3.4 Системы двух уравнений

7 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: линейные уравнения, линейная функция, координатная плоскость

В школьном буфете $3$ пирожка и $2$ сока стоят $210$ ₽, а $2$ пирожка и $4$ сока — $260$ ₽. Сколько стоит пирожок и сколько сок?

Одним уравнением здесь не обойтись: неизвестных двое, и каждое условие в отдельности допускает множество вариантов. Нужны оба условия сразу.

◎ После урока ты сможешь

• понимать, что решение системы — пара чисел, подходящая обоим уравнениям
• решать систему способом подстановки
• решать систему способом сложения
• объяснять графический смысл: одно решение, ни одного или бесконечно много

Прогноз до вычислений

Посмотри на условие буфета и ответь навскидку: пирожок дороже сока или дешевле? А сколько будут стоить $1$ пирожок и $1$ сок вместе?

Эксперимент: два условия — две прямые

Каждое уравнение вида $ax+by=c$ задаёт на плоскости прямую. Меняй коэффициенты и следи, как ведёт себя общая точка. Переключай вкладки: рисунок и алгебра должны давать один и тот же ответ.

Лаборатория систем уравнений

Одна пара чисел на два условия сразу

Каждое уравнение — прямая. Решение системы — точка, которая лежит на обеих прямых.

2x + 3y = 12

ГрафикПодстановкаСложение

Первое уравнение: 2x + 3y = 12

a₁ при x 2

−+

Целое от −12 до 12

b₁ при y 3

−+

Целое от −12 до 12

c₁ справа 12

−+

Целое от −12 до 12

Второе уравнение: x − y = 1

a₂ при x 1

−+

Целое от −12 до 12

b₂ при y −1

−+

Целое от −12 до 12

c₂ справа 1

−+

Целое от −12 до 12

=

Решение системы: (3; 2).Проверка: подставь x = 3 и y = 2 в оба уравнения — оба обратятся в верные равенства.

↺ Вернуть пример

Прямые $2x+3y=12$ и $x-y=1$ пересекаются в точке $(3;2)$. Проверим: $2\cdot3+3\cdot2=12$ и $3-2=1$ — оба равенства верны.

Что такое система и её решение

∴ Определение

Системой двух линейных уравнений с двумя переменными называют запись

$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$

Решение системы — пара чисел $(x;y)$, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

Фигурная скобка читается как «и»: оба условия должны выполняться одновременно.

Одно уравнение $ax+by=c$ (при $a$ и $b$, не равных нулю одновременно) задаёт прямую. Например, $x-y=1$ — это $y=x-1$. Поэтому решение системы — это общая точка двух прямых.

Способ подстановки

∴ Подстановка: три шага

1. Из одного уравнения вырази одну переменную через другую. Удобнее брать переменную с коэффициентом $1$ или $-1$: тогда не появятся дроби.
2. Подставь полученное выражение во второе уравнение — останется линейное уравнение с одной переменной.
3. Реши его, а найденное число подставь в выражение из шага 1 и найди вторую переменную.

Буфет: подстановкаРазбираем вместе

Пусть $p$ — цена пирожка, $s$ — цена сока (в рублях):

$\begin{cases} 3p+2s=210,\\ 2p+4s=260. \end{cases}$

Второе уравнение делится на $2$: $p+2s=130$. Отсюда удобно выразить $p$:

$p=130-2s.$

Подставим в первое уравнение:

$3(130-2s)+2s=210,\qquad 390-6s+2s=210,\qquad -4s=-180,\qquad s=45.$

Теперь $p=130-2\cdot45=130-90=40$.

Проверка в обоих исходных уравнениях: $3\cdot40+2\cdot45=120+90=210$ и $2\cdot40+4\cdot45=80+180=260$. Пирожок стоит $40$ ₽, сок — $45$ ₽.

Способ сложения

∴ Сложение: три шага

1. Подбери множители так, чтобы коэффициенты при одной и той же переменной стали противоположными числами.
2. Сложи уравнения почленно — эта переменная исчезнет.
3. Реши оставшееся уравнение и подставь найденное число в любое исходное уравнение.

Сложение вместо подстановкиРазбираем вместе

Решим ту же систему, что была в лаборатории:

$\begin{cases} 2x+3y=12,\\ x-y=1. \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $-2$: получится $-2x+2y=-2$. Коэффициенты при $x$ стали $2$ и $-2$ — противоположными. Складываем почленно:

$(2x-2x)+(3y+2y)=12+(-2),\qquad 5y=10,\qquad y=2.$

Подставляем $y=2$ во второе исходное уравнение: $x-2=1$, значит $x=3$.

Проверка: $2\cdot3+3\cdot2=12$ и $3-2=1$. Решение системы — пара $(3;2)$.

Способ сложения особенно удобен, когда коэффициенты при какой-то переменной уже противоположны или отличаются множителем. Например, в системе $3x+2y=8$ и $-3x+5y=13$ достаточно просто сложить уравнения: $7y=21$, откуда $y=3$ и $x=\dfrac{8-6}{3}$, то есть $x=\dfrac{2}{3}$.

Сколько бывает решений

Два уравнения — две прямые. Возможны ровно три случая.

• Прямые пересекаются — единственное решение. После исключения переменной остаётся уравнение вида $ax=b$ с $a\ne0$.
• Прямые параллельны — решений нет. После исключения остаётся неверное равенство без переменных, например $0=3$.
• Прямые совпадают — решений бесконечно много. Остаётся верное равенство $0=0$.

Например, система $x+y=4$ и $2x+2y=10$ решений не имеет: второе уравнение равносильно $x+y=5$, а сумма не может равняться сразу $4$ и $5$. А система $x+y=4$ и $2x+2y=8$ — это одно и то же условие, записанное дважды.

Проверка понимания

Является ли пара (2; 1) решением системы x + y = 3 и x − y = 1?

• А. Нет, потому что подходит только первому уравнению
• Б. Нет, решение системы — это одно число, а не пара
• В. Да, потому что оба равенства верные

! Три типичных промаха

Нашли x и остановились. Ответ системы — пара чисел. Найдя $x=3$, обязательно вернись за $y$.

Подставили обратно в то же уравнение. Если $y$ выразили из первого уравнения и туда же подставили, получится тождество $0=0$ — верное, но бесполезное. Подставлять надо во второе уравнение.

Проверили только одно уравнение. Пара $(3;2)$ подходит уравнению $x-y=1$, но и пара $(10;9)$ ему подходит. Решение системы обязано пройти обе проверки.

Практика

1. Является ли пара $(2;1)$ решением системы $x+y=3$, $x-y=1$?
2. Реши подстановкой: $y=x-1$, $2x+3y=12$.
3. Реши подстановкой: $x+y=7$, $x-y=3$.
4. Реши сложением: $2x+y=8$, $x-y=1$.
5. Реши сложением: $3x+2y=16$, $5x-2y=16$.
6. Сколько решений у системы $x+y=4$, $2x+2y=10$? Ответ объясни.
7. Сколько решений у системы $x+y=4$, $2x+2y=8$? Ответ объясни.
8. За $2$ ручки и $3$ тетради заплатили $210$ ₽, за $1$ ручку и $2$ тетради — $130$ ₽. Найди цены.
9. Найди точку пересечения графиков $y=2x-1$ и $y=-x+5$.
10. Сумма двух чисел равна $25$, а их разность равна $7$. Найди эти числа.
11. Два взрослых и три детских билета стоят $1500$ ₽, три взрослых и два детских — $1750$ ₽. Найди цену каждого билета.
12. Не решая систему, определи число её решений: $3x-y=2$ и $6x-2y=5$.

Ответы и пояснения

1. Да: $2+1=3$ и $2-1=1$.
2. $2x+3(x-1)=12$, то есть $5x=15$ и $x=3$; тогда $y=2$. Ответ: $(3;2)$.
3. Из второго $x=y+3$; тогда $(y+3)+y=7$, значит $2y=4$, $y=2$ и $x=5$. Ответ: $(5;2)$.
4. Сложим уравнения почленно: $3x=9$, значит $x=3$ и $y=8-2\cdot3=2$. Ответ: $(3;2)$.
5. Сложим: $8x=32$, значит $x=4$; тогда $2y=16-12=4$ и $y=2$. Ответ: $(4;2)$.
6. Решений нет: второе уравнение равносильно $x+y=5$, прямые параллельны.
7. Бесконечно много: второе уравнение равносильно первому, прямые совпадают.
8. Ручка $x$, тетрадь $y$: $2x+3y=210$ и $x+2y=130$. Из второго $x=130-2y$, тогда $260-4y+3y=210$, то есть $y=50$ и $x=30$. Ручка $30$ ₽, тетрадь $50$ ₽.
9. $2x-1=-x+5$, значит $3x=6$, $x=2$ и $y=3$. Точка $(2;3)$.
10. $x+y=25$, $x-y=7$; сложение даёт $2x=32$, значит $x=16$ и $y=9$.
11. Взрослый $x$, детский $y$: $2x+3y=1500$ и $3x+2y=1750$. Умножим первое на $3$, второе на $-2$: $6x+9y=4500$ и $-6x-4y=-3500$; сложение даёт $5y=1000$, то есть $y=200$ и $x=450$ ₽.
12. Второе уравнение равносильно $3x-y=2{,}5$, а первое требует $3x-y=2$. Условия несовместимы: решений нет.

Итог

• Решение системы — пара чисел, подходящая обоим уравнениям одновременно.
• Подстановка выражает одну переменную и убирает её из второго уравнения; сложение убирает переменную подбором множителей.
• Оба способа обязаны давать один и тот же ответ, а график показывает его как точку пересечения прямых.
• Если переменные исчезли обе, ответ читается по оставшемуся числовому равенству: неверное — решений нет, верное — решений бесконечно много.

Теперь у тебя есть весь набор: уравнение, модель текстовой задачи, график и система. Собери их вместе в практикуме.

← Линейная функция · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным