5.4 Движения плоскости

9 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: координаты точки, векторы, симметрия из 6 класса

Плитку на полу двигают, поворачивают и переворачивают. Узор на обоях повторяется сдвигом. Левая перчатка становится правой, если посмотреть на неё в зеркало.

Во всех случаях фигура остаётся той же самой — меняется только её положение. Преобразования с таким свойством называют движениями, и их всего четыре вида.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать, что такое движение плоскости, через сохранение расстояний
• находить образ точки при переносе, симметриях и повороте по формулам
• называть величины, которые сохраняет любое движение, и то, что может измениться
• определять неподвижные точки движения и заменять композицию одним движением

Прогноз до вычислений

Треугольник отразили относительно прямой, а потом полученный треугольник отразили относительно другой прямой, параллельной первой.

Как ты думаешь: получилось новое отражение, поворот, сдвиг или вообще ничего не изменилось? Запиши догадку — в конце урока мы её проверим чертежом.

Что такое движение

∴ Движение плоскости

Движением называют отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния: если точки $A$ и $B$ перешли в $A_1$ и $B_1$, то

$A_1B_1 = AB.$

Фигура и её образ при движении равны.

Одно-единственное требование — сохранение расстояний — тянет за собой всё остальное. Раз все расстояния прежние, то треугольники переходят в равные треугольники, значит сохраняются и величины углов, и площади. Прямая переходит в прямую, отрезок — в равный отрезок, параллельные прямые — в параллельные, окружность — в окружность того же радиуса.

Два движения ты уже строил в 6 классе, в уроке о симметрии, — просто слова «движение» там ещё не было. Осевая и центральная симметрии сохраняют расстояния, а значит подходят под определение выше: это частные случаи движения, а не отдельная тема. В самих определениях 6 класса ничего не меняется — у них появилось общее имя и два соседа. Добавим их и запишем все четыре формулами.

Четыре движения в координатах

∴ Формулы образов

Параллельный перенос на вектор $\vec p(a;b)$:

$(x;y) \mapsto (x+a;\ y+b).$

Осевая симметрия относительно оси $x$: $(x;y)\mapsto(x;-y)$; относительно оси $y$: $(x;y)\mapsto(-x;y)$; относительно прямой $y=x$: $(x;y)\mapsto(y;x)$.

Центральная симметрия относительно точки $C(x_0;y_0)$:

$(x;y) \mapsto (2x_0-x;\ 2y_0-y).$

Поворот вокруг начала координат против часовой стрелки: на $90°$ — $(x;y)\mapsto(-y;x)$, на $180°$ — $(x;y)\mapsto(-x;-y)$, на $90°$ по часовой стрелке — $(x;y)\mapsto(y;-x)$.

Заметь: поворот на $180°$ и центральная симметрия относительно центра поворота — это одно и то же преобразование.

Управляемый эксперимент

Сначала посмотри на симметрии: отметь точку и сравни её образы относительно осей и относительно начала координат.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x 3

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

Координата y 2

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

↑y + 0,5←x − 0,50в начало→x + 0,5↓y − 0,5

относительно Ox(3; 2) → (3; −2)x сохраняется, y меняет знак

относительно Oy(3; 2) → (−3; 2)y сохраняется, x меняет знак

относительно O(3; 2) → (−3; −2)оба знака меняются

⌖

Отражения A: Aₓ(3; −2), Aᵧ(−3; 2), A₀(−3; −2).При отражении относительно оси меняется знак перпендикулярной координаты; относительно начала — знаки обеих.

↺ Вернуть пример

Теперь переключись на вкладку «Маршрут»: один шаг маршрута — это ровно параллельный перенос на вектор.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x −3

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

Координата y 4

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

↑y + 0,5←x − 0,50в начало→x + 0,5↓y − 0,5

1. 1

   Перенос на вектор (5; −3)(−3; 4) + (5; −3) = (2; 1)

⌖

Маршрут начинается в A(−3; 4) и заканчивается в B(2; 1).Каждый шаг прибавляет смещение (Δx; Δy) к текущим координатам. Выполнено шагов: 1.

↺ Вернуть пример

Перенос по двум точкамРазбираем вместе

Перенос переводит $A(-3;4)$ в $A_1(2;1)$. Найдём его вектор и образ точки $B(1;1)$.

Вектор переноса — это $\vec{AA_1} = (2-(-3);\ 1-4) = (5;-3)$.

Тогда $B_1 = (1+5;\ 1-3) = (6;-2)$.

Проверка: $AB = \sqrt{16+9} = 5$ и $A_1B_1 = \sqrt{16+9} = 5$. Расстояние сохранилось — как и должно быть у движения.

Поворот треугольника на 90°Разбираем вместе

Треугольник $A(2;1)$, $B(5;1)$, $C(2;3)$ поворачивают вокруг начала координат на $90°$ против часовой стрелки. По формуле $(x;y)\mapsto(-y;x)$:

$A_1(-1;2), \qquad B_1(-1;5), \qquad C_1(-3;2).$

Проверим одну сторону: $AB = 3$, и $\vec{A_1B_1} = (0;3)$, то есть $A_1B_1 = 3$. Совпало.

А вот угол при вершине $A$ был прямым — прямым он и остался: $\vec{A_1B_1} = (0;3)$, $\vec{A_1C_1} = (-2;0)$, их скалярное произведение равно $0$.

Центр симметрии по точке и её образуРазбираем вместе

Точка $A(6;-2)$ перешла при центральной симметрии в $A_1(-2;4)$. Где центр?

Центр симметрии — середина отрезка $AA_1$:

$C\left(\frac{6+(-2)}{2};\ \frac{-2+4}{2}\right) = C(2;1).$

Проверка по формуле: $(2\cdot2-6;\ 2\cdot1-(-2)) = (-2;4)$. Сходится.

Что сохраняется, а что нет

Движение	Неподвижные точки	Направление обхода
Перенос на ненулевой вектор	нет	сохраняется
Осевая симметрия	вся ось	меняется
Центральная симметрия	только центр	сохраняется
Поворот на угол, не кратный $360°$	только центр	сохраняется

Направление обхода — это то, читается ли подпись вершин $A\to B\to C$ по часовой стрелке или против. Осевая симметрия его переворачивает: именно поэтому отражение левой перчатки — правая перчатка, хотя все длины и углы у них одинаковые.

Две симметрии подряд

Вернёмся к прогнозу. Отразим фигуру относительно прямой $l_1$, а затем результат — относительно параллельной ей прямой $l_2$.

Прямые стоят на расстоянии $d=3$ друг от друга, а итоговый сдвиг равен $6=2d$. Это общее правило: две осевые симметрии относительно параллельных прямых дают параллельный перенос на вектор, перпендикулярный прямым, длиной $2d$. Каждая симметрия переворачивала обход, две подряд вернули его на место — поэтому в результате и получилось движение первого рода.

! Где обычно ошибаются

Центральную симметрию считают «сменой обоих знаков» всегда. Формула $(x;y)\mapsto(-x;-y)$ верна только для центра в начале координат. Для центра $C(x_0;y_0)$ работает $(2x_0-x;\ 2y_0-y)$.

Путают направления поворота. Против часовой стрелки $(x;y)\mapsto(-y;x)$, по часовой — $(x;y)\mapsto(y;-x)$. Проверить легко: точка $(1;0)$ при повороте на $90°$ против часовой должна попасть в $(0;1)$, то есть подняться вверх.

Считают, что движение сохраняет вообще всё. Ориентация может измениться: у осевой симметрии обход вершин переворачивается, и совместить фигуру с образом скольжением по плоскости уже нельзя.

Проверка понимания

Какое из движений меняет направление обхода фигуры?

• А. Параллельный перенос
• Б. Осевая симметрия
• В. Поворот на 180° вокруг точки

Практика

1. Найди образ точки $A(-4;3)$ при переносе на вектор $\vec p(6;-5)$.
2. Перенос переводит $A(1;-2)$ в $A_1(-3;4)$. Найди вектор переноса и образ точки $B(0;5)$.
3. Найди образ точки $M(3;-7)$ при симметрии относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат.
4. Найди образ точки $M(3;-7)$ при симметрии относительно точки $C(1;2)$.
5. Точка $A(6;-2)$ перешла при центральной симметрии в $A_1(-2;4)$. Найди центр симметрии.
6. Найди образ точки $P(4;1)$ при повороте вокруг начала координат на $90°$ против часовой стрелки, на $180°$ и на $90°$ по часовой стрелке.
7. Найди образ точки $K(-2;5)$ при симметрии относительно прямой $y=x$.
8. Треугольник $A(1;1)$, $B(4;1)$, $C(1;5)$ повернули на $180°$ вокруг начала координат. Запиши координаты образа и проверь, что все три стороны сохранили длину.
9. Назови неподвижные точки переноса на ненулевой вектор, осевой симметрии, центральной симметрии и поворота на $60°$.
10. Фигуру отразили относительно прямой $x=1$, затем относительно прямой $x=4$. Каким одним движением это можно заменить?
11. Может ли движение перевести квадрат со стороной $3$ в квадрат со стороной $4$? Ответ обоснуй.
12. Точки $A(0;0)$ и $B(4;2)$. Найди образ точки $B$ при повороте на $90°$ против часовой стрелки вокруг точки $A$ и проверь, что длина отрезка не изменилась.

Ответы и пояснения

1. $(-4+6;\ 3-5) = (2;-2)$.
2. $\vec p = (-3-1;\ 4-(-2)) = (-4;6)$; тогда $B_1 = (0-4;\ 5+6) = (-4;11)$.
3. Относительно оси $x$: $(3;7)$; относительно оси $y$: $(-3;-7)$; относительно начала координат: $(-3;7)$.
4. $(2\cdot1-3;\ 2\cdot2-(-7)) = (-1;11)$.
5. Центр — середина: $\left(\dfrac{6-2}{2};\ \dfrac{-2+4}{2}\right) = (2;1)$.
6. Против часовой: $(-1;4)$; на $180°$: $(-4;-1)$; по часовой: $(1;-4)$.
7. $(5;-2)$: координаты меняются местами.
8. $A_1(-1;-1)$, $B_1(-4;-1)$, $C_1(-1;-5)$. Проверка: $AB = 3$ и $A_1B_1 = 3$; $AC = 4$ и $A_1C_1 = 4$; $BC = \sqrt{9+16} = 5$ и $B_1C_1 = \sqrt{9+16} = 5$.
9. У переноса неподвижных точек нет; у осевой симметрии неподвижна вся ось; у центральной симметрии — только центр; у поворота на $60°$ — только центр поворота.
10. Параллельным переносом на вектор $(6;0)$: сдвиг равен удвоенному расстоянию между прямыми, $2\cdot(4-1) = 6$. Проверить можно на точке $x=0$: после первого отражения $x=2$, после второго $x=6$.
11. Нет. Движение сохраняет расстояния, поэтому сторона $3$ обязана перейти в отрезок длиной $3$, а не $4$.
12. $\vec{AB} = (4;2)$, после поворота получаем $(-2;4)$, поэтому $B_1(-2;4)$. Длины: $AB = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$ и $AB_1 = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$ — совпали.

Итог

• Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния; отсюда автоматически следует сохранение углов, площадей и формы.
• Четыре вида движений записываются простыми формулами в координатах, и каждую формулу можно проверить обратным вычислением.
• Неподвижные точки — быстрый способ отличить движения друг от друга.
• Ориентация — единственное, что движение может не сохранить: осевая симметрия переворачивает обход, остальные три — нет.

Осталось собрать все четыре инструмента главы — векторы, координаты, скалярное произведение и движения — в одной задаче.

← Скалярное произведение · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным