3.2 Полный квадрат и дискриминант

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадрат суммы и разности, неполные квадратные уравнения, арифметический квадратный корень

Уравнение $x^2-6x+7=0$ не поддаётся ни одному приёму из прошлого урока. Общий множитель не выносится, формулы сокращённого умножения не подходят, а подбор бесполезен: целых корней у него нет.

Значит, нужен способ, который срабатывает всегда — независимо от того, красивые числа в уравнении или нет.

Прогноз до вычислений

Может ли квадратное уравнение иметь три различных корня?
У уравнения $x^2-6x+7=0$ корней два, один или ни одного? Ответь по ощущению.

Эксперимент: один знак решает всё

Меняй коэффициенты и следи за двумя числами сразу: за значением $D$ в панели результата и за тем, сколько раз парабола встречает ось $x$ .

Коэффициент a 1

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b −5

Целое от −12 до 12

Свободный член c 6

Целое от −24 до 24

x² − 5x + 6 = 0D = 1

полное квадратное уравнениеa = 1, b = −5, c = 6
Полный квадрат: (x − 2,5)² − 0,25Вершина параболы: (2,5; −0,25)
D > 0 → два различных корняD — точный квадрат, корни рациональные

D = (−5)² − 4·1·6 = 1 — два различных корня.Корни: 2; 3. Проверка: значение в корне равно 0.

Останови взгляд на моменте, когда $D$ переходит через ноль: два пересечения сливаются в одно касание, а потом исчезают совсем. Знак одного числа полностью управляет числом корней.

Как собрать квадрат руками

Вернёмся к $x^2-6x+7=0$ . Перенесём свободный член вправо:

$x^2-6x=-7.$

Слева стоит начало формулы квадрата разности: $(x-3)^2=x^2-6x+9$ . Не хватает числа $9$ — добавим его к обеим частям:

$x^2-6x+9=-7+9,\qquad (x-3)^2=2.$

А такое уравнение мы решать умеем:

$x-3=\pm\sqrt2,\qquad x_1=3+\sqrt2\approx4{,}41,\qquad x_2=3-\sqrt2\approx1{,}59.$

Число $9$ взялось не из воздуха: это квадрат половины второго коэффициента, $\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2=9$ . Приём так и называется — выделение полного квадрата.

Тот же ход в общем виде

Проделаем те же шаги для $ax^2+bx+c=0$ , где $a\ne0$ . Разделим обе части на $a$ :

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0,\qquad x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x=-\frac{c}{a}.$

Половина второго коэффициента равна $\dfrac{b}{2a}$ . Добавим её квадрат к обеим частям:

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Знаменатель $4a^2$ положителен при любом $a\ne0$ . Значит, знак правой части определяется только числителем $b^2-4ac$ .

Откуда взялась запись $\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ ? Из равенства выше:

$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{D}{4a^2}}=\pm\frac{\sqrt D}{2|a|}.$

Знак $\pm$ уже перебирает оба варианта, поэтому модуль можно убрать: набор из двух чисел от этого не изменится. Остаётся перенести $\dfrac{b}{2a}$ вправо и сложить дроби.

Разобранные примеры

D больше нуля: два корняРазбираем вместе

Решаем $2x^2-7x+3=0$ . Здесь $a=2$ , $b=-7$ , $c=3$ .

$D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25,\qquad \sqrt{D}=5.$

$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm5}{2\cdot2}=\frac{7\pm5}{4}.$

Получаем $x_1=\dfrac{12}{4}=3$ и $x_2=\dfrac{2}{4}=0{,}5$ .

Проверка: $2\cdot9-7\cdot3+3=18-21+3=0$ и $2\cdot0{,}25-7\cdot0{,}5+3=0{,}5-3{,}5+3=0$ . Оба корня верны.

D равен нулю: один кореньРазбираем вместе

Решаем $9x^2-12x+4=0$ .

$D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0.$

Корень один: $x=-\dfrac{-12}{2\cdot9}=\dfrac{12}{18}=\dfrac23$ .

Проверка: $9\cdot\dfrac49-12\cdot\dfrac23+4=4-8+4=0$ .

Заметь: левая часть — это в точности $(3x-2)^2$ . Один корень всегда означает полный квадрат.

D меньше нуля: корней нетРазбираем вместе

Решаем $x^2+x+3=0$ .

$D=1^2-4\cdot1\cdot3=1-12=-11<0.$

Корней нет. Проверить это можно и полным квадратом: $x^2+x+3=\left(x+\dfrac12\right)^2+2{,}75$ , а сумма квадрата и положительного числа нулём быть не может.

Иррациональные корни — это нормальный ответРазбираем вместе

Решаем $x^2-6x+7=0$ по формуле.

$D=(-6)^2-4\cdot1\cdot7=36-28=8,\qquad \sqrt8=2\sqrt2.$

$x_{1,2}=\frac{6\pm2\sqrt2}{2}=3\pm\sqrt2.$

Тот же ответ, что и при выделении полного квадрата. Оставляем точную запись $3\pm\sqrt2$ , а приближение $x_1\approx4{,}41$ , $x_2\approx1{,}59$ пишем только со знаком $\approx$ .

Проверь себя без графика

Здесь график скрыт: сначала посчитай дискриминант сам, выбери число корней и только потом смотри на параболу.

Уравнение № 1 из 6

x² − 4x + 3 = 0D = ?

Сколько корней у этого уравнения?Посчитай дискриминант в уме или на бумаге и выбери ответ. График появится после проверки.

Проверка понимания

Сколько корней у уравнения 3x² − 4x + 2 = 0?

Четыре места, где теряется знак

Знак $c$ . В уравнении $2x^2-7x+3=0$ свободный член равен $+3$ , поэтому $D=49-24$ , а не $49+24$ . Выписывай $a$ , $b$ , $c$ вместе со знаками до начала вычислений.
Знак $-b$ . При $b=-7$ числитель равен $-(-7)=7$ . Минус в формуле относится к самому коэффициенту, а не к его модулю.
Деление всей суммы. Запись $x=-b\pm\dfrac{\sqrt D}{2a}$ неверна: на $2a$ делится вся сумма $-b\pm\sqrt D$ . Дробная черта тянется под обоими слагаемыми.
$D<0$ . Это полноценный ответ «корней нет», а не повод извлекать корень из отрицательного числа. В 8 классе такого корня не существует.

Практика

Найди дискриминант и реши уравнение. Ответы с иррациональными корнями оставь в точном виде.

$x^2-5x+6=0$
$x^2+4x+4=0$
$x^2+2x+5=0$
$2x^2-5x+2=0$
$3x^2-10x+8=0$
$-x^2+3x-2=0$
$4x^2-4x+1=0$
$x^2-2x-1=0$
$5x^2+2x+3=0$
$x^2-8x+15=0$
При каком $c$ уравнение $x^2-6x+c=0$ имеет ровно один корень?
При каких $b$ уравнение $x^2+bx+9=0$ имеет ровно один корень?

Ответы и пояснения

$D=25-24=1$ ; $x=\dfrac{5\pm1}{2}$ , корни $3$ и $2$ . Проверка: $9-15+6=0$ .
$D=16-16=0$ ; единственный корень $x=-\dfrac42=-2$ . Левая часть — это $(x+2)^2$ .
$D=4-20=-16<0$ — корней нет.
$D=25-16=9$ ; $x=\dfrac{5\pm3}{4}$ , корни $2$ и $0{,}5$ . Проверка: $2\cdot0{,}25-2{,}5+2=0$ .
$D=100-96=4$ ; $x=\dfrac{10\pm2}{6}$ , корни $2$ и $\dfrac43$ . Проверка: $3\cdot\dfrac{16}{9}-\dfrac{40}{3}+8=\dfrac{16}{3}-\dfrac{40}{3}+\dfrac{24}{3}=0$ .
Умножим обе части на $-1$ : $x^2-3x+2=0$ . Тогда $D=9-8=1$ и корни $2$ и $1$ . Знак $a$ на число корней не влияет.
$D=16-16=0$ ; единственный корень $x=\dfrac48=0{,}5$ . Левая часть — это $(2x-1)^2$ .
$D=4+4=8$ ; $x=\dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$ , приближённо $2{,}41$ и $-0{,}41$ .
$D=4-60=-56<0$ — корней нет.
$D=64-60=4$ ; $x=\dfrac{8\pm2}{2}$ , корни $5$ и $3$ .
Один корень означает $D=0$ : $36-4c=0$ , значит $c=9$ . Тогда $x^2-6x+9=(x-3)^2$ и корень $x=3$ .
$D=b^2-36=0$ , значит $b=6$ или $b=-6$ . Получаются $(x+3)^2$ и $(x-3)^2$ .

Итог

Выделение полного квадрата превращает любое квадратное уравнение в уже знакомое $(x+m)^2=k$ .
Из этого приёма выводится формула $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ , где $D=b^2-4ac$ .
Знак $D$ полностью определяет число корней: два, один или ни одного.
Геометрически $D$ показывает, пересекает парабола ось $x$ , касается её или проходит мимо.

Формула работает всегда, но она не самая быстрая. На следующем уроке посмотрим, как во многих случаях корни читаются прямо из коэффициентов — без единого извлечения корня.

← Неполные квадратные уравнения · Дальше: теорема Виета →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.