1.7. Практикум · Карта чисел

6 класс · Делимость◷ 45–55 минут◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 1.1–1.6

В этой главе появилось много инструментов. Главная цель практикума — не только выполнить вычисление, но и понять, какой инструмент нужен и почему.

◎ После урока ты сможешь

• переводить сюжет задачи на язык делимости
• выбирать между остатком, НОД и НОК до начала вычислений
• соединять признаки делимости и разложение на простые множители

Маршрут выбора

Перед вычислениями задай вопрос к условию.

Что происходит в задаче?	Инструмент	Контрольный вопрос
проверяем, можно ли разделить нацело	признак или делитель	остаток равен нулю?
раскладываем предметы по группам, что-то остаётся	деление с остатком	выполняется ли $0\le r<b$?
делим все запасы на наибольшее число одинаковых наборов	НОД	число групп делит каждый запас и максимально ли оно?
ждём первого совпадения циклов	НОК	ответ кратен каждому периоду?
исследуем устройство числа	простые множители	все конечные множители простые?

Проверка понимания

84 фотографии и 126 подписей нужно разложить в наибольшее число одинаковых папок без остатка. Что искать?

• А. НОД(84, 126)
• Б. НОК(84, 126)
• В. Остаток от 126 : 84

Разбор одной большой задачи

Организаторы научного фестиваля приготовили $84$ фиолетовых значка и $126$ оранжевых. Их хотят разложить в наибольшее число одинаковых комплектов без остатка. Каждые $12$ минут запускается световая сцена, каждые $18$ минут — звуковая. В $10{:}00$ обе запустились вместе.

От текста к двум моделямРазбираем вместе

Комплекты. Число комплектов должно делить и $84$, и $126$, причём нужно самое большое такое число. Это НОД:

$84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad126=2\cdot3^2\cdot7,$

$\operatorname{\text{НОД}}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42.$

Получится $42$ комплекта: в каждом $84:42=2$ фиолетовых и $126:42=3$ оранжевых значка.

Сцены. Нужно первое совпадение двух периодов, значит ищем НОК:

$\operatorname{\text{НОК}}(12,18)=36.$

Обе сцены снова запустятся вместе через $36$ минут, то есть в $10{:}36$.

Последняя проверка возвращает числа в сюжет: $42$ — количество комплектов, а $36$ — число минут, не наоборот.

Поменяй числа в лаборатории и проговори вслух, почему левая модель отвечает про НОД, а правая — про НОК.

Лаборатория НОД и НОК

Комплекты и совпадения циклов

Одни и те же числа показывают две разные задачи: разделить и синхронизировать.

две модели

Первое число 12От 2 до 18

Второе число 18От 2 до 18

Разделить поровну

НОД(12, 18) = 6

6

Получается 6 одинаковых комплектов: в каждом по 2 фиолетовых и 3 оранжевых фишек.

1

2

3

4

5

6

Больше 6 одинаковых комплектов собрать нельзя.

Дождаться совпадения

НОК(12, 18) = 36

36

Первый цикл срабатывает каждые 12, второй — каждые 18. Их первая общая отметка — 36.

Шаг 12

1. 12
2. 24
3. 36

Шаг 18

1. 18
2. 36

На отметке 36 оба цикла звучат вместе.

↔

НОД отвечает про максимальное число групп, НОК — про первое общее кратное.Проверка связи: 6 · 36 = 216, и 12 · 18 = 216.

Станция 1. Разминка

1. Выпиши все делители числа $40$.
2. Назови первые пять положительных кратных числа $14$.
3. Запиши деление $157$ на $12$ в форме $a=bq+r$.
4. Не выполняя деление столбиком, определи, на какие из чисел $2,3,5,9,10$ делится $73\,530$.
5. Разложи $180$ на простые множители.
6. Найди НОД$(48,72)$ и НОК$(48,72)$.

Ответы к разминке

1. $1,2,4,5,8,10,20,40$.
2. $14,28,42,56,70$.
3. $157=12\cdot13+1$.
4. Последняя цифра $0$, а сумма цифр равна $18$, поэтому число делится на все пять чисел: $2,3,5,9,10$.
5. $180=2^2\cdot3^2\cdot5$.
6. НОД$=24$, НОК$=144$. Проверка: $24\cdot144=48\cdot72=3456$.

Станция 2. Выбери инструмент

7. В коробке $95$ деталей. Их раскладывают в пакеты по $8$. Сколько полных пакетов получится, сколько деталей останется и сколько пакетов нужно для всех деталей?
8. Прямоугольный лист $54\times72$ см нужно разрезать без отходов на самые большие одинаковые квадраты. Какова сторона квадрата и сколько квадратов получится?
9. Два спутника передают сигнал каждые $16$ и $24$ минуты. Сейчас сигналы совпали. Через сколько минут они совпадут снова?
10. Найди все цифры $a$, при которых число $51a6$ делится на $6$.
11. Число имеет разложение $2^3\cdot3^2\cdot5$. Сколько раз оно делится на $2$ нацело, прежде чем результат станет нечётным? Чему равно само число?
12. Найди наименьшее натуральное число, которое делится на $12$, $15$ и $18$.

Ответы и разбор станции 2

7. $95=8\cdot11+7$: $11$ полных пакетов, $7$ деталей останется, для всех деталей нужны $12$ пакетов.
8. Сторона — НОД$(54,72)=18$ см. Получится $(54:18)\cdot(72:18)=3\cdot4=12$ квадратов.
9. НОК$(16,24)=48$ минут.
10. Последняя цифра уже чётная. Сумма цифр равна $12+a$ и должна делиться на $3$, поэтому $a=0,3,6,9$.
11. Три раза: в разложении три двойки. Число равно $8\cdot9\cdot5=360$.
12. $180$: $12=2^2\cdot3$, $15=3\cdot5$, $18=2\cdot3^2$, поэтому НОК$=2^2\cdot3^2\cdot5$.

Станция 3. Исследуй и объясни

13. У числа ровно два различных простых множителя: $2$ и $3$. Обязательно ли оно равно $6$? Приведи два контрпримера.
14. Может ли остаток при делении на $9$ быть равен $9$? Объясни без вычислений.
15. Ученик написал: «НОК$(3,6)=3\cdot6=18$». Найди две проверки, которые опровергают этот ответ.
16. Докажи: произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на $6$.
17. Найди наименьшее трёхзначное число, которое при делении на $7$ даёт остаток $2$ и делится на $3$.
18. Придумай собственную задачу, где числа $8$ и $12$ требуют НОД, и другую задачу с теми же числами, где требуется НОК. Реши обе.

Идеи решений станции 3

13. Не обязательно. Например, $12=2^2\cdot3$ и $18=2\cdot3^2$ имеют те же два различных простых множителя.
14. Нет. Остаток всегда меньше делителя; при остатке $9$ можно было бы выделить ещё одну полную девятку и получить остаток $0$.
15. Число $6$ уже делится и на $3$, и на $6$, поэтому $18$ не может быть наименьшим общим кратным. Кроме того, произведение даёт НОК без уменьшения только для взаимно простых чисел, а НОД$(3,6)=3$. Верный ответ: НОК$(3,6)=6$.
16. Среди трёх последовательных чисел хотя бы одно чётное, значит произведение делится на $2$. Одно из них делится на $3$. Поскольку $2$ и $3$ взаимно простые, произведение делится на $6$.
17. Первое трёхзначное число с нужным остатком — $100=7\cdot14+2$. Все следующие получаются прибавлением $7$: $107,114,\ldots$ Суммы цифр равны $1$, $8$, $6$; первая сумма, кратная $3$, встречается у $114$. Ответ: $114$.
18. Например: из $8$ красных и $12$ синих фишек собирают максимум одинаковых наборов — НОД$=4$. Два события повторяются каждые $8$ и $12$ минут — НОК$=24$ минуты.

! Проверка — часть решения

Ответ НОД должен делить каждое исходное число. Ответ НОК должен делиться на каждое исходное число. Остаток должен быть от нуля до делителя минус один. Эти три быстрые проверки ловят большинство вычислительных ошибок.

Финальная самопроверка

Проверка понимания

Какое утверждение верно для чисел 24 и 36?

• А. НОД = 4, НОК = 216
• Б. НОД = 12, НОК = 144
• В. НОД = 12, НОК = 72

Что взять с собой дальше

• Делители описывают внутреннее устройство числа, кратные — возможные повторения и масштабы.
• Простое разложение превращает поиск НОД и НОК в работу со степенями простых чисел.
• В задаче сначала выбирают модель, затем считают, проверяют и возвращают ответ в сюжет.

Следующая глава — обыкновенные дроби. Там НОД поможет сокращать дроби, а НОК — находить удобный общий знаменатель.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным