1.5 Практикум: числа, которые не помещаются в строку

7 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 1.1–1.4

Школьная лаборатория готовит стенд «Масштабы природы»: от толщины волоса до расстояния до Солнца. Данные приходят в разном виде — обыкновенными дробями, десятичными записями с многоточием, длинными числами с нулями. Задача одна: привести всё к сопоставимому виду и не потерять точность по дороге.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать между точной дробью и осознанным округлением
• связывать развёрнутое произведение, степень и свойства степеней
• записывать и сравнивать величины в стандартном виде
• проверять каждый ответ вторым способом и называть условия модели

Станция 1. Точность против удобства

Измерение дало результат $\dfrac{11}{24}$ доли образца. Для отчёта нужна десятичная запись — но какая?

Лаборатория точных вычислений

Дробь, деление и период

Раздели числитель на знаменатель и посмотри, когда деление обрывается, а когда цифры уходят в бесконечный круг.

m : n

Десятичная записьТочность и округление

Числитель m 11

−+

Целое от 1 до 999.

Знаменатель n 24

−+

Целое от 1 до 999; ноль запрещён.

Знаков после запятой 2

−+

От 0 до 6 знаков при округлении.

11 : 24=0,458(3)

Что теряется при округлении

Точное 0,458(3) против округлённого 0,46

Сколько раз сложили	Накопленное расхождение
1	1/600
10	1/60
100	1/6

Одно округление кажется безобидным, но расхождение растёт вместе с числом действий.

=

11/24 = 0,458(3)Округление до 2 знаков даёт 0,46; потеря за одно действие равна 1/600.

↺ Вернуть пример

Округление с паспортомРазбираем вместе

Делим: $11:24=0{,}458333\ldots$, то есть $\dfrac{11}{24}=0{,}458(3)$. Знаменатель $24=2^{3}\cdot3$, тройка не сокращается — период неизбежен.

Округление до сотых даёт $0{,}46$. Точное расхождение:

$\frac{46}{100}-\frac{11}{24}=\frac{276}{600}-\frac{275}{600}=\frac{1}{600}.$

В отчёте это записывают так: $\dfrac{11}{24}\approx0{,}46$, погрешность меньше $0{,}002$. Число без такой пометки проверить невозможно.

Станция 2. Свойства вместо вычислений

Нужно упростить $\left(3^{2}\right)^{3}:3^{4}$. Считать $3^{6}=729$ необязательно — достаточно посчитать множители.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

ПроизведениеЧастноеСтепень степени

Внутренний показатель m 2

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Внешний показатель n 3

−+

Натуральное число от 1 до 8.

Основание для проверки 3

−+

На этом числе свойство проверяется точным вычислением.

(3²)³=3⁶

Проверка на числе

Оба пути дают 729

Каждая из n скобок содержит m множителей, поэтому показатели перемножаются. Прямое действие над значениями степеней даёт 729, вычисление по свойству — 729.

=

Показатель результата равен 6.Каждая из n скобок содержит m множителей, поэтому показатели перемножаются.

↺ Вернуть пример

Сначала степень степени: $\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}$. Затем частное: $3^{6}:3^{4}=3^{2}=9$. Проверка прямым счётом: $729:81=9$. Совпало.

Станция 3. Порядок величины

Радиус Земли — $6\,380\,000$ м. Для стенда нужен стандартный вид и порядок числа.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

Число

Например 149600000, 5720 или 0,00042.

Моя мантисса a, где 1 ≤ a < 10

Мой показатель 0

−+

Показатель степени десятки.

Проверить

6380000=?

Порядок числа

Порядок равен 6

Мантисса лежит между 1 и 10, а показатель показывает, сколько раз число содержит десятку как множитель.

=

Запиши число в стандартном виде и нажми «Проверить».Стандартный вид сравнивает числа по порядку: сначала смотрим на показатель, и только потом на мантиссу.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом на стенде запиши: что оно измеряет, точное оно или приближённое, в какой единице получено и какое условие модели использовано. Число без паспорта нельзя ни проверить, ни сравнить с чужим.

Проверка понимания

Расстояние до Солнца равно 1,496 · 10⁸ км, а диаметр Земли — 1,28 · 10⁴ км. Какое сравнение верно?

• А. Числа почти равны: мантиссы 1,496 и 1,28 отличаются совсем немного
• Б. Числа сравнить нельзя, пока обе записи не переведены в обычную форму
• В. Расстояние до Солнца больше, потому что его порядок 8 больше порядка 4

Итоговый набор задач

1. Запиши $\dfrac{7}{16}$ десятичной дробью и объясни, почему запись конечна.
2. Запиши $\dfrac{4}{11}$ в виде периодической дроби.
3. Вычисли точно: $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{8}$.
4. Округли результат задачи 3 до сотых и найди точное расхождение.
5. Вычисли $(-2)^{6}$ и $-2^{6}$.
6. Найди значение $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}$.
7. Упрости: $a^{5}\cdot a^{3}:a^{6}$.
8. Вычисли: $\left(3^{2}\right)^{3}:3^{4}$.
9. Запиши в стандартном виде радиус Земли $6\,380\,000$ м.
10. Вычисли $(2{,}5\cdot10^{5})\cdot(4\cdot10^{3})$ и запиши ответ в стандартном виде.
11. Что больше: $2^{15}$ или $10^{4}$?
12. Бактерия делится каждые полчаса. Сколько бактерий получится из одной за $5$ часов? Запиши ответ степенью и числом.

Ответы, проверки и условия моделей

1. $16=2^{4}$ — только двойки, поэтому запись конечна: $\dfrac{7}{16}=0{,}4375$. Проверка: $\dfrac{4375}{10\,000}=\dfrac{7}{16}$.
2. $\dfrac{4}{11}=0{,}(36)$: остатки при делении идут $4\to7\to4$, поэтому пара цифр $36$ повторяется.
3. Общий знаменатель $24$: $\dfrac{20}{24}-\dfrac{9}{24}=\dfrac{11}{24}$.
4. $\dfrac{11}{24}=0{,}458(3)\approx0{,}46$; расхождение $\dfrac{276}{600}-\dfrac{275}{600}=\dfrac{1}{600}$.
5. $(-2)^{6}=64$ — показатель чётный; $-2^{6}=-64$ — минус не входит в основание.
6. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}=\dfrac{1}{81}$.
7. $a^{5+3-6}=a^{2}$ (при $a\ne0$).
8. $\left(3^{2}\right)^{3}:3^{4}=3^{6}:3^{4}=3^{2}=9$. Проверка: $729:81=9$.
9. $6\,380\,000=6{,}38\cdot10^{6}$ м; порядок равен $6$.
10. $(2{,}5\cdot4)\cdot10^{5+3}=10\cdot10^{8}=10^{9}$, то есть $1\cdot10^{9}$.
11. $2^{15}=32\,768$, а $10^{4}=10\,000$; больше $2^{15}$.
12. За $5$ часов проходит $10$ делений: $2^{10}=1024$ бактерии. Модель предполагает, что делятся все клетки, никто не погибает и питания хватает.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ был точным, а где потребовалось округление? Как ты пометил приближение?
2. Какую задачу удалось проверить двумя независимыми способами?
3. Где модель заведомо расходится с реальностью — и почему ответ всё равно полезен?

Возможные ответы: точны все задачи с дробями и степенями, приближение появилось только в задачах 4 и в станции 1; задачу 8 проверяют и по свойствам, и прямым делением $729:81$; модель размножения бактерий не учитывает нехватку питания и гибель клеток, но даёт верхнюю оценку роста.

✦ Мост дальше

Степень с натуральным показателем — только начало. Скоро показатель станет целым и появятся записи вроде $10^{-5}$, потом степени встретятся в формулах сокращённого умножения и в многочленах, а стандартный вид станет рабочим языком физики и химии.

Главное, что стоит унести из этой главы: точная запись и приближённая — разные объекты, а короткая запись вроде $a^{n}$ или $a\cdot10^{n}$ придумана не ради красоты, а чтобы с числом можно было работать руками.

← Стандартный вид числа · К обзору 7 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным