Многогранники и сечения

10 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: развёртки и объём из 6 класса, теорема Пифагора, правильные многоугольники

Упаковка для подарка, шатёр над сценой, гайка под ключ, кристалл соли, игральный кубик на двадцать граней и разрез 3D-модели в редакторе — всё это многогранники: тела, поверхность которых сложена из плоских многоугольников.

В 6 классе ты складывал коробку из развёртки и считал единичные кубы. Теперь у нас есть другой инструмент — чертёж на плоскости, по которому можно рассуждать: сосчитать рёбра, не рисуя их все, построить разрез, не разрезая, и вычислить обшивку, не разворачивая её.

◎ После урока ты сможешь

• различать призму и пирамиду, называть их элементы и виды
• считать вершины, рёбра и грани и проверять результат формулой Эйлера
• объяснять, почему правильных многогранников ровно пять
• строить сечения куба методом следов и определять вид многоугольника сечения
• вычислять площади боковой и полной поверхности призмы и пирамиды
• находить объёмы призмы и пирамиды и объяснять, откуда берётся множитель ⅓

◆ Чертёж честный, но не измеримый

Пространственное тело изображают параллельной проекцией. Она сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков на одной прямой, но не сохраняет длины и углы. Поэтому прямой угол на чертеже может выглядеть острым, а равные рёбра — разными.

Вывод простой: с чертежа берут устройство тела, а числа — только из условия и вычислений.

Входная диагностика

Ответь сначала без вычислений, где это возможно.

1. Сколько у куба граней, рёбер и вершин?
2. Что такое развёртка тела?
3. Чему равен радиус описанной окружности правильного шестиугольника со стороной $4$?
4. Найди гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $4$.
5. Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?
6. Две точки прямой лежат в плоскости. Где лежит вся прямая?
7. Найди площадь равностороннего треугольника со стороной $6$.
8. Площадь прямоугольника равна $40\text{ см}^2$, одна сторона равна $5$ см. Найди вторую.

Ответы для самопроверки

1. $6$ граней, $12$ рёбер, $8$ вершин.
2. Плоская фигура, из которой тело складывается без наложений и разрывов.
3. $R=a=4$: у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне.
4. $\sqrt{9+16}=5$.
5. Ровно одна.
6. Целиком в этой плоскости.
7. $S=\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx15{,}59$.
8. $40:5=8$ см.

Если задания 3, 4 и 7 дались тяжело, загляни в правильные многоугольники и теорему Пифагора: в этой главе они будут работать почти в каждой задаче.

Договорённости главы

• Все многогранники в главе выпуклые: тело целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани.
• Невидимые рёбра на чертеже рисуем штриховой линией — это часть условия, а не украшение.
• Приближённый ответ отмечаем знаком $\approx$ и указываем точность. Там, где ответ иррационален, сначала записываем точное значение вида $27\sqrt{3}$, и лишь затем — десятичную оценку.
• Все линейные размеры перед подстановкой в формулу приводим к одной единице.
• Цифровая лаборатория помогает проверить догадку, но не заменяет чертёж от руки, модель из бумаги и запись решения.

Маршрут главы

1. Призма и пирамида — элементы, виды, изображение и подсчёт вершин, рёбер и граней.
2. Правильные многогранники и формула Эйлера — соотношение $V-E+F=2$ и ответ на вопрос, почему правильных тел ровно пять.
3. Построение сечений — метод следов на кубе и вид многоугольника сечения.
4. Площадь поверхности — развёртка, боковая и полная поверхность призмы и пирамиды.
5. Объёмы многогранников — $V=S_{\text{осн}}h$, принцип Кавальери и честный вывод одной трети у пирамиды.
6. Практикум — проектируем павильон и согласуем каркас, обшивку и разрез.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с призмы и пирамиды — там мы научимся считать элементы тела, не пересчитывая их по одному.