Квадратные уравнения

8 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: формулы сокращённого умножения, разложение на множители, линейные уравнения, арифметический квадратный корень

В 7 классе почти всё сводилось к прямой линии: цена растёт равномерно, путь равномерно прибавляется ко времени, линейное уравнение даёт ровно один корень или не даёт ни одного.

Но как только неизвестное начинает умножаться само на себя, картина меняется.

• Периметр газона известен, площадь известна — какие у него стороны?
• Мяч брошен вверх; в какие моменты он окажется на высоте $15$ м?
• Ширина рамки вокруг фотографии входит в ответ дважды: слева и справа.

Во всех трёх случаях получается квадратное уравнение. И у него уже не «один корень или ни одного», а три возможности: два корня, один или ни одного. Эта глава — про то, как узнать, какая из трёх, и как найти корни быстрее всего.

◎ После урока ты сможешь

• решать неполные квадратные уравнения разложением на множители и извлечением корня
• выделять полный квадрат и понимать, откуда берётся формула корней
• определять число корней по дискриминанту и находить корни по формуле
• применять прямую и обратную теоремы Виета для подбора корней и разложения на множители
• строить квадратную модель текстовой задачи и отбирать корни по смыслу

◆ Три ответа вместо двух

Линейное уравнение $ax=b$ различает всего два случая: $a\ne0$ и $a=0$. Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ при $a\ne0$ различает три: два корня, один корень, корней нет. Ответ «корней нет» здесь такой же полноценный, как и число.

Входная диагностика

Ответь по памяти — всё это уже было.

1. Раскрой скобки: $(x+3)^2$.
2. Разложи на множители: $x^2-9$.
3. Вынеси общий множитель: $5x^2-15x$.
4. Чему равно $\sqrt{49}$?
5. Реши уравнение $3x-12=0$.
6. Произведение двух чисел равно нулю. Что можно сказать о множителях?
7. Чему равно $(-4)^2$?
8. При каких $x$ верно равенство $x^2=25$?

Ответы для самопроверки

1. $(x+3)^2=x^2+6x+9$ — формула квадрата суммы.
2. $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
3. $5x^2-15x=5x(x-3)$.
4. $\sqrt{49}=7$. Арифметический корень неотрицателен.
5. $3x=12$, значит $x=4$.
6. Хотя бы один из множителей равен нулю. Это главный инструмент первого урока главы.
7. $(-4)^2=16$. Квадрат любого числа неотрицателен.
8. При $x=5$ и при $x=-5$ — двух значений, а не одного.

Если задания $1$–$3$ и $6$ вызвали затруднение, вернись к разложению на множители: вся глава опирается на него.

Договорённости главы

• Квадратным называем уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$. Условие $a\ne0$ проверяем первым: без него уравнение не квадратное.
• Каждый найденный корень проверяем подстановкой в исходное уравнение.
• Если корень иррационален, оставляем точную запись вида $3\pm\sqrt2$, а десятичное значение пишем со знаком $\approx$.
• В текстовой задаче решение уравнения — это ещё не ответ: сначала отбор корней по смыслу, потом ответ на поставленный вопрос.

Маршрут главы

1. Неполные квадратные уравнения — учимся не терять корень $x=0$ и не выдумывать корни там, где их нет.
2. Полный квадрат и дискриминант — выводим формулу корней и по одному числу узнаём, сколько их.
3. Теорема Виета — читаем корни прямо из коэффициентов и раскладываем трёхчлен на множители.
4. Текстовые задачи — строим квадратную модель и отбираем корни по смыслу.
5. Практикум — выбираем способ решения осознанно и собираем всё вместе.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с самого простого случая — когда одного из коэффициентов просто нет.