4.1 Определения, аксиомы и первые теоремы

7 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: виды углов, транспортир, развёрнутый угол

Две прямые пересеклись. Ты измерил один из четырёх углов — получилось $63°$. Одноклассник измерил противоположный ему угол и получил $62°$. Кто ошибся с транспортиром?

Вопрос поставлен неправильно. Пока мы измеряем, мы никогда не узнаем, равны углы точно или отличаются на одну сотую градуса. Нужно рассуждение, которое не зависит от прибора.

◎ После урока ты сможешь

• различать определение, аксиому и теорему
• записывать доказательство по схеме «дано — доказать — доказательство»
• доказывать и применять теорему о сумме смежных углов
• доказывать и применять теорему о равенстве вертикальных углов

Прогноз до вычислений

Прямые пересекаются, один из углов равен $63°$. Ответь, не измеряя:

1. Чему равен угол, соседний с ним по прямой?
2. Чему равен угол, противоположный ему?
3. Изменятся ли твои ответы, если наклонить одну из прямых?

Запиши ответы — в конце урока сравнишь их с доказанными утверждениями.

Управляемый эксперимент

Все четыре угла на чертеже ниже вычислены из одного числа, а не нарисованы приблизительно. Меняй наклон и следи за тем, что остаётся неизменным.

Лаборатория доказательств

Углы, которые нельзя нарисовать неправильно

Все величины на чертеже вычислены из одного угла — проверь, что теоремы выполняются при любом наклоне.

исследование

Две пересекающиеся прямыеПараллельные прямые и секущая

Угол 1 между прямыми63°

−+

От 15° до 165°, шаг кнопок 5°

∠

∠1 = ∠3 = 63°, ∠2 = ∠4 = 117°.Меняй угол: равенство вертикальных и сумма смежных 180° сохраняются при любом наклоне — это и есть теоремы.

↺ Вернуть пример

Наблюдение повторяется при любом наклоне. Но наблюдение — ещё не теорема: чертежей бесконечно много, а мы проверили несколько. Докажем.

С чего начинается геометрия

Определить каждое слово невозможно: любое определение опирается на другие слова. Поэтому в геометрии есть неопределяемые понятия — точка, прямая, «лежать между», «наложение». Их смысл задают аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства.

Нам понадобятся четыре аксиомы.

∴ Аксиомы, на которые мы опираемся

A1. Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.

A2. Каждый отрезок имеет длину, каждый угол — градусную меру, выраженную положительным числом.

A3. Развёрнутый угол равен $180°$.

A4. Если луч исходит из вершины угла и проходит между его сторонами, то он разбивает угол на два угла, сумма которых равна исходному.

Дальше начинается работа: из этих утверждений выводятся теоремы. Вывод называется доказательством, и записывать его удобно по одной схеме.

◆ Схема доказательства

Дано — что известно по условию. Доказать — что требуется получить. Доказательство — цепочка шагов, где каждый шаг ссылается на определение, аксиому или ранее доказанную теорему. Конец отмечают знаком $\blacksquare$.

Смежные углы

∴ Определение

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны — дополнительные лучи, то есть вместе составляют прямую.

Слово «соседние» тут не подходит. Углы могут иметь общую сторону и при этом не быть смежными: если внешние стороны не образуют прямую, определение не выполнено.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна $180°$.

Дано: точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, причём $O$ между $A$ и $B$; луч $OC$ исходит из точки $O$.

Доказать: $\angle AOC + \angle COB = 180°$.

Доказательство. Лучи $OA$ и $OB$ — дополнительные, поэтому $\angle AOB$ развёрнутый и по аксиоме A3 равен $180°$. Луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB$, значит по аксиоме A4

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180°. \qquad \blacksquare$

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, — прямой: $180°-90°=90°$.

Следствие 2. Угол, смежный с острым, — тупой, и наоборот. Действительно, если $\alpha < 90°$, то $180°-\alpha > 90°$.

Вертикальные углы

∴ Определение

Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами к сторонам другого. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

Слово «вертикальные» не связано с вертикалью на листе. Пара вертикальных углов может лежать как угодно — важно только их взаимное расположение.

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Дано: прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$; $\angle 1 = \angle AOC$ и $\angle 3 = \angle BOD$ — вертикальные, $\angle 2 = \angle COB$.

Доказать: $\angle 1 = \angle 3$.

Доказательство. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, поэтому по теореме 1

$\angle 1 + \angle 2 = 180°, \qquad \text{откуда}\quad \angle 1 = 180° - \angle 2.$

Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ тоже смежные, поэтому

$\angle 3 + \angle 2 = 180°, \qquad \text{откуда}\quad \angle 3 = 180° - \angle 2.$

Оба угла равны одному и тому же числу $180°-\angle 2$, значит $\angle 1 = \angle 3$. $\blacksquare$

Обрати внимание: в доказательстве нет ни одного измерения. Мы ни разу не посмотрели на чертёж — только сослались на теорему 1, которая, в свою очередь, опирается на аксиомы.

Четыре угла по одномуРазбираем вместе

Один из углов, полученных при пересечении двух прямых, равен $118°$. Найдём остальные три.

Смежный с ним угол по теореме 1 равен

$180° - 118° = 62°.$

Вертикальный ему угол по теореме 2 равен $118°$, а вертикальный второму — $62°$.

Проверка: вокруг точки пересечения четыре угла, и

$118° + 62° + 118° + 62° = 360°.$

Полный оборот — ровно то, что и должно получиться.

Углы заданы разностьюРазбираем вместе

Разность двух смежных углов равна $40°$. Найдём каждый угол.

Пусть больший угол равен $x$, тогда меньший равен $x-40°$. По теореме 1

$x + (x - 40°) = 180°, \qquad 2x = 220°, \qquad x = 110°.$

Меньший угол равен $110° - 40° = 70°$.

Проверка: $110° + 70° = 180°$ и $110° - 70° = 40°$. Оба условия выполнены.

Проверка понимания

Один из углов при пересечении двух прямых равен 35°. Каким может быть набор остальных трёх углов?

• А. 35°, 35°, 35°
• Б. 145°, 35°, 145°
• В. 55°, 35°, 55°

! Три ловушки

«На чертеже видно, что углы равны». Видно — не аргумент. Чертёж всегда неточен и всегда изображает один частный случай.

«Углы рядом — значит смежные». Смежные углы обязаны в сумме давать развёрнутый. Два угла с общей стороной внутри развёрнутого угла смежными не являются.

«Смежные углы дополняют до $90°$». До $90°$ дополняют друг друга дополнительные острые углы, а смежные — до $180°$.

Практика

1. Один из смежных углов равен $47°$. Найди второй.
2. Смежные углы равны между собой. Найди каждый из них.
3. Один из смежных углов в $4$ раза больше другого. Найди оба.
4. Разность смежных углов равна $26°$. Найди эти углы.
5. При пересечении двух прямых один из углов равен $74°$. Найди остальные три.
6. Сумма трёх из четырёх углов, полученных при пересечении двух прямых, равна $250°$. Найди все четыре угла.
7. Сумма двух вертикальных углов равна $100°$. Найди все четыре угла при точке пересечения.
8. Могут ли оба смежных угла быть острыми? А оба тупыми? Ответ обоснуй.
9. Верно ли утверждение: «если два угла равны, то они вертикальные»? Приведи контрпример.
10. Докажи, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.

Ответы и пояснения

1. $180° - 47° = 133°$.
2. $x + x = 180°$, значит $x = 90°$: оба угла прямые.
3. $x + 4x = 180°$, $x = 36°$; углы $36°$ и $144°$.
4. $x + (x - 26°) = 180°$, $x = 103°$; углы $103°$ и $77°$.
5. Смежные: $180° - 74° = 106°$. Значит углы равны $74°$, $106°$, $74°$, $106°$.
6. Все четыре угла дают $360°$, поэтому четвёртый равен $360° - 250° = 110°$. Смежный с ним равен $70°$, набор углов: $110°$, $70°$, $110°$, $70°$. Проверка: $70° + 110° + 70° = 250°$.
7. Вертикальные углы равны, поэтому каждый из них равен $100° : 2 = 50°$. Смежные с ними равны $130°$. Набор: $50°$, $130°$, $50°$, $130°$.
8. Нет и нет. Два острых угла дают меньше $180°$, два тупых — больше $180°$, а смежные обязаны давать ровно $180°$.
9. Неверно. Например, два прямых угла у разных перекрёстков на чертеже равны, но вертикальными не являются: у них нет общей вершины.
10. Пусть смежные углы равны $\alpha$ и $\beta$, тогда $\alpha + \beta = 180°$. Биссектрисы отсекают половины, и угол между ними равен $\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{\alpha+\beta}{2} = 90°$.

Итог

• Определение вводит слово, аксиома принимается без доказательства, теорема выводится из них.
• Теорема 1: сумма смежных углов равна $180°$ — следует из аксиом A3 и A4.
• Теорема 2: вертикальные углы равны — следует из теоремы 1, а не из измерений.
• В доказательстве каждый шаг ссылается на то, что уже установлено раньше.

Теперь у нас есть два рабочих инструмента. В следующем уроке они понадобятся в самом частом сюжете планиметрии — равенстве треугольников.

← Вход в тему · Дальше: признаки равенства треугольников →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным