Векторы в пространстве

11 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: векторы на плоскости, скалярное произведение, аксиомы стереометрии, перпендикуляр и наклонная

В 10 классе почти каждая пространственная задача решалась одинаково: найти нужный прямоугольный треугольник, доказать, что какой-то угол прямой, и только потом считать. Способ честный, но хрупкий — стоит фигуре стать чуть сложнее, и нужный треугольник уже не находится.

Эта глава даёт второй способ. Поставь начало координат в удобную вершину, выпиши координаты точек — и все расстояния и углы посчитаются по формулам. Ни одного вспомогательного построения, ни одной ссылки на «видно из чертежа».

◎ После урока ты сможешь

• задавать точки пространства координатами и находить расстояния между ними
• выполнять действия с векторами в координатах и раскладывать вектор по базису
• вычислять скалярное произведение и находить углы между векторами и прямыми
• составлять уравнение плоскости и находить расстояния и углы координатным методом

✦ Почему координаты сильнее чертежа

Пространственная фигура на листе изображается параллельной проекцией: прямой угол может выглядеть тупым, а равные отрезки — разными. Координаты этой болезнью не страдают. Число $\vec a\cdot\vec b$ не зависит от того, под каким углом ты смотришь на куб, — и потому служит доказательством, а рисунок остаётся только подсказкой.

Входная диагностика

Ответь по памяти, длинных вычислений здесь не нужно.

1. Как найти координаты вектора $\vec{AB}$, если известны координаты точек $A$ и $B$?
2. Чему равна длина вектора $\vec a(3;-4)$ на плоскости?
3. Как по координатам проверить, что два вектора плоскости перпендикулярны?
4. Чему равна диагональ квадрата со стороной $6$?
5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ — какова её длина?
6. Какой отрезок задаёт расстояние от точки до плоскости?
7. Как измеряют угол между прямой и плоскостью?
8. В каких пределах лежит угол между двумя прямыми?

Ответы для самопроверки

1. Из координат конца вычитают координаты начала.
2. $\sqrt{9+16}=5$.
3. Скалярное произведение равно нулю: $x_1x_2+y_1y_2=0$.
4. $6\sqrt2\approx8{,}49$.
5. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
6. Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.
7. Как угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
8. От $0°$ до $90°$.

Если пункты 1–3 вызвали заминку, вернись к векторам и скалярному произведению 9 класса: в пространстве изменится только количество координат.

Договорённости главы

• Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом $O$ и общей единицей длины.
• Точку записываем $M(x;y;z)$, вектор — $\vec a(x;y;z)$; координаты разделяем точкой с запятой.
• Параллелепипед обозначаем $ABCDA_1B_1C_1D_1$; если не сказано иное, начало координат ставим в вершину $A$, а оси направляем по рёбрам $AB$, $AD$ и $AA_1$.
• Углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями измеряем от $0°$ до $90°$.
• Приближённый ответ отмечаем знаком $\approx$ и называем точность округления.

Маршрут главы

1. Координаты в пространстве — третья ось, расстояние между точками, середина отрезка и расстановка координат в теле.
2. Векторы и действия — сложение, умножение на число, коллинеарность, компланарность и разложение по базису.
3. Скалярное произведение — формула в трёх координатах, признак перпендикулярности и угол между прямыми.
4. Углы и расстояния — уравнение плоскости, нормаль, расстояние от точки до плоскости и три вида углов.
5. Практикум — считаем цех, кровлю и опору одним методом.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Опору главе дают координатный метод 9 класса и расстояния и углы в пространстве: почти каждый ответ здесь можно проверить старым, «чертёжным» способом — и это лучшая проверка из возможных.

Начни с третьей оси.