5.1 Подобие треугольников

8 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: пропорции, признаки равенства треугольников, площадь треугольника

Фотографию $10 \times 15$ см напечатали в формате $20 \times 30$ см. Плёнку с чертежом растянули вдвое. Карту масштаба $1:1000$ перечертили в масштабе $1:500$.

Каждый раз фигура не равна исходной, но выглядит точно так же. Вопрос урока: что именно сохраняется при таком увеличении, а что меняется — и по какому закону?

◎ После урока ты сможешь

• применять теорему о пропорциональных отрезках и её частный случай — теорему Фалеса
• формулировать определение подобных треугольников и находить коэффициент подобия
• доказывать подобие по трём признакам
• вычислять отношение периметров и площадей подобных фигур

Прогноз до вычислений

У прямоугольника стороны $3$ см и $4$ см. Все его размеры увеличили в $2$ раза.

Запиши свои версии до вычислений: во сколько раз вырос периметр и во сколько раз выросла площадь? Многие уверенно отвечают «в $2$ раза» на оба вопроса. Проверим.

Управляемый эксперимент

Вкладка «Коэффициент подобия»: слева треугольник, справа его увеличенная копия. Обе фигуры нарисованы в одном масштабе, поэтому размеру на экране можно верить. Меняй $k$ и следи за двумя строчками внизу: периметры и площади.

Лаборатория подобия

Одинаковая форма, разный размер

Обе картинки нарисованы в одном масштабе: если фигура на экране больше в полтора раза, значит коэффициент подобия действительно равен 1,5.

исследование

Коэффициент подобияПараллельная прямая

Сторона AB10 см

−+

От 4 до 12 см

Сторона AC8 см

−+

От 4 до 12 см

Угол A55°

−+

От 25° до 120°

Коэффициент k1,5

−+

Десятые доли: 5 означает k = 0,5, а 25 — k = 2,5

∼

k = 1,5: каждая сторона длиннее в 1,5 раза, площадь — в 2,25 раза.Периметры: 26,5 и 39,75 см. Площади: 32,77 и 73,72 см². Углы не изменились: подобие меняет размер, но не форму.

↺ Вернуть пример

Периметр растёт ровно в $k$ раз. Площадь — в $k^2$ раз. При $k = 2$ площадь учетверяется, при $k = 3$ — вырастает в девять раз. Разберёмся, почему.

Пропорциональные отрезки

∴ Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Отсюда получается более сильное утверждение, которым мы и будем пользоваться.

∴ Теорема о пропорциональных отрезках

Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$ и пересекающая две другие стороны в точках $M$ и $N$, отсекает от них пропорциональные отрезки:

$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}, \qquad \text{а значит и} \qquad \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$

Обрати внимание на две разные записи. Первая сравнивает части отрезка друг с другом, вторая — часть с целым. Их легко перепутать, а числа получаются разные.

Лаборатория подобия

Одинаковая форма, разный размер

Обе картинки нарисованы в одном масштабе: если фигура на экране больше в полтора раза, значит коэффициент подобия действительно равен 1,5.

задача

Коэффициент подобияПараллельная прямая

Сторона AB10 см

−+

От 4 до 12 см

Сторона AC8 см

−+

От 4 до 12 см

Угол A55°

−+

От 25° до 120°

Отрезок AM4 см

−+

От 1 до 9 см: точка M лежит на стороне AB

Длина NC, смПроверить

?

AM = 4, MB = 6, AN = 3,2 см. Найди NC.Прямая MN параллельна BC, поэтому AM : MB = AN : NC. Ответ можно записать десятичной дробью.

↺ Вернуть пример

Важное следствие: если $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$, то $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$. Отрезок $MN$ называют средней линией треугольника.

Что такое подобие

∴ Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны:

$\angle A = \angle A_1,\quad \angle B = \angle B_1,\quad \angle C = \angle C_1, \qquad \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k.$

Число $k$ называют коэффициентом подобия. Запись: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Сходственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов. Порядок букв в записи подобия важен так же, как и в записи равенства: он говорит, какая сторона какой соответствует.

При $k = 1$ подобие превращается в равенство. Значит, равенство — частный случай подобия.

◆ Такие числа ты уже считал

Коэффициент подобия — не новый объект. Это обычное отношение двух длин из 6 класса (урок 3.1): число, показывающее, во сколько раз одна фигура крупнее другой. У картографов и чертёжников для него есть своё имя — масштаб (урок 3.4): запись $1:500$ означает ровно $k = \frac{1}{500}$. Даже правило «длины растут в $k$ раз, а площади в $k^2$ раз» пришло оттуда же — здесь оно наконец получит доказательство.

Три признака подобия

Проверять все шесть условий определения не нужно: как и с равенством, хватает малого.

∴ Признак I — по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Третьи углы равны автоматически: каждый равен $180°$ минус сумма двух известных. Отложим на стороне $AB$ отрезок $AM = A_1B_1$ и проведём через $M$ прямую, параллельную $BC$; она пересечёт $AC$ в точке $N$. Треугольник $AMN$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по стороне и двум прилежащим углам. По теореме о пропорциональных отрезках стороны $AMN$ и $ABC$ пропорциональны, а углы равны. Значит и $A_1B_1C_1$ подобен $ABC$. $\blacksquare$

∴ Признак II — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

∴ Признак III — по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Первый признак — рабочая лошадка. В задачах чаще всего ищут именно два равных угла: общий угол двух треугольников, вертикальные углы или накрест лежащие при параллельных прямых.

Периметры и площади

◆ Первая степень и вторая степень

У подобных треугольников с коэффициентом $k$:

$\frac{P_1}{P} = k, \qquad \frac{S_1}{S} = k^2.$

Так же ведут себя высоты, медианы и биссектрисы: они умножаются на $k$. Площадь — единственная величина здесь, у которой появляется квадрат.

Почему квадрат? Площадь треугольника равна $\frac{1}{2}ah$. И основание $a$, и высота $h$ увеличиваются в $k$ раз, поэтому произведение растёт в $k \cdot k = k^2$ раз.

Высота дерева по длине тениРазбираем вместе

Человек ростом $1{,}8$ м отбрасывает тень длиной $1{,}2$ м. Тень дерева в тот же момент равна $8$ м. Найдём высоту дерева.

Солнечные лучи параллельны, поэтому углы падения одинаковы, а вертикаль перпендикулярна земле в обоих случаях. Значит, треугольники «человек — тень» и «дерево — тень» подобны по двум углам.

Коэффициент подобия найдём по теням:

$k = \frac{8}{1{,}2} = \frac{20}{3}.$

Тогда высота дерева

$H = 1{,}8 \cdot \frac{20}{3} = 12 \text{ м}.$

Проверка отношением: $\dfrac{1{,}8}{1{,}2} = 1{,}5$, и $8 \cdot 1{,}5 = 12$ м. Оба пути дают одно число.

Высота, проведённая к гипотенузеРазбираем вместе

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе. Она разбила гипотенузу на отрезки $AH = 9$ и $BH = 16$. Найдём $CH$.

Углы $A$ и $BCH$ равны: оба дополняют угол $B$ до $90°$. Вместе с прямыми углами при $H$ это даёт подобие

$\triangle ACH \sim \triangle CBH.$

Записываем отношение сходственных сторон и решаем пропорцию:

$\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} \;\Longrightarrow\; CH^2 = AH \cdot BH = 9 \cdot 16 = 144 \;\Longrightarrow\; CH = 12.$

Заодно видно, что гипотенуза равна $9 + 16 = 25$.

! Две ошибки, которые стоят задачи

Площадь умножают на $k$. Если все размеры выросли втрое, площадь вырастет не в $3$, а в $9$ раз. Спрашивай себя: сколько измерений у величины? Длина — одно, значит $k$; площадь — два, значит $k^2$.

Стороны сопоставляют «по виду». В пропорции $\dfrac{A_1B_1}{AB}$ должны стоять стороны, лежащие против равных углов, а не просто «левая с левой». Сначала находи равные углы, и только потом составляй отношение.

Проверка понимания

Все стороны треугольника увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

• А. В 3 раза
• Б. В 6 раз
• В. В 9 раз

Практика

1. Треугольники подобны с коэффициентом $k = 3$. Стороны меньшего равны $4$, $5$ и $6$ см. Найди стороны большего.
2. У одного треугольника стороны $6$, $9$, $12$, у другого — $8$, $12$, $16$. Подобны ли они? Найди $k$.
3. В треугольнике $ABC$ проведена прямая $MN \parallel BC$, причём $AM = 4$, $MB = 6$, $AN = 6$. Найди $NC$.
4. В треугольнике $ABC$ известно: $MN \parallel BC$, $AM = 3$, $AB = 12$, $BC = 20$. Найди $MN$.
5. Периметр треугольника равен $24$ см. Найди периметр подобного ему треугольника с коэффициентом $k = 1{,}5$.
6. Площади подобных треугольников равны $18\text{ см}^2$ и $50\text{ см}^2$. Найди коэффициент подобия.
7. Все стороны фигуры увеличили в $4$ раза. Во сколько раз выросла её площадь?
8. Человек ростом $1{,}8$ м даёт тень $1{,}2$ м, а дерево в тот же момент — тень $8$ м. Найди высоту дерева.
9. В одном треугольнике углы равны $40°$ и $75°$, в другом — $75°$ и $65°$. Подобны ли треугольники?
10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе. Докажи, что все три треугольника $ACH$, $CBH$ и $ABC$ подобны друг другу.

Ответы и пояснения

1. $12$, $15$ и $18$ см: каждую сторону умножаем на $3$.
2. Подобны: $\dfrac{8}{6} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3}$, поэтому $k = \dfrac{4}{3}$.
3. $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$, то есть $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{NC}$, откуда $NC = \dfrac{6 \cdot 6}{4} = 9$.
4. Здесь отношение части к целому: $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$, поэтому $MN = 20 \cdot \dfrac{1}{4} = 5$.
5. $24 \cdot 1{,}5 = 36$ см: периметр растёт в первой степени.
6. $k^2 = \dfrac{50}{18} = \dfrac{25}{9}$, поэтому $k = \dfrac{5}{3}$.
7. В $4^2 = 16$ раз.
8. $\dfrac{1{,}8}{1{,}2} = 1{,}5$, высота дерева $8 \cdot 1{,}5 = 12$ м.
9. Да. У первого углы $40°$, $75°$, $65°$, у второго — $75°$, $65°$, $40°$. Два угла совпали, значит по признаку I треугольники подобны.
10. У треугольников $ACH$ и $ABC$ общий угол $A$ и по прямому углу ($\angle AHC = \angle ACB = 90°$), значит они подобны по двум углам. Аналогично $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по общему углу $B$ и прямому углу. Из подобия каждого с $ABC$ следует подобие $ACH$ и $CBH$ между собой.

Итог

• Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает пропорциональные отрезки; частный случай — теорема Фалеса.
• Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные сходственные стороны; отношение сторон — коэффициент $k$.
• Для доказательства подобия хватает двух равных углов, или двух пропорциональных сторон и угла между ними, или трёх пропорциональных сторон.
• Периметры относятся как $k$, площади — как $k^2$.

В следующем уроке подобие даст неожиданный результат: между сторонами прямоугольного треугольника обнаружится точное численное соотношение, которое работает во всех задачах на расстояния.

← Вход в тему · Дальше: теорема Пифагора →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным