Квадратичная функция

9 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения и дискриминант, график y = x², числовые промежутки

Мяч летит вверх и возвращается. Арка моста плавно поднимается и опускается. Прибыль киоска сначала растёт с ценой, а потом падает, потому что покупателей становится меньше.

Три разные истории, а линия на графике каждый раз одна и та же — парабола. И у неё есть удобное свойство: по трём числам $a$, $b$ и $c$ можно заранее сказать, куда смотрят ветви, где находится самая высокая (или самая низкая) точка и в каких местах график пересекает ось $x$.

В 8 классе ты научился решать уравнение $ax^2+bx+c=0$ — находить те $x$, где выражение обращается в ноль. В этой главе тот же трёхчлен становится функцией: нас интересует не одна точка, а всё поведение сразу.

◎ После урока ты сможешь

• строить и читать график квадратичной функции по коэффициентам a, b и c
• получать любую параболу из эталона y = x² сдвигами, растяжением и отражением
• находить вершину и ось симметрии, определять наибольшее и наименьшее значение
• решать квадратные неравенства по расположению параболы относительно оси x

◆ Уравнение отвечает «где», функция отвечает «как»

Решение уравнения $x^2-4x+3=0$ — это два числа: $1$ и $3$. График функции $y=x^2-4x+3$ рассказывает больше: между $1$ и $3$ значения отрицательны, вне этого промежутка — положительны, а самое маленькое значение равно $-1$ и достигается при $x=2$.

Входная диагностика

Ответь коротко — так будет видно, что уже готово, а что стоит повторить.

1. Чему равен дискриминант уравнения $x^2-5x+6=0$?
2. Найди корни этого уравнения.
3. Сколько корней у уравнения $x^2+x+1=0$?
4. Как выглядит график функции $y=x^2$?
5. Раскрой скобки: $(x-3)^2$.
6. Запиши промежуток $-2\leqslant x<5$ скобками.
7. Реши неравенство $2x-6>0$.
8. Найди значение $y=x^2-4x+3$ при $x=0$ и при $x=4$. Что общего у ответов?

Ответы для самопроверки

1. $D=25-24=1$.
2. $x=\dfrac{5\pm1}{2}$, то есть $x_1=2$, $x_2=3$.
3. $D=1-4=-3<0$ — корней нет.
4. Парабола с вершиной в точке $(0;0)$, ветви направлены вверх, график симметричен относительно оси $y$.
5. $x^2-6x+9$.
6. $[-2;\ 5)$.
7. $x>3$.
8. При $x=0$ получается $3$, при $x=4$ тоже $3$. Значения совпали — это и есть симметрия параболы, о которой пойдёт речь в главе.

Договорённости главы

• Сетка на всех рисунках честная: одна клетка — одна единица, а координаты вершины и нулей вычислены, а не подобраны на глаз.
• Иррациональные нули записываем точно, а рядом ставим приближение со знаком $\approx$.
• Эскиз параболы — законный способ решать неравенство. Но эскиз обязан опираться на два вычисленных факта: знак $a$ и найденные нули.
• Ответ неравенства всегда доводим до записи промежутками.

Маршрут главы

1. Парабола $y=ax^2+bx+c$ — знакомимся с функцией и выясняем, за что отвечает каждый коэффициент.
2. Преобразования графика — получаем любую параболу из $y=x^2$ четырьмя движениями.
3. Вершина и свойства по графику — выводим формулу вершины и читаем монотонность, область значений и знак.
4. Квадратные неравенства — решаем по расположению параболы относительно оси $x$.
5. Практикум — арка моста, цена в киоске и допуск, собранные в один проект.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с самой параболы.