Статистическое мышление

11 класс · Данные◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: распределение случайной величины, схема Бернулли, среднее и дисперсия ряда данных

Три фразы, которые ты слышишь каждый день:

• «Полис стоит $700$ ₽ в год» — откуда взялась эта цена и кто на ней зарабатывает?
• «Станок настроен нормально, пачка весит $500$ граммов» — а если конкретная пачка весит $493$ грамма, это брак или обычное дело?
• «$54\%$ опрошенных поддержали проект» — это большинство или просто шум в данных?

Ни один из этих вопросов не решается новой формулой. Все три решаются одним умением: отличать закономерность от случайного колебания. Именно этому посвящена последняя глава курса.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять математическое ожидание случайной величины и называть справедливую цену игры
• измерять разброс дисперсией и стандартным отклонением и сравнивать по ним риски
• применять нормальную модель и правило трёх сигм, проверяя условия её применимости
• оценивать долю по выборке, находить границу ошибки и честно формулировать вывод
• отличать корреляцию от причинности и называть ограничения любого статистического вывода

◆ Одно число никогда не описывает случайную величину целиком

Три игры могут иметь одинаковое ожидание $35$ ₽ и при этом вести себя совершенно по-разному: в одной результат всегда около тридцати пяти, в другой он гуляет на десятки рублей, в третьей почти всегда ноль, а раз в сто попыток — три с половиной тысячи.

Поэтому у случайной величины всегда два паспортных числа: центр $M(X)$ и разброс $\sigma(X)$. Первое отвечает на вопрос «сколько в среднем», второе — «насколько можно промахнуться».

Входная диагностика

Ответь до чтения главы; там, где можно, — без вычислений.

1. Найди среднее арифметическое ряда $4$, $6$, $6$, $8$, $11$.
2. Найди медиану того же ряда.
3. Найди дисперсию ряда $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ и скажи, что она измеряет.
4. $X$ — число очков при броске кубика. Чему равно $M(X)$?
5. В серии из $5$ независимых испытаний вероятность успеха равна $0{,}6$. Каково среднее число успехов?
6. Вероятность события равна $0{,}02$. Как это прочитать на языке частот?
7. Что больше: $\dfrac{1}{\sqrt{100}}$ или $\dfrac{1}{\sqrt{400}}$?
8. В опросе участвовали $1600$ человек, $54\%$ ответили «да». Сколько это человек?

Ответы для самопроверки

1. $\dfrac{4+6+6+8+11}{5}=\dfrac{35}{5}=7$.
2. Ряд уже упорядочен, значений пять, середина — третье: медиана равна $6$.
3. Среднее равно $8$, квадраты отклонений $4$, $1$, $0$, $1$, $4$, сумма $10$, дисперсия $\frac{10}{5}=2$. Она измеряет разброс данных вокруг среднего.
4. $M(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5$.
5. $np=5\cdot0{,}6=3$.
6. Примерно два случая из ста при большом числе повторений.
7. Первое: $\frac{1}{10}=0{,}1$ больше, чем $\frac{1}{20}=0{,}05$. Учетверение числа наблюдений уменьшает эту дробь вдвое — на этом держится весь урок о выборке.
8. $0{,}54\cdot1600=864$ человека.

Если задачи 3 и 5 дались тяжело, освежи рассеивание данных и дискретные распределения: вся глава стоит на них.

Договорённости главы

• Все вероятности в примерах считаются точно — обыкновенными дробями; десятичная запись приводится со знаком $\approx$.
• Приближение появляется только там, где оно есть по существу: у корня из дисперсии и у нормальной модели. Модель — это всегда допущение, и мы каждый раз называем его вслух.
• Дисперсия обозначается $D(X)$, стандартное отклонение — $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$. Единица $\sigma$ совпадает с единицей самой величины, единица $D$ — её квадрат.
• Вывод из данных всегда состоит из двух частей: числа и границы его надёжности. Число без границы ошибки в этой главе считается недоделанной работой.
• Ни одна лаборатория главы не бросает монету «по-настоящему»: все примеры воспроизводимы, и у тебя на экране получатся ровно те же числа, что в тексте.

Маршрут главы

1. Математическое ожидание и справедливая цена — центр случайной величины и цена, при которой игра честна.
2. Дисперсия и стандартное отклонение — второе паспортное число: чем измерить риск.
3. Нормальная модель и правило трёх сигм — откуда берётся колокол и что он обещает.
4. Выборка, ошибка и честные выводы — как по $1600$ ответам судить о миллионах и где заканчивается право на вывод.
5. Практикум — страховая компания, конвейер и заголовок в новостях от начала до конца.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни со справедливой цены: это самый короткий путь от слова «в среднем» к числу, которое можно проверить.