4.3 Шар и сфера

11 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: окружность и круг, теорема Пифагора, цилиндр и конус

Апельсин разрезают ножом — и на срезе всегда получается круг. Не эллипс, не овал, а именно круг, под каким углом ни режь. Это свойство шара кажется очевидным, но именно оно превращает трудные пространственные задачи в простые плоские.

◎ После урока ты сможешь

• различать сферу как поверхность и шар как тело
• находить радиус и площадь сечения шара плоскостью
• определять взаимное расположение плоскости и сферы по расстоянию до центра
• применять формулу площади сферы в прямых и обратных задачах

Прогноз до вычислений

Шар имеет радиус $10$. Плоскость проходит на расстоянии $6$ от центра — то есть «на $60\%$ пути» от центра к краю.

Какую долю от площади большого круга составит площадь этого сечения? Запиши ответ до вычислений: многие называют $40\%$.

Управляемый эксперимент

Двигай секущую плоскость и следи за радиусом круга сечения. Обрати внимание, как быстро круг убывает вблизи полюса и как медленно — вблизи центра.

Лаборатория сечений

Что плоскость высекает из шара

Двигай секущую плоскость и следи за радиусом круга. Во второй вкладке тот же уровень сравнивает полушар с цилиндром, из которого вырезан конус, — это и есть шаг к формуле объёма шара.

d = 3 см

Сечение шараЭтажи Кавальери

Радиус R5 см

−+

От 1 до 12 см; шаг 0,5.

Расстояние до плоскости d3 смПолзунок доходит до R + 1, чтобы увидеть касание и промах; стрелки двигают плоскость на 0,5.

Точная запись и приближение, см

Радиус шара R, см	5
Расстояние d, см	3
Радиус сечения ρ, см	4
Площадь круга сечения, см²	16π ≈ 50,27

◯

Сечение — круг радиуса ρ = 4 см.Площадь круга сечения 16π ≈ 50,27 см², длина окружности сечения 8π ≈ 25,13 см. Чем ближе плоскость к центру, тем больше круг; при d = 0 получается большой круг.

↺ Вернуть пример

Доведи ползунок до $d=R$ и потом дальше: увидишь два особых положения плоскости.

Сфера и шар — разные объекты

∴ Определения

Сфера радиуса $R$ с центром $O$ — множество всех точек пространства, удалённых от $O$ ровно на $R$. Это поверхность: её получает полуокружность при вращении вокруг своего диаметра.

Шар — множество всех точек, удалённых от $O$ не более чем на $R$. Это тело: его получает полукруг при вращении вокруг своего диаметра. Сфера — граница шара.

Большой круг — сечение шара плоскостью, проходящей через центр. Его радиус равен $R$, и большего сечения у шара не бывает.

Поэтому у сферы бывает площадь, а у шара — объём. Словосочетания «объём сферы» и «площадь шара» в строгом тексте не употребляют.

∴ Сечение шара плоскостью

Пусть плоскость удалена от центра на $d$, и пусть $d<R$. Опустим из центра $O$ перпендикуляр $OK$ на плоскость, $OK=d$. Для любой точки $M$ сечения треугольник $OKM$ прямоугольный, значит

$KM=\sqrt{R^2-d^2}.$

Расстояние $KM$ одно и то же для всех точек $M$. Значит, сечение — круг с центром $K$ и радиусом

$\rho=\sqrt{R^2-d^2}, \qquad S_{\text{сеч}}=\pi\rho^2=\pi\left(R^2-d^2\right).$

Формула площади точна всегда, даже когда сам радиус $\rho$ иррационален.

Три случая различаются одним сравнением:

Расстояние	Что общего у плоскости и сферы	Что высекается из шара
$d<R$	окружность радиуса $\sqrt{R^2-d^2}$	круг радиуса $\sqrt{R^2-d^2}$
$d=R$	ровно одна точка	точка
$d>R$	общих точек нет	ничего

∴ Касательная плоскость

Плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной. Она касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра до неё равно $R$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости — это тот же признак, что и у касательной к окружности на плоскости. На этом свойстве держатся все задачи про вписанные шары.

Площадь сферы

Развернуть сферу на плоскость невозможно: любая попытка даёт разрывы или растяжения. Именно поэтому все карты мира искажают либо площади, либо углы, либо расстояния. Формулу площади получают предельным переходом, и результат оказывается неожиданно простым.

∴ Площадь сферы

$S=4\pi R^2.$

Площадь сферы ровно вчетверо больше площади её большого круга $\pi R^2$. Это можно проверить руками: намотай нить на полусферу, а потом уложи ту же нить в спираль на плоскости — она заполнит ровно два больших круга.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

развёртка

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус шара R5 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

⊘

У сферы развёртки нет.Сферу нельзя разложить на плоскость без разрывов и растяжений — именно поэтому карты мира искажают площади. Но площадь сферы ровно вчетверо больше площади большого круга.

↺ Вернуть пример

Сечение по данным R и dРазбираем вместе

Радиус шара $R=13$ см, плоскость удалена от центра на $d=5$ см.

Радиус сечения: $\rho=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ см.

Площадь сечения: $S=\pi\cdot12^2=144\pi\approx452{,}39\text{ см}^2$.

Длина границы сечения: $C=2\pi\cdot12=24\pi\approx75{,}40$ см.

Для сравнения: большой круг того же шара имеет площадь $169\pi$. Сечение отняло у него меньше $15\%$.

Обратная задачаРазбираем вместе

Площадь сечения шара радиуса $5$ равна $16\pi$. На каком расстоянии от центра проходит плоскость?

Из $\pi\rho^2=16\pi$ получаем $\rho=4$. Тогда

$d=\sqrt{R^2-\rho^2}=\sqrt{25-16}=3.$

Проверка: $\pi(R^2-d^2)=\pi(25-9)=16\pi$. Сходится.

Обрати внимание на симметрию формулы: $R$, $d$ и $\rho$ — стороны одного прямоугольного треугольника, где $R$ всегда гипотенуза. Зная любые два, находим третье.

Возвращаемся к прогнозу

$R=10$, $d=6$, значит $\rho=\sqrt{100-36}=8$, а площадь сечения равна $64\pi$. Большой круг имеет площадь $100\pi$.

$\frac{64\pi}{100\pi}=0{,}64=64\%.$

Не $40\%$. Причина в том, что убывает не радиус пропорционально расстоянию, а квадрат радиуса: $\rho^2=R^2-d^2$. Круг сечения держится большим почти до самого края, а потом схлопывается очень быстро.

Проверка понимания

Радиус шара 10, плоскость проходит на расстоянии 6 от центра. Чему равна площадь сечения?

• А. 16π
• Б. 64π
• В. 100π

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Вычитают расстояния вместо квадратов. $\rho=R-d$ — неверно. Верно $\rho^2=R^2-d^2$: работает теорема Пифагора, а не разность отрезков.

Говорят «объём сферы». Сфера — поверхность, у неё есть площадь. Объём есть у шара. В условии ЕГЭ эти слова различают строго.

Считают, что наклонное сечение шара — эллипс. Нет: сечение шара любой плоскостью — круг. Эллипс появляется на рисунке, потому что рисунок — параллельная проекция.

Подставляют диаметр в $S=4\pi R^2$. Если дан $d=12$, то $R=6$ и $S=144\pi$, а не $576\pi$. Ошибка вчетверо.

Лаборатория сечений

Что плоскость высекает из шара

Двигай секущую плоскость и следи за радиусом круга. Во второй вкладке тот же уровень сравнивает полушар с цилиндром, из которого вырезан конус, — это и есть шаг к формуле объёма шара.

d = 6 см

Сечение шараЭтажи Кавальери

Радиус R10 см

−+

От 1 до 12 см; шаг 0,5.

Расстояние до плоскости d6 смПолзунок доходит до R + 1, чтобы увидеть касание и промах; стрелки двигают плоскость на 0,5.

Множитель k, если S = kπПроверить

?

Найди площадь круга сечения и введи множитель при π.Радиус круга равен √(R² − d²), поэтому площадь равна π(R² − d²). Введи число k, если S = kπ.

↺ Вернуть пример

Практика

1. Радиус шара равен $6$. Найди площадь сферы и длину большого круга.
2. Площадь сферы равна $100\pi$. Найди радиус.
3. Радиус шара $25$, плоскость удалена от центра на $7$. Найди радиус и площадь сечения.
4. Радиус шара $10$, площадь сечения равна $36\pi$. Найди расстояние от центра до плоскости.
5. Радиус шара $5$, расстояние от центра до плоскости тоже $5$. Опиши сечение.
6. Радиус шара $9$, расстояние от центра до плоскости $12$. Есть ли у них общие точки?
7. Через центр шара радиуса $8$ проведено сечение. Найди его площадь и длину границы.
8. Радиус Земли приближённо равен $6370$ км. Оцени площадь поверхности планеты, считая её шаром и взяв $\pi\approx3{,}14$.
9. Два параллельных сечения шара радиуса $13$ лежат по одну сторону от центра на расстояниях $5$ и $12$ от него. Найди их радиусы.
10. Все линейные размеры шара увеличили в $3$ раза. Во сколько раз изменилась площадь сферы?

Ответы и пояснения

1. $S=4\pi\cdot36=144\pi\approx452{,}39$; $C=2\pi\cdot6=12\pi\approx37{,}70$.
2. $4\pi R^2=100\pi$, значит $R^2=25$ и $R=5$.
3. $\rho=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$; $S=576\pi\approx1809{,}56$.
4. $\rho=6$; $d=\sqrt{100-36}=8$.
5. $d=R$, поэтому плоскость касательная: общая точка ровно одна, круг вырождается в точку.
6. Нет: $12>9$, плоскость проходит мимо шара.
7. Это большой круг: $S=\pi\cdot64=64\pi\approx201{,}06$; $C=2\pi\cdot8=16\pi\approx50{,}27$.
8. $S\approx4\cdot3{,}14\cdot6370^2=4\cdot3{,}14\cdot40\,576\,900\approx509\,645\,864\approx5{,}1\cdot10^8\text{ км}^2$. Реальное значение около $5{,}1\cdot10^8\text{ км}^2$ — модель шара здесь работает отлично.
9. $\rho_1=\sqrt{169-25}=12$ и $\rho_2=\sqrt{169-144}=5$. Числа $5$, $12$, $13$ поменялись ролями.
10. В $9$ раз: $S=4\pi R^2$ зависит от квадрата радиуса.

Итог

• Сфера — поверхность, шар — тело; полуокружность при вращении даёт первое, полукруг — второе.
• Сечение шара любой плоскостью — круг радиуса $\rho=\sqrt{R^2-d^2}$ и площади $\pi(R^2-d^2)$.
• При $d=R$ плоскость касается сферы, и радиус в точку касания ей перпендикулярен; при $d>R$ общих точек нет.
• Площадь сферы $S=4\pi R^2$ — ровно четыре больших круга.

Осталась последняя величина — объём. У цилиндра он посчитается почти как у призмы, у конуса — как у пирамиды, а вот у шара понадобится приём, который придумал ещё Архимед и переоткрыл Кавальери.

← Конус · Дальше: объёмы →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным