5.5. Подобные слагаемые

6 класс · Буквы и формулы◷ 40–50 минут◇ Углубление · мост к 7 классуНужно знать: распределительное свойство и сложение чисел со знаком

В кладовой лежат $3$ коробки одного типа и ещё $5$ таких же коробок. Если в каждой по $x$ предметов, всего

$3x+5x=(3+5)x=8x.$

Если добавить $2$ коробки другого типа, по $y$ предметов в каждой, общее число предметов запишется как $3x+2y$. Сложить эти количества можно, но превратить сумму в одно произведение с общей буквенной частью нельзя, пока не известна связь между $x$ и $y$. Сначала нужно рассортировать слагаемые по буквенной части.

◎ После урока ты сможешь

• находить коэффициент и буквенную часть слагаемого
• распознавать подобные и неподобные слагаемые
• приводить подобные слагаемые и проверять результат подстановкой

Сортировка перед сложением

В лаборатории собраны слагаемые $3x$, $-2y$, $-5x$, $4$, $7y$ и $-1$. Сначала сгруппируй одинаковые буквенные части, затем сложи их числовые коэффициенты.

Лаборатория подобных слагаемых

Сначала разложить по группам, затем сложить коэффициенты

Буквенная часть — ярлык группы. Числа без букв образуют отдельную группу.

6 слагаемых

РазложитьПривести

3x− 2y− 5x+ 4+ 7y− 1

x0y0Числа0

Выбрана группа

Слагаемые с x

В этой группе пока нет разложенных слагаемых.

0

Выбери карточку, затем укажи для неё группу.Разложено 0 из 6. Одинаковая буква означает одинаковую буквенную часть.

↺ Вернуть пример

Получаем три группы:

$3x-5x=-2x,$

$-2y+7y=5y,$

$4-1=3.$

Поэтому исходная сумма упрощается до $-2x+5y+3$. При $x=2$, $y=-1$ обе записи равны $-6$.

∴ Подобные слагаемые

Слагаемые называют подобными, если у них одинаковая буквенная часть. Чтобы привести подобные слагаемые, сложи их коэффициенты, а буквенную часть сохрани:

$ax+bx=(a+b)x.$

Коэффициент показывает количество

В слагаемом $7a$ число $7$ — коэффициент, а $a$ — буквенная часть. У $-a$ коэффициент равен $-1$, потому что $-a=-1\cdot a$. У $a$ коэффициент равен $1$.

Числа без букв тоже подобны друг другу: $8-3=5$. Их иногда называют постоянными слагаемыми.

Упростим 6a − 4 + 3a + 9Разбираем вместе

Сгруппируем слагаемые одного вида:

$6a+3a=9a,$

$-4+9=5.$

Значит,

$6a-4+3a+9=9a+5.$

При $a=-2$ исходная запись даёт $-12-4-6+9=-13$, а короткая — $-18+5=-13$.

Проверка понимания

Упрости 4a − 7 − 2a + 3.

• А. 2a − 4
• Б. 2a − 10
• В. 5a − 4

Почему $x$ и $y$ не объединяются

Если $x=2$, а $y=10$, то $3x+4y=6+40=46$. Запись $7x$ дала бы $14$, а $7y$ — $70$. Без условия $x=y$ заменить сумму одним из них нельзя.

То же относится к $x$ и $x^2=x\cdot x$: у них разные буквенные части. При $x=0$ или $x=1$ их числовые значения случайно совпадают, но слагаемые от этого не становятся подобными; при $x=3$ различие видно сразу: получаются $3$ и $9$.

! Складываются коэффициенты, не буквы

$2x+3x=5x$, а не $5x^2$. Мы складываем две группы одинаковых объектов; степень появилась бы при умножении $x\cdot x$.

Сначала скобки, потом подобные

Иногда нужен предыдущий закон:

$2(x+3)+5x=2x+6+5x=7x+6.$

Порядок рассуждения важен: раскрываем скобки, затем группируем только действительно подобные слагаемые.

Практика

1. Назови коэффициент в $-7x$.
2. Какие слагаемые подобны: $3a$, $-2b$, $5a$, $4$, $-a$, $9$?
3. Упрости $8x+3x$.
4. Упрости $7y-10y$.
5. Упрости $4a+6-2a+5$.
6. Упрости $3x-2y+5x+7y$.
7. Упрости $-m+4m-3$.
8. Упрости $2(p+4)+3p$.
9. Можно ли упростить $5x+2$ до $7x$? Обоснуй подстановкой $x=1$ и $x=2$.
10. Проверь при $a=-3$ равенство $6a-2a+5=4a+5$.
11. Составь выражение с тремя слагаемыми, которое упрощается до $2x+4$.
12. Периметр фигуры сложился из отрезков $3a$, $2$, $a$, $5$ и $2a$. Упрости запись.

Ответы и пояснения

1. $-7$.
2. $3a$, $5a$ и $-a$ подобны; $4$ и $9$ подобны; $-2b$ остаётся отдельно.
3. $11x$.
4. $-3y$.
5. $2a+11$.
6. $8x+5y$.
7. $3m-3$.
8. $2p+8+3p=5p+8$.
9. Нет. При $x=1$: $7=7$, совпадение случайно; при $x=2$: $12\ne14$.
10. Слева $-18+6+5=-7$, справа $-12+5=-7$.
11. Например, $5x-3x+4$.
12. $3a+a+2a+2+5=6a+7$.

Итог

• Подобие определяется одинаковой буквенной частью, а не похожим звучанием задачи.
• При сложении подобных слагаемых меняются коэффициенты, буквенная часть сохраняется.
• Упрощённая запись должна давать тот же результат при всех допустимых значениях букв.

Теперь используем короткие выражения не ради самих символов, а как формулы реальных моделей.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным