3.5 Практикум: аудит решений

10 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 3.1–3.4

Проверять чужое решение труднее, чем писать своё: нельзя опереться на то, «как я привык». Приходится задавать каждому шагу один и тот же вопрос — это равносильный переход или следствие?

Сегодня мы работаем как аудиторы. Четыре станции, на каждой — решение, ответ и подпись. Часть из них верна. Часть выглядит безупречно и содержит ровно одну потерю.

◎ После урока ты сможешь

• находить в готовом решении место, где потерялась равносильность
• выбирать между переходом к системе и проверкой подстановкой
• решать смешанные уравнения с корнем и модулем до конца, включая отбор
• записывать ответ множеством и обосновывать его на языке логики

Станция 1. Где потерялась равносильность

Перед тобой четыре шага. Отметь для каждого, равносильный он или это переход к следствию.

1. Из $2x+6=0$ получили $x+3=0$.
2. Из $\dfrac{x^2-4}{x-2}=5$ получили $x+2=5$.
3. Из $\sqrt{x-1}=x-3$ получили $x-1=(x-3)^2$.
4. Из $x^2=7x$ получили $x=7$.

Проверка станции 1

1. Равносильный: обе части разделили на число $2\ne0$.
2. Переход к следствию, а точнее — потеря запрета. Сокращение верно только при $x\ne2$; сам ответ $x=3$ от этого не пострадал, но запрет обязан остаться в записи.
3. Переход к следствию: возведение в квадрат. Появится кандидат $x=2$, который корнем не является.
4. Здесь потеря: обе части разделили на $x$, и корень $x=0$ исчез. Правильно: $x(x-7)=0$.

Станция 2. Иррациональное уравнение

Оцени число корней по рисунку, а потом сверься с таблицей отбора.

Лаборатория равносильности

Где именно квадрат добавляет лишний корень

Две картинки описывают два разных уравнения. Обе честные: точки вычислены по формулам. Переключай вид и смотри, в какой момент общих точек становится больше.

√(x + 7) = x − 5

√(x − 1) = 3√(x + 3) = x + 1√(2x + 3) = x√(x + 7) = x − 5√(x + 5) = 1 − x√(x² − 3x) = 2√(x² − 4) = √(3x)

Исходное уравнениеПосле возведения в квадрат

√(x + 7) = x − 5

Сколько корней у исходного уравнения

Проверить

?

Сколько корней у уравнения √(x + 7) = x − 5?Сравни две картинки, впиши число корней исходного уравнения и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Паспорт решения иррационального уравненияРазбираем вместе

Оформляй так, чтобы аудитору было нечего искать:

1. ОДЗ — что должно быть неотрицательным и что не должно быть нулём.
2. Условие отбора — знак правой части, выписанный до вычислений.
3. Следствие — уравнение после возведения в квадрат и его корни-кандидаты.
4. Отбор — какой кандидат и по какой причине вычеркнут.
5. Проверка — подстановка оставшихся корней в исходное уравнение.

Пример: $\sqrt{x+7}=x-5$. ОДЗ $x\ge-7$; условие отбора $x\ge5$; следствие $x^2-11x+18=0$ с кандидатами $2$ и $9$; кандидат $2$ вычеркнут условием отбора; проверка $\sqrt{16}=4=9-5$. Ответ: $x=9$.

Станция 3. Модуль

Здесь важно не число, а форма ответа: иногда это одно значение, иногда четыре, а иногда целый промежуток.

Лаборатория модуля

Модуль: два случая и одна картинка

График модуля никогда не опускается ниже оси. Поэтому там, где вторая линия ушла вниз, общих точек быть не может — и кандидат оттуда обязательно окажется посторонним.

|x² − 5| = 4

|x − 2| = 3|x − 1| = 2x − 4|2x + 1| = x + 4|x − 3| = x − 5|x² − 5| = 4|x + 2| = |2x − 1|

|x² − 5| = 4

Сколько корней у уравнения

Проверить

?

Сколько общих точек у линий уравнения |x² − 5| = 4?Галочка модуля лежит выше оси всегда. Посмотри, где её пересекает вторая линия, и впиши число корней.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с ответом запиши: какое множество получилось, каким преобразованием ты пользовался, где стоял знак $\Rightarrow$, а где $\Leftrightarrow$, и как ты проверил результат. Ответ без такого паспорта нельзя проверить — ни другому человеку, ни себе через неделю.

Станция 4. Логика формулировок

Переведи на язык кванторов и множеств и найди верное утверждение.

Проверка понимания

Решая √(x + 1) = x − 1, ученик записал: «ОДЗ: x ≥ −1. После квадрата x² − 3x = 0, корни 0 и 3. Оба лежат в ОДЗ, значит ответ 0 и 3». Где ошибка?

• А. Ошибки нет, ответ верный
• Б. Неверно найдено ОДЗ
• В. ОДЗ проверено, а условие x − 1 ≥ 0 — нет

Итоговый набор задач

Реши и запиши ответ множеством. Для каждого уравнения с корнем или модулем укажи условие отбора.

1. $\sqrt{2x+7}=x+2$
2. $\sqrt{x+4}=x-2$
3. $\sqrt{x^2+3x}=2$
4. $\sqrt{x^2-16}=\sqrt{6x}$
5. $x-3\sqrt{x}+2=0$
6. $\sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1$
7. $|2x+5|=7$
8. $|x-4|=2x-5$
9. $|x+2|=|3x-4|$
10. $|x-2|+|x+1|=7$
11. $|x^2-3|=1$
12. $\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}=0$
13. Найди ошибку: «$\sqrt{x-1}=x-3$; после квадрата $x^2-7x+10=0$; корни $2$ и $5$; ответ: $2$ и $5$».
14. Аня решила $x^2=5x$, разделив обе части на $x$, и получила $x=5$. Что она потеряла и как надо было?
15. Сформулируй отрицание утверждения «каждый кандидат, полученный после возведения в квадрат, является корнем».
16. Опровергни контрпримером: «если после возведения в квадрат получилось два кандидата, то один из них обязательно посторонний».
17. Запиши множеством ответ уравнения $|x-2|=x-2$.
18. Верно ли: если уравнение $B$ — следствие уравнения $A$, то каждый корень $A$ является корнем $B$? А наоборот?

Ответы, разборы и проверки

1. Условие отбора $x\ge-2$. Следствие: $2x+7=x^2+4x+4$, то есть $x^2+2x-3=0$, $D=16$, кандидаты $1$ и $-3$. Кандидат $-3$ не проходит отбор. Проверка: $\sqrt{9}=3=1+2$. Ответ: $\{1\}$.
2. Условие $x\ge2$. $x+4=x^2-4x+4$, то есть $x^2-5x=0$, кандидаты $0$ и $5$. Проверка: $\sqrt{9}=3=5-2$. Ответ: $\{5\}$.
3. Правая часть равна $2\ge0$, отбор пропускает всех. $x^2+3x=4$, то есть $x^2+3x-4=0$, корни $-4$ и $1$. Проверка при $x=-4$: $16-12=4$, $\sqrt{4}=2$. Ответ: $\{-4;\,1\}$.
4. Приравниваем подкоренные выражения: $x^2-16=6x$, то есть $x^2-6x-16=0$, $D=100$, кандидаты $8$ и $-2$. При $x=-2$ левое подкоренное выражение равно $-12<0$ — посторонний корень. При $x=8$ обе части равны $\sqrt{48}$. Ответ: $\{8\}$.
5. Замена $t=\sqrt{x}\ge0$: $t^2-3t+2=0$, $t=1$ и $t=2$, оба неотрицательны. Ответ: $\{1;\,4\}$; проверка $1-3+2=0$ и $4-6+2=0$.
6. $\sqrt{x+9}=1+\sqrt{x}$, значит $x+9=1+2\sqrt{x}+x$, то есть $\sqrt{x}=4$. Ответ: $\{16\}$; проверка $5-4=1$.
7. $2x+5=7$ даёт $x=1$; $2x+5=-7$ даёт $x=-6$. Ответ: $\{-6;\,1\}$.
8. Условие $2x-5\ge0$, то есть $x\ge2{,}5$. Варианты: $x-4=2x-5$ даёт $x=1$ — не проходит отбор; $x-4=-(2x-5)$ даёт $3x=9$ и $x=3$. Проверка: $|3-4|=1=2\cdot3-5$. Ответ: $\{3\}$.
9. Условия на знак не нужно. $x+2=3x-4$ даёт $x=3$; $x+2=-(3x-4)$ даёт $4x=2$ и $x=0{,}5$. Проверка: $|5|=|5|$ и $|2{,}5|=|-2{,}5|$. Ответ: $\left\{\dfrac{1}{2};\,3\right\}$.
10. Точки перелома $-1$ и $2$. При $x<-1$: $-(x-2)-(x+1)=-2x+1=7$, откуда $x=-3$ — подходит. При $-1\le x<2$: $-(x-2)+(x+1)=3\ne7$ — корней нет. При $x\ge2$: $(x-2)+(x+1)=2x-1=7$, откуда $x=4$ — подходит. Ответ: $\{-3;\,4\}$.
11. $x^2-3=1$ даёт $x^2=4$ и $x=\pm2$; $x^2-3=-1$ даёт $x^2=2$ и $x=\pm\sqrt{2}$. Ответ: $\{-2;\,-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,2\}$.
12. ОДЗ: $x\ge-3$ и $x\ne2$. Дробь равна нулю, когда числитель нулевой: $\sqrt{x+3}=0$, то есть $x=-3$ — значение допустимо. Ответ: $\{-3\}$.
13. Пропущен отбор. Условие $x-3\ge0$ означает $x\ge3$, поэтому кандидат $x=2$ посторонний: $\sqrt{1}=1$, а $2-3=-1$. Верный ответ: $\{5\}$.
14. Потерян корень $x=0$: делить обе части на выражение с переменной нельзя. Надо было перенести всё в одну часть: $x^2-5x=0$, то есть $x(x-5)=0$. Ответ: $\{0;\,5\}$.
15. «Существует кандидат, полученный после возведения в квадрат, который корнем не является».
16. Контрпример: $\sqrt{x^2-3x}=2$. Кандидаты $-1$ и $4$, и оба — настоящие корни: при $x=-1$ подкоренное выражение равно $4$, при $x=4$ тоже $4$.
17. Равенство $|t|=t$ верно ровно при $t\ge0$, поэтому $x-2\ge0$. Ответ: $[2;+\infty)$.
18. Первое верно — это и есть определение следствия. Обратное неверно: у $B$ могут быть свои корни, посторонние для $A$. Например, $x=3$ и $x^2=9$.

Рефлексия проекта

1. В каком из решённых уравнений условие отбора совпало со здравым смыслом задачи, а в каком работало только формально?
2. Какое уравнение ты решил двумя способами и получил одинаковый ответ? Что дал второй способ, кроме уверенности?
3. Где по дороге стоял знак $\Rightarrow$, и что стало платой за него?
4. Какой ответ оказался не числом, а множеством? Как ты его записал?

Возможные ответы: в задаче про лестницу отбор совпал со смыслом (расстояние неотрицательно), а в уравнении $|x-4|=2x-5$ — нет, там условие чисто математическое; уравнение с модулем решается и по определению, и через систему, и второй способ показывает, какое условие где спрятано; знак $\Rightarrow$ стоял после каждого возведения в квадрат, платой была обязательная проверка; ответы $[2;+\infty)$ и $\{-2;-\sqrt{2};\sqrt{2};2\}$ числом не являются.

✦ Мост дальше

Схема «следствие плюс отбор» не заканчивается на корнях и модуле. Точно так же устроены показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения с отбором корней на промежутке и любые задачи с параметром. Меняется только вид функции — не меняется вопрос: сохранилось множество корней или расширилось?

А язык множеств и кванторов дальше становится рабочим языком математического анализа: и определение предела, и определение непрерывности записываются именно через $\forall$ и $\exists$.

← Множества и логика · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным