5.2 Теорема Пифагора

8 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: площадь квадрата и треугольника, квадратный корень, подобие

Лестница длиной $5$ м стоит так, что её нижний конец отодвинут от стены на $3$ м. На какой высоте её верхний конец?

Измерить нельзя: лестница уже стоит, рулетки под потолком нет. А ответ всё равно известен точно — и получить его можно, ни разу не поднявшись наверх.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать и доказывать теорему Пифагора через площади
• находить третью сторону прямоугольного треугольника по двум известным
• применять обратную теорему для проверки прямого угла
• отличать точный ответ с корнем от округлённого

Прогноз до вычислений

У прямоугольного треугольника катеты $3$ и $4$. Построй в уме три квадрата — по одному на каждой стороне.

Как связаны их площади? Запиши свою гипотезу: «площадь большого квадрата равна …». Варианты бывают разные: «сумме двух других», «их произведению», «никак не связаны».

Управляемый эксперимент

Меняй катеты и следи за тремя числами внутри квадратов.

Лаборатория прямоугольного треугольника

Квадраты, корни и отношения сторон

Все длины и площади вычисляются из введённых катетов, а квадраты строятся по настоящим координатам.

исследование

Квадраты на сторонахНайти сторонуСинус, косинус, тангенс

Катет AC4 см

−+

От 3 до 12 см

Катет BC3 см

−+

От 3 до 12 см

□

9 + 16 = 25Площади квадратов на катетах в сумме дают площадь квадрата на гипотенузе, поэтому c² = 25 и c = 5 см. Меняй катеты: равенство не ломается никогда.

↺ Вернуть пример

Сколько бы ты ни менял катеты, сумма площадей двух маленьких квадратов равна площади большого. Это не совпадение и не свойство «удобных» чисел — это теорема.

Формулировка

∴ Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2,$

где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Доказательство через площади

Возьмём квадрат со стороной $a + b$ и уложим внутрь четыре копии нашего прямоугольного треугольника — по одной в каждый угол, как на чертеже.

Шаг 1. Внутренняя фигура — квадрат. Все её стороны равны $c$, потому что это гипотенузы четырёх равных треугольников. Обозначим острые углы треугольника $\alpha$ и $\beta$; тогда $\alpha + \beta = 90°$. В каждой вершине внутренней фигуры сходятся угол $\alpha$ одного треугольника, угол внутренней фигуры и угол $\beta$ соседнего треугольника, а вместе они составляют развёрнутый угол. Значит

$\angle = 180° - \alpha - \beta = 180° - 90° = 90°.$

Четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами — квадрат со стороной $c$.

Шаг 2. Считаем площадь большого квадрата двумя способами.

По формуле квадрата:

$S = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

По частям — четыре треугольника и внутренний квадрат:

$S = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2.$

Шаг 3. Приравниваем.

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \;\Longrightarrow\; a^2 + b^2 = c^2. \qquad \blacksquare$

Одна и та же площадь, посчитанная двумя способами, — вот и весь механизм доказательства.

Как считать на практике

Лаборатория прямоугольного треугольника

Квадраты, корни и отношения сторон

Все длины и площади вычисляются из введённых катетов, а квадраты строятся по настоящим координатам.

задача

Квадраты на сторонахНайти сторонуСинус, косинус, тангенс

Катет AC8 см

−+

От 3 до 12 см

Катет BC6 см

−+

От 3 до 12 см

Гипотенуза, смПроверить

?

Катеты равны 8 и 6 см. Найди гипотенузу с точностью до десятых.Сначала найди c², потом извлеки корень. Ответ вводи десятичной дробью.

↺ Вернуть пример

Лестница у стеныРазбираем вместе

Лестница длиной $5$ м отодвинута от стены на $3$ м. Стена вертикальна, земля горизонтальна, поэтому угол между ними прямой, и лестница — гипотенуза.

$h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \;\Longrightarrow\; h = 4 \text{ м}.$

Проверка правдоподобия: $4 < 5$, и это правильно — гипотенуза всегда длиннее каждого катета.

Когда корень не извлекаетсяРазбираем вместе

Катеты равны $5$ и $7$ см. Тогда

$c^2 = 25 + 49 = 74, \qquad c = \sqrt{74}.$

Число $\sqrt{74}$ иррационально: $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, поэтому $8 < \sqrt{74} < 9$. Точный ответ — $\sqrt{74}$ см, приближённый — $c \approx 8{,}6$ см.

Записывать $c = 8{,}6$ со знаком равенства нельзя: это другое число, его квадрат равен $73{,}96$.

Обратная теорема

∴ Обратная теорема Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против большей стороны.

Это уже не то же самое утверждение: прямая теорема из прямого угла выводит равенство, обратная из равенства выводит прямой угол. Именно обратная теорема позволяет строить прямой угол без угольника.

✦ Верёвка с двенадцатью узлами

Древние египтяне размечали прямой угол верёвкой, разделённой узлами на $12$ равных частей. Если натянуть её треугольником со сторонами $3$, $4$ и $5$ частей, угол между короткими сторонами окажется прямым:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$

Тройки натуральных чисел с таким свойством называют пифагоровыми: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(20,21,29)$. Любую из них можно умножить на натуральное число и получить новую: $(6,8,10)$, $(9,12,15)$.

! Три типичных промаха

Складывают, когда надо вычитать. Если известна гипотенуза, катет находят вычитанием: $a^2 = c^2 - b^2$. Формула $c^2 = a^2 + b^2$ работает только «в сторону» гипотенузы.

Забывают, где гипотенуза. Гипотенуза лежит против прямого угла и всегда самая длинная. Если в ответе катет получился длиннее гипотенузы, где-то ошибка.

Применяют теорему к любому треугольнику. Без прямого угла равенство $a^2 + b^2 = c^2$ неверно. Для треугольника со сторонами $6$, $7$, $9$ получается $85 \ne 81$ — и это как раз означает, что прямого угла в нём нет.

Проверка понимания

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, один катет равен 5. Чему равен второй катет?

• А. √194 ≈ 13,9
• Б. 12
• В. 8

Практика

1. Катеты равны $9$ и $12$. Найди гипотенузу.
2. Катеты равны $5$ и $7$. Найди гипотенузу точно и приближённо (до десятых).
3. Гипотенуза равна $26$, один катет — $10$. Найди второй катет.
4. Найди диагональ прямоугольника со сторонами $6$ и $8$ см.
5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $13$ см, основание — $10$ см. Найди высоту к основанию и площадь.
6. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами $12$, $16$, $20$?
7. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами $6$, $7$, $9$?
8. Лестница длиной $5$ м стоит на расстоянии $3$ м от стены. На какой высоте её верхний конец?
9. Найди диагональ квадрата со стороной $6$ см — точно и приближённо.
10. Найди высоту и площадь равностороннего треугольника со стороной $8$ см.
11. Найди расстояние между точками $A(1;2)$ и $B(5;5)$ на координатной плоскости.

Ответы и пояснения

1. $c^2 = 81 + 144 = 225$, поэтому $c = 15$.
2. $c^2 = 25 + 49 = 74$; точно $c = \sqrt{74}$, приближённо $c \approx 8{,}6$.
3. $a^2 = 676 - 100 = 576$, поэтому $a = 24$.
4. $d^2 = 36 + 64 = 100$, поэтому $d = 10$ см.
5. Высота делит основание пополам: $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, $h = 12$ см. Площадь $S = \dfrac{10 \cdot 12}{2} = 60\text{ см}^2$.
6. Да: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$. Это тройка $(3,4,5)$, умноженная на $4$.
7. Нет: $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$, а $9^2 = 81$. Равенства нет, значит прямого угла нет.
8. $h^2 = 25 - 9 = 16$, поэтому $h = 4$ м.
9. $d^2 = 36 + 36 = 72$; точно $d = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см, приближённо $d \approx 8{,}49$ см.
10. Высота делит сторону пополам: $h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$, $h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ см. Площадь $S = \dfrac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71\text{ см}^2$.
11. Горизонтальная разность $5 - 1 = 4$, вертикальная $5 - 2 = 3$; $AB^2 = 16 + 9 = 25$, поэтому $AB = 5$.

Итог

• В прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$; доказательство получается сравнением одной площади, посчитанной двумя способами.
• Катет находят вычитанием квадратов, гипотенузу — сложением.
• Обратная теорема превращает арифметическое равенство в геометрический факт: прямой угол можно проверить измерением трёх сторон.
• Ответ с корнем — точный; десятичная дробь рядом с ним обязана иметь знак $\approx$.

В следующем уроке появится второй вопрос про прямоугольный треугольник: как связаны его стороны не друг с другом, а с углом. Ответ снова придёт из подобия.

← Подобие треугольников · Дальше: тригонометрия острого угла →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным