3.2 Иррациональные уравнения

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: равносильность и следствие, свойства квадратного корня, квадратные уравнения

Лестница длиной $5$ м приставлена к стене. Её нижний конец отодвинут от стены на $a$ метров, тогда по теореме Пифагора верхний конец достаёт до высоты

$h=\sqrt{25-a^2}.$

Спросим: на сколько нужно отодвинуть нижний конец, чтобы высота оказалась на $1$ м больше этого расстояния? Получаем уравнение

$\sqrt{25-a^2}=a+1,$

в котором переменная стоит под знаком корня. Возвести обе части в квадрат тут можно — и даже нужно. Но это, как мы уже знаем, переход к следствию: среди полученных чисел окажется и лишнее.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать иррациональное уравнение и находить его ОДЗ
• решать уравнение вида корень = выражение равносильным переходом к системе
• отбирать корни после возведения обеих частей в квадрат
• применять замену переменной и справляться с двумя корнями в одном уравнении

Прогноз до вычислений

• Сколько корней, по-твоему, у уравнения $\sqrt{x-1}=-3$?
• Уравнение $\sqrt{x+3}=x+1$ после квадрата дало два кандидата. Всегда ли лишним оказывается меньший?
• Может ли у иррационального уравнения быть больше корней, чем у уравнения, полученного возведением в квадрат?

Эксперимент: кто из кандидатов настоящий

Пощёлкай примеры и сравни два вида. Есть уравнения, где квадрат добавляет лишний корень, а есть такие, где не добавляет ничего.

Лаборатория равносильности

Где именно квадрат добавляет лишний корень

Две картинки описывают два разных уравнения. Обе честные: точки вычислены по формулам. Переключай вид и смотри, в какой момент общих точек становится больше.

√(2x + 3) = x

√(x − 1) = 3√(x + 3) = x + 1√(2x + 3) = x√(x + 7) = x − 5√(x + 5) = 1 − x√(x² − 3x) = 2√(x² − 4) = √(3x)

Исходное уравнениеПосле возведения в квадрат

√(2x + 3) = x

Сколько корней у исходного уравнения

Проверить

?

Сколько корней у уравнения √(2x + 3) = x?Сравни две картинки, впиши число корней исходного уравнения и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Найди среди примеров тот, в котором посторонним оказывается больший кандидат, и тот, где посторонних нет вовсе.

Определение и главная схема

∴ Иррациональное уравнение

Уравнение называют иррациональным, если переменная стоит под знаком корня.

Ключевое свойство: арифметический квадратный корень $\sqrt{t}$ определён при $t\ge0$ и сам неотрицателен. Отсюда обе главные схемы.

∴ Корень равен выражению

$\sqrt{f(x)}=g(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} g(x)\ge0,\\ f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^2. \end{cases}$

Условие $f(x)\ge0$ выписывать не нужно: из второго равенства следует $f(x)=g^2(x)\ge0$ автоматически.

∴ Корень равен корню

$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} f(x)\ge0,\\ f(x)=g(x). \end{cases}$

Здесь наоборот: следить надо за подкоренным выражением, ведь при $f(x)<0$ обеих частей просто не существует.

Есть и второй, менее формальный путь: возвести в квадрат, решить, а потом подставить каждого кандидата в исходное уравнение. Этот путь короче, когда чисел мало, но требует дисциплины: пропустил проверку — получил чужой ответ.

✦ Почему условие ставят на правую часть

Слева стоит корень — он неотрицателен всегда. Значит, если равенство верно, то и справа число неотрицательное. Условие $g(x)\ge0$ — это не дополнительное требование, а перевод на язык неравенств того, что мы и так знаем про корень.

Разобранные примеры

Переход к системеРазбираем вместе

$\sqrt{x+5}=x-1.$

Переходим к системе:

$\begin{cases}x-1\ge0,\\ x+5=(x-1)^2.\end{cases}$

Второе уравнение: $x+5=x^2-2x+1$, то есть $x^2-3x-4=0$.

$D=9+16=25,\qquad x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$

Первое условие даёт $x\ge1$. Значение $-1$ ему не удовлетворяет, значение $4$ — удовлетворяет.

Проверка: $\sqrt{4+5}=3=4-1$ — верно.

Ответ: $x=4$.

Два уравнения с одним и тем же следствиемРазбираем вместе

$\sqrt{x+5}=1-x.$

Система: $1-x\ge0$ и $x+5=(1-x)^2$.

$x+5=1-2x+x^2,\qquad x^2-3x-4=0.$

Уравнение получилось то же самое, что и в предыдущем примере: ведь $(x-1)^2$ и $(1-x)^2$ — одно выражение. Кандидаты те же: $-1$ и $4$.

Но условие отбора теперь другое: $x\le1$. Оно отсеивает $x=4$.

Проверка: $\sqrt{-1+5}=2=1-(-1)$ — верно. Ответ: $x=-1$.

Сравни: у уравнений $\sqrt{x+5}=x-1$ и $\sqrt{x+5}=1-x$ одно уравнение-следствие и одни кандидаты, а корни разные — по одному, и это разные числа. Квадрат стирает знак, отбор его возвращает.

Заодно видно, что правила «посторонним всегда оказывается меньший кандидат» не существует: здесь лишним стал больший.

Два корня в одном уравненииРазбираем вместе

$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$

ОДЗ: $x\ge0$ (тогда и $x+5\ge0$).

Уединяем один корень и возводим в квадрат:

$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x},$

$x+5=1+2\sqrt{x}+x,\qquad 2\sqrt{x}=4,\qquad \sqrt{x}=2.$

Отсюда $x=4$.

Проверка: $\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$ — верно.

Ответ: $x=4$.

Приём общий: уединить один корень, возвести в квадрат, при необходимости повторить. После каждого квадрата множество корней может расшириться, поэтому финальная подстановка обязательна.

Замена переменнойРазбираем вместе

$x-\sqrt{x}-2=0.$

Пусть $t=\sqrt{x}$, тогда $t\ge0$ и $x=t^2$:

$t^2-t-2=0,\qquad D=1+8=9,\qquad t_1=2,\qquad t_2=-1.$

Значение $t=-1$ отбрасываем: корень отрицательным не бывает. Из $t=2$ получаем $\sqrt{x}=2$, то есть $x=4$.

Проверка: $4-2-2=0$ — верно. Ответ: $x=4$.

Вернёмся к лестницеРазбираем вместе

$\sqrt{25-a^2}=a+1.$

Система: $a+1\ge0$ и $25-a^2=(a+1)^2$.

$25-a^2=a^2+2a+1,\qquad 2a^2+2a-24=0,\qquad a^2+a-12=0.$

$D=1+48=49,\qquad a_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad a_2=\frac{-1+7}{2}=3.$

Условие $a\ge-1$ отсеивает $a=-4$. Заметь: тут отбор совпал и со здравым смыслом — расстояние отрицательным не бывает, — но математическая причина другая и работает всегда.

Проверка: $\sqrt{25-9}=4=3+1$ — верно.

Ответ: нижний конец отодвигают на $3$ м, верхний оказывается на высоте $4$ м. Знакомый прямоугольный треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$.

Проверка понимания

Уравнение √(2x + 3) = x после возведения в квадрат дало кандидатов x = −1 и x = 3. Какой отбор здесь правильный?

• А. Оставить обоих: подкоренное выражение при x = −1 равно 1, то есть неотрицательно
• Б. Оставить x = 3, потому что посторонним всегда оказывается меньший кандидат
• В. Оставить x = 3, потому что при x = −1 правая часть отрицательна

! Где чаще всего теряют правду

Возвели в квадрат сумму двух корней целиком. Из $\sqrt{a}+\sqrt{b}=c$ не следует $a+b=c^2$: при возведении в квадрат появляется удвоенное произведение $2\sqrt{ab}$. Сначала уединяют один корень.

Записали $\sqrt{x^2}=x$. Верно только при $x\ge0$. В общем случае $\sqrt{x^2}=|x|$ — про это будет следующий урок.

Решили ОДЗ вместо уравнения. ОДЗ отсеивает не всех посторонних: в уравнении $\sqrt{x+3}=x+1$ оба кандидата лежат в ОДЗ, а корень только один. Условие на знак правой части — отдельное и не менее важное.

Практика

Реши уравнение. Для каждого запиши условие отбора и выполни проверку.

1. $\sqrt{x-3}=4$
2. $\sqrt{2x+1}=3$
3. $\sqrt{x-1}=-3$
4. $\sqrt{x+5}=x-1$
5. $\sqrt{3-x}=x-1$
6. $\sqrt{x+7}=x-5$
7. $\sqrt{x^2-5x}=\sqrt{6}$
8. $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{4x-9}$
9. $x-\sqrt{x}-2=0$
10. $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$
11. $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5$
12. $\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}=3$
13. $\sqrt{x+5}=1-x$. Сравни ход решения и ответ с задачей 4.

Ответы и пояснения

1. Правая часть $4\ge0$, поэтому отбор пройдёт любой кандидат: $x-3=16$, $x=19$. Проверка: $\sqrt{16}=4$.
2. $2x+1=9$, $x=4$. Проверка: $\sqrt{9}=3$.
3. Правая часть отрицательна при любом $x$, поэтому корней нет. Возводить в квадрат не нужно вовсе.
4. Условие $x\ge1$; $x^2-3x-4=0$, кандидаты $-1$ и $4$. Ответ: $x=4$.
5. Условие $x\ge1$; $x^2-x-2=0$, кандидаты $-1$ и $2$. Ответ: $x=2$.
6. Условие $x\ge5$; $x+7=x^2-10x+25$, то есть $x^2-11x+18=0$, $D=121-72=49$, кандидаты $2$ и $9$. Ответ: $x=9$; посторонним оказался меньший.
7. Приравниваем подкоренные выражения: $x^2-5x=6$, то есть $x^2-5x-6=0$, кандидаты $-1$ и $6$. Проверяем знак подкоренного выражения: при $x=-1$ оно равно $6\ge0$, при $x=6$ тоже $6\ge0$. Ответ: $-1$; $6$.
8. $x^2-9=4x-9$, то есть $x^2-4x=0$, кандидаты $0$ и $4$. При $x=0$ подкоренное выражение равно $-9<0$ — посторонний корень. Ответ: $x=4$; обе части равны $\sqrt{7}$.
9. Замена $t=\sqrt{x}\ge0$: $t^2-t-2=0$, $t=2$ (значение $t=-1$ невозможно). Ответ: $x=4$.
10. $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$, $x+5=1+2\sqrt{x}+x$, $\sqrt{x}=2$. Ответ: $x=4$; проверка $3-2=1$.
11. $\sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}$, значит $x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1$, то есть $10\sqrt{x-1}=20$ и $\sqrt{x-1}=2$. Ответ: $x=5$; проверка $3+2=5$.
12. ОДЗ: $2\le x\le6$. Возводим в квадрат: $(x-2)+2\sqrt{(x-2)(6-x)}+(6-x)=9$, то есть $2\sqrt{(x-2)(6-x)}=5$ и $(x-2)(6-x)=\dfrac{25}{4}$. Раскроем: $-x^2+8x-12=6{,}25$, то есть $x^2-8x+18{,}25=0$ и $D=64-73=-9<0$. Ответ: корней нет.
13. Условие отбора $x\le1$; уравнение-следствие то же, что в задаче 4: $x^2-3x-4=0$ с кандидатами $-1$ и $4$. Теперь отсеивается $4$. Ответ: $x=-1$; проверка $\sqrt{4}=2=1-(-1)$. Два уравнения с одинаковым следствием имеют разные корни — всё решает условие отбора.

Итог

• Иррациональное уравнение сводят к рациональному возведением в квадрат — это переход к следствию.
• Схема $\sqrt{f}=g\Leftrightarrow\{g\ge0;\ f=g^2\}$ превращает проверку в часть решения.
• Для $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ следят за подкоренным выражением, а не за знаком правой части.
• Два корня разводят уединением, замена $t=\sqrt{x}$ работает при обязательном условии $t\ge0$.

Мы всё время опирались на то, что $\sqrt{t}\ge0$. У этой неотрицательности есть родной брат — модуль. Из тождества $\sqrt{x^2}=|x|$ вырастает целый класс уравнений, и им занят следующий урок.

← Равносильность и следствие · Дальше: уравнения с модулем →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным