3.3 Геометрическая прогрессия

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: степень с натуральным показателем, свойства степеней, арифметическая прогрессия

Изобретатель шахмат попросил у правителя скромную награду: одно зерно на первую клетку доски, два на вторую, четыре на третью — и так до шестьдесят четвёртой, каждый раз вдвое больше.

Правитель согласился не глядя. Зря: такого количества зерна нет на всей планете. Причина в одном слове — вместо «прибавить» здесь стоит «умножить».

◎ После урока ты сможешь

• распознавать геометрическую прогрессию и находить её знаменатель q
• применять формулу n-го члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹ и решать обратную задачу
• вычислять сумму первых n членов и понимать, откуда берётся формула
• различать возрастающую, убывающую и знакочередующуюся прогрессии по значению q

Прогноз до вычислений

1. Лист бумаги толщиной $0{,}1$ мм сложили пополам $10$ раз. Толщина стопки будет ближе к $1$ см, $10$ см или $1$ м?
2. В прогрессии $3,\;6,\;12,\;\dots$ восьмой член — это $3\cdot2^8$ или $3\cdot2^7$?
3. Что происходит с членами прогрессии, если $q=-2$?

Эксперимент: множитель вместо прибавки

Перейди на вкладку «Геометрическая». Меняй первый член и знаменатель — и смотри, как быстро точки уходят за пределы прежнего масштаба.

Лаборатория последовательностей

Одно правило — вся последовательность

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 3

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Знаменатель q (множитель m) 2

−+

От −4 до 4 без нуля, шаг 0,5

Сколько членов показать 8

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 3, aₙ₊₁ = 2·aₙ + 0.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7	8
aₙ	3	6	12	24	48	96	192	384

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

aₙ

Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2.aₙ = 3·2^(n − 1); сумма первых 8 членов равна 765.

↺ Вернуть пример

Проверь три режима:

• $q>1$ — члены растут, и чем дальше, тем стремительнее; масштаб графика приходится увеличивать;
• $0<q<1$ — члены убывают и прижимаются к оси, но нулём не становятся никогда;
• $q<0$ — знаки чередуются: точки прыгают то выше, то ниже оси.

Сравни с прошлым уроком: там прибавка $d$ давала одинаковые ступеньки, здесь множитель $q$ даёт одинаковые отношения.

Определение и формула n-го члена

∴ Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют последовательность, у которой первый член отличен от нуля и каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q\ne0$:

$b_{n+1}=b_n\cdot q.$

Число $q$ называют знаменателем прогрессии; находят его делением: $q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.

Условия $b_1\ne0$ и $q\ne0$ не придирка: если хоть один член равен нулю, делить на него нельзя и знаменатель теряет смысл.

Разворачивая правило, получаем $b_2=b_1q$, $b_3=b_1q^2$, $b_4=b_1q^3$, и в общем виде

$b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}.$

Показатель равен числу шагов, а шагов от первого члена до $n$-го снова $n-1$ — та же логика, что и в арифметической прогрессии.

✦ Характеристическое свойство

В геометрической прогрессии квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению соседей:

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$

Проверяется в одну строку: $b_{n-1}b_{n+1}=\dfrac{b_n}{q}\cdot b_nq=b_n^2$. Для положительных членов это значит, что $b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$ — среднее геометрическое соседей. Отсюда и название прогрессии.

Сумма первых n членов

Прямое сложение здесь безнадёжно, но есть красивый ход. Запишем сумму и ту же сумму, умноженную на $q$:

$S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\dots+b_1q^{\,n-1},$

$qS_n=\phantom{b_1+{}}b_1q+b_1q^2+\dots+b_1q^{\,n-1}+b_1q^{\,n}.$

Почти все слагаемые совпадают. Вычтем первую строку из второй — уцелеют только два крайних:

$qS_n-S_n=b_1q^{\,n}-b_1,\qquad S_n(q-1)=b_1(q^{\,n}-1).$

∴ Формула суммы

При $q\ne1$

$S_n=\frac{b_1\left(q^{\,n}-1\right)}{q-1}.$

При $q=1$ все члены одинаковы, и сумма считается без всяких формул: $S_n=n\cdot b_1$. Делить на $q-1=0$ в этом случае нельзя.

Теперь легенда считается за одну строку. Зёрна образуют прогрессию с $b_1=1$ и $q=2$, всего $64$ клетки:

$S_{64}=\frac{1\cdot\left(2^{64}-1\right)}{2-1}=2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615.$

Это примерно $18$ квинтиллионов зёрен — больше, чем всё зерно, собранное человечеством за его историю. Причём половина всей кучи лежит на одной последней клетке.

Разобранные примеры

Найти член и сумму по b₁ и qРазбираем вместе

Дано: $b_1=3$, $q=2$. Найдём $b_8$ и $S_8$.

$b_8=3\cdot2^{\,8-1}=3\cdot128=384.$

$S_8=\frac{3\left(2^8-1\right)}{2-1}=3\cdot255=765.$

Проверка сложением: $3+6+12+24+48+96+192+384=765$. Совпало.

Убывающая прогрессия: знаменатель — дробьРазбираем вместе

Дано: $b_1=64$, $q=\dfrac12$. Найдём $b_6$ и $S_6$.

$b_6=64\cdot\left(\frac12\right)^{5}=\frac{64}{32}=2.$

$S_6=\frac{64\left(\left(\frac12\right)^{6}-1\right)}{\frac12-1}=\frac{64\left(\frac1{64}-1\right)}{-\frac12}=\frac{64\cdot\left(-\frac{63}{64}\right)}{-\frac12}=(-63)\cdot(-2)=126.$

Проверка: $64+32+16+8+4+2=126$. Заметь: сумма всё ближе подбирается к $128$, но не достигает его.

Восстановить прогрессию по двум членамРазбираем вместе

Известно, что $b_2=6$ и $b_5=48$. Найдём $q$ и $b_1$.

От второго члена до пятого делается $5-2=3$ шага, каждый умножает на $q$:

$b_5=b_2\cdot q^{3},\qquad q^{3}=\frac{48}{6}=8,\qquad q=2.$

Тогда $b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac62=3$.

Проверка: $3,\;6,\;12,\;24,\;48$ — пятый член действительно $48$.

Принадлежит ли число прогрессииРазбираем вместе

Прогрессия $3,\;6,\;12,\;\dots$ имеет $b_1=3$ и $q=2$, значит $b_n=3\cdot2^{\,n-1}$.

Проверим число $96$:

$3\cdot2^{\,n-1}=96,\qquad 2^{\,n-1}=32=2^5,\qquad n-1=5,\qquad n=6.$

Номер натуральный, поэтому $96=b_6$. А вот число $100$ членом быть не может: $2^{\,n-1}=\dfrac{100}{3}$ — не целое, тем более не степень двойки.

Проверка понимания

В прогрессии b₁ = 3, q = 2. Чему равен b₈?

• А. 384, потому что 3·2⁷ = 384
• Б. 768, потому что 3·2⁸ = 768
• В. 48, потому что 3·2·8 = 48

Проверь себя без таблицы

Видны только первые три члена. Найди последний сам — и обрати внимание, как быстро растут числа.

Лаборатория последовательностей

Угадай следующий член по правилу

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 2

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Знаменатель q (множитель m) 3

−+

От −4 до 4 без нуля, шаг 0,5

Сколько членов показать 7

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3·aₙ + 0.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7
aₙ	2	6	18	?	?	?	?

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

Мой ответ: a7

Проверить

?

Предскажи a7 по трём первым членам.Сначала посмотри, что происходит при переходе от члена к члену: прибавляется одно и то же число или умножается на одно и то же число.

↺ Вернуть пример

! Четыре типичные ошибки

1. Показатель $n$ вместо $n-1$. Проверяй формулу подстановкой $n=1$: должно получиться $b_1\cdot q^0=b_1$.
2. Знак при отрицательном $q$. У прогрессии $1,\;-3,\;9,\;-27,\dots$ члены с нечётными номерами положительны, с чётными — отрицательны. Знак «минус» нельзя терять, но и «убывающей» такую прогрессию называть нельзя: она знакочередующаяся.
3. Формула суммы при $q=1$. Тогда знаменатель $q-1$ обращается в нуль. Отдельный случай надо проверять первым: $S_n=nb_1$.
4. Прогрессия «убывает до нуля». При $0<q<1$ члены становятся сколь угодно малыми, но каждый из них строго положителен. Нуля в геометрической прогрессии не бывает вовсе.

Практика

1. $b_1=2$, $q=3$. Найди $b_6$ и $S_6$.
2. $b_1=5$, $q=-2$. Найди $b_4$.
3. $b_1=1$, $q=-3$. Выпиши пять первых членов и найди $S_5$.
4. $b_1=81$, $q=\dfrac13$. Найди $b_5$ и $S_5$.
5. Найди сумму $1+2+4+\dots+2^9$.
6. В прогрессии $b_2=6$ и $b_5=48$. Найди $b_1$ и $q$.
7. Между числами $2$ и $54$ вставь два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
8. Является ли число $96$ членом прогрессии $3,\;6,\;12,\;\dots$? Если да, назови номер.
9. Найди $b_{10}$ для прогрессии $1024,\;512,\;256,\;\dots$
10. Вклад $25\,000$ ₽ каждый год увеличивается в $1{,}1$ раза. Какая сумма будет через $3$ года?
11. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $21$, а $q=2$. Найди $b_1$.
12. Лист бумаги толщиной $0{,}1$ мм сложили пополам $10$ раз. Какова толщина стопки?

Ответы и пояснения

1. $b_6=2\cdot3^5=2\cdot243=486$; $S_6=\dfrac{2\left(3^6-1\right)}{2}=729-1=728$.
2. $b_4=5\cdot(-2)^3=5\cdot(-8)=-40$.
3. $1,\;-3,\;9,\;-27,\;81$; $S_5=\dfrac{1\left((-3)^5-1\right)}{-3-1}=\dfrac{-243-1}{-4}=61$. Проверка сложением: $1-3+9-27+81=61$.
4. $b_5=81\cdot\left(\dfrac13\right)^4=\dfrac{81}{81}=1$; $S_5=81+27+9+3+1=121$.
5. Это прогрессия с $b_1=1$, $q=2$ и десятью членами: $S_{10}=2^{10}-1=1023$.
6. $q^3=\dfrac{48}{6}=8$, значит $q=2$ и $b_1=\dfrac62=3$.
7. $b_1=2$, $b_4=54$, поэтому $q^3=27$ и $q=3$. Вставляем $6$ и $18$.
8. Да: $3\cdot2^{\,n-1}=96$ даёт $2^{\,n-1}=32$ и $n=6$, то есть $96=b_6$.
9. Здесь $q=\dfrac12$, поэтому $b_{10}=1024\cdot\left(\dfrac12\right)^{9}=\dfrac{1024}{512}=2$.
10. $25\,000\cdot1{,}1^3=25\,000\cdot1{,}331=33\,275$ ₽. Это ровно геометрическая прогрессия со знаменателем $1{,}1$ — подробности в следующем уроке.
11. $b_1\left(1+2+4\right)=7b_1=21$, значит $b_1=3$.
12. $0{,}1\cdot2^{10}=0{,}1\cdot1024=102{,}4$ мм, то есть примерно $10$ см. Двадцать сложений дали бы уже больше ста метров — но реальный лист столько раз не сложить.

Сверимся с прогнозом: стопка получается около $10$ см; восьмой член равен $3\cdot2^7=384$; при $q=-2$ знаки членов чередуются.

Итог

• Геометрическая прогрессия задаётся правилом $b_{n+1}=b_nq$, где $b_1\ne0$ и $q\ne0$.
• $b_n=b_1q^{\,n-1}$ — показатель равен числу шагов, то есть на единицу меньше номера.
• $S_n=\dfrac{b_1\left(q^{\,n}-1\right)}{q-1}$ при $q\ne1$ и $S_n=nb_1$ при $q=1$.
• Значение $q$ полностью задаёт характер: рост при $q>1$, убывание при $0<q<1$, чередование знаков при $q<0$.

Осталось заметить, что банковский вклад, инфляция и рост населения устроены ровно так же: величина каждый период умножается на один и тот же множитель. Об этом — следующий урок.

← Арифметическая прогрессия · Дальше: сложный процент и рост →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным