроса устроены одинаково: постоянная часть плюс равномерный рост. Разница только в том, что именно неизвестно.

Станция 1. Смета

Организация фестиваля стоит $1800$ ₽ на общие расходы плюс $240$ ₽ на каждого участника: $C=1800+240n$ . Бюджет — $4200$ ₽.

Подбор: Участники, человек 4

От 0 до 25, шаг 1 человек.

C = 1800 + 240 · n2760 ₽

Мост к уравнениям

Цель: C = 4200 ₽

Получилось 2760 ₽ — на 1440 ₽ меньше цели.

Меняй n с шагом 1 и следи, приближается ли результат к цели.

Получилось 2760 ₽ — на 1440 ₽ меньше цели.Сравнение с целью выполнено точно для n = 4.

Подбор и уравнение дают одно и то жеРазбираем вместе

Уравнение бюджета:

$1800+240n=4200,\qquad 240n=2400,\qquad n=10.$

Проверка: $1800+240\cdot10=1800+2400=4200$ ₽.

Проверка по смыслу: число участников целое и положительное — модель не спорит с реальностью. А вот бюджет $4300$ ₽ дал бы $n=\dfrac{2500}{240}$ , то есть примерно $10{,}4$ — значит, десять участников и остаток $100$ ₽.

Станция 2. Афиши: два тарифа

Типография А берёт $300$ ₽ за макет и $20$ ₽ за афишу: $C_1=300+20n$ . Типография Б макет делает бесплатно, но берёт $50$ ₽ за афишу: $C_2=50n$ .

Найдём, когда тарифы совпадают:

$300+20n=50n,\qquad 30n=300,\qquad n=10.$

При $n=10$ оба тарифа дают $500$ ₽. Дальше выгода расходится: при $n=25$ типография А просит $300+500=800$ ₽, а Б — $1250$ ₽.

Прежде чем читать формулу тарифа с чужого графика, потренируйся на чистой прямой: определи $k$ и $b$ по рисунку, а потом проверь себя.

Прямая № 1 из 7

Мой k

Мой b

Прочитай по графику k и b.Свободный член b — ордината точки пересечения с осью y. Угловой коэффициент k — изменение y при сдвиге на 1 вправо.

Станция 3. Билеты

Планировщик сборов даёт два условия на цену взрослого билета $x$ и детского $y$ . Прочитай координаты общей точки по графику, а затем обязательно проверь пару подстановкой в оба уравнения.

Система № 1: x + y = 5 и 3x − y = 3

Мой x

Мой y

Найди пару (x; y), которая подходит обоим уравнениям.Прочитай координаты общей точки по сетке, а затем обязательно проверь их подстановкой в оба уравнения.

Проверка понимания

Известны две цены наборов: 2 взрослых и 3 детских билета стоят 1500 ₽, 3 взрослых и 2 детских — 1750 ₽. Какой инструмент нужен?

Итоговый набор задач

Реши уравнение сметы $1800+240n=4200$ и назови, что означает найденное число.
По тарифу А печать стоит $300+20n$ ₽. Сколько афиш напечатают ровно на $1100$ ₽?
При каком числе афиш тарифы $300+20n$ и $50n$ дают одинаковую цену? Чему равна эта цена?
Какой тариф выгоднее для $25$ афиш? Насколько?
Назови $k$ и $b$ для зависимости $C=300+20n$ и объясни смысл каждого числа в этой задаче.
Назови две точки графика $C=50n$ и объясни, почему этот график проходит через начало координат.
Найди нуль функции $y=0{,}5x-3$ .
Прямая проходит через точки $(0;-1)$ и $(3;5)$ . Запиши формулу линейной функции.
Зрителей на фестивале в $2$ раза больше, чем участников, всего пришло $342$ человека. Сколько участников?
За $4$ взрослых и $5$ детских билетов заплатили $3300$ ₽, за $2$ взрослых и $3$ детских — $1800$ ₽. Найди цены билетов.
В буфете $5$ бутербродов и $3$ чая стоят $460$ ₽, а $2$ бутерброда и $3$ чая — $265$ ₽. Найди цены.
Не решая систему, определи число её решений: $2x+y=5$ и $4x+2y=9$ .

Ответы, модели и проверки

$240n=2400$ , значит $n=10$ — это число участников, на которых хватает бюджета.
$300+20n=1100$ , то есть $20n=800$ и $n=40$ афиш. Проверка: $300+20\cdot40=1100$ ₽.
$300+20n=50n$ , значит $30n=300$ и $n=10$ ; цена в обоих случаях $500$ ₽.
Тариф А: $300+20\cdot25=800$ ₽; тариф Б: $50\cdot25=1250$ ₽. Выгоднее А, экономия $450$ ₽.
$k=20$ — цена одной афиши, ₽ за штуку; $b=300$ — разовая плата за макет, ₽. Единицы разные, и это подсказывает, какое число к чему относится.
Например, $(0;0)$ и $(10;500)$ . Здесь $b=0$ : без афиш платить нечего, поэтому это прямая пропорциональность.
$0{,}5x-3=0$ , значит $0{,}5x=3$ и $x=6$ .
$b=-1$ ; за $3$ шага вправо $y$ вырос на $5-(-1)=6$ , значит $k=2$ и $y=2x-1$ . Проверка: $2\cdot3-1=5$ .
Участников $x$ , зрителей $2x$ : $x+2x=342$ , то есть $3x=342$ и $x=114$ . Участников $114$ , зрителей $228$ .
Система $4x+5y=3300$ и $2x+3y=1800$ . Умножим второе на $-2$ : $-4x-6y=-3600$ ; сложение даёт $-y=-300$ , то есть $y=300$ и $2x=1800-900$ , откуда $x=450$ ₽. Проверка: $4\cdot450+5\cdot300=1800+1500=3300$ ₽.
Система $5b+3c=460$ и $2b+3c=265$ . Вычитание даёт $3b=195$ , значит $b=65$ ₽, и тогда $3c=265-130=135$ , то есть $c=45$ ₽. Проверка: $5\cdot65+3\cdot45=325+135=460$ ₽.
Второе уравнение равносильно $2x+y=4{,}5$ , а первое требует $2x+y=5$ . Прямые параллельны — решений нет.

Рефлексия проекта

В какой задаче хватило одного уравнения, а где без системы было не обойтись? Как ты это понял?
Какой ответ можно проверить двумя разными способами — алгеброй и графиком?
Где модель «постоянная часть плюс равномерный рост» перестаёт работать в реальной жизни?

Возможные ответы: одно уравнение достаточно там, где неизвестная одна, а все остальные величины заданы числами; ответ станции 3 проверяется и подстановкой, и точкой пересечения прямых; линейная модель ломается при скидках за объём, при минимальном тираже, при округлении до целого числа афиш и участников — реальная цена меняется не строго равномерно.

← Системы двух уравнений · К обзору 7 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.