1.5 Практикум: паспорт функции

10 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 1.1–1.4

Инженеру приносят формулу и спрашивают: «Можно ли пользоваться этой моделью?» Ответ «да» или «нет» никого не устроит. Нужен паспорт: где формула работает, какие значения выдаёт, растёт она или падает, есть ли симметрия, можно ли восстановить вход по выходу.

Этот практикум — тренировка составлять такой паспорт быстро и без пропусков.

◎ После урока ты сможешь

• составлять полное описание функции по её формуле
• выбирать нужное свойство под конкретный вопрос задачи
• проверять ответ вторым способом — подстановкой или графиком
• честно отмечать, где рассуждение доказано, а где только проверено на примерах

◆ Паспорт функции: шесть пунктов

1. $D(f)$ — какие $x$ допустимы (запреты: нулевой знаменатель, отрицательное подкоренное выражение).
2. $E(f)$ — какие значения встречаются.
3. Чётность — сначала симметрия $D(f)$, только потом сравнение $f(-x)$ и $f(x)$.
4. Монотонность — обязательно с указанием промежутка.
5. Ограниченность — сверху, снизу, с обеих сторон или никак.
6. Обратимость — и если да, то формула $f^{-1}$ вместе с $D(f^{-1})=E(f)$.

Станция 1. Читаем формулу без графика

Функция задана формулой, картинка спрятана. Назови область определения и множество значений, а потом проверь себя.

Лаборатория преобразований

Прочитай D(f) и E(f) по формуле

Функция задана формулой, график спрятан. Сначала назови область определения и область значений, потом проверь себя рисунком.

y = a·f(k(x − m)) + n

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = √x→y = √(x − 3) − 2

Мой ответ

Область определения D(f)— выбери —любое числоx ⩾ 3x ⩽ 3x ≠ 3

Область значений E(f)— выбери —любое числоy ⩾ −2y ⩽ −2y ≠ −2

Проверить

?

Прочитай D(f) и E(f) прямо по формуле.Корень запрещает отрицательное подкоренное выражение, дробь — нулевой знаменатель. Область значений подскажут знак a и сдвиг n. График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Полный паспорт функции f(x) = 2 − √(x + 3)Разбираем вместе

Область определения. Под корнем должно быть неотрицательное число: $x+3\geqslant 0$, поэтому

$D(f)=[-3;+\infty).$

Множество значений. Корень принимает все значения $\sqrt{x+3}\geqslant 0$, значит $2-\sqrt{x+3}\leqslant 2$:

$E(f)=(-\infty;2].$

Чётность. Область определения несимметрична относительно нуля (например, $-4$ в неё не входит, а $4$ входит). Функция ни чётная, ни нечётная — считать $f(-x)$ не нужно.

Монотонность. С ростом $x$ растёт корень, а он вычитается, поэтому функция убывает на всей области определения $[-3;+\infty)$.

Ограниченность. Сверху ограничена числом $2$, снизу не ограничена.

Обратимость. Функция убывает, значит обратима. Выражаем $x$:

$\sqrt{x+3}=2-y\ \Longrightarrow\ x+3=(2-y)^2\ \Longrightarrow\ x=(2-y)^2-3.$

Возведение в квадрат законно, потому что $2-y\geqslant 0$ на $E(f)$. Ответ:

$f^{-1}(x)=(2-x)^2-3,\qquad D(f^{-1})=(-\infty;2].$

Проверка: $f(1)=2-\sqrt{4}=0$, и обратно $f^{-1}(0)=(2-0)^2-3=1$.

Станция 2. Возврат по значению

Здесь важен только один вопрос: можно ли по значению однозначно восстановить аргумент. Реши до нажатия кнопки.

Лаборатория обратимости

Есть ли у этой функции обратная?

Смотри на график и решай: можно ли по каждому значению восстановить аргумент однозначно. Потом нажми «Проверить».

y = f⁻¹(x)

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = x²⇄обратная функция: ?

Мой ответ

ОбратимаНе обратима

Проверить

Пары «аргумент — значение» для y = x²

x	−2	−1	0	1	2
y = f(x)	4	1	0	1	4

?

Можно ли по значению восстановить аргумент однозначно?Мысленно проведи горизонтальную прямую и посмотри, сколько раз она пересекает график. Ответ и вторая линия появятся после проверки.

↺ Вернуть пример

✦ Сужение спасает почти всегда

Если функция необратима, это ещё не приговор модели. Обычно достаточно ограничить область определения тем промежутком, который нужен в задаче.

Так поступают с $y=x^2$ (берут $x\geqslant 0$), с $y=|x|$ (берут один луч) и — уже в следующей главе — с синусом и косинусом. Приём один и тот же: отрезать кусок, на котором функция монотонна.

Станция 3. Конвейер

Композиция редко приходит в готовом виде. Чаще формула уже собрана, и её нужно разобрать.

Разбери на звенья и найди область определения:

• $y=\sqrt{5-2x}$;
• $y=\dfrac{1}{(x-1)^2}$;
• $y=\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)^2$.

Разбор станции 3

• $y=\sqrt{5-2x}$: внутренняя $u=5-2x$, внешняя $y=\sqrt{u}$. Условие $5-2x\geqslant 0$ даёт $x\leqslant 2{,}5$, то есть $D=(-\infty;2{,}5]$.
• $y=\dfrac{1}{(x-1)^2}$: внутренняя $u=(x-1)^2$, внешняя $y=\dfrac{1}{u}$. Нужно $u\neq 0$, то есть $x\neq 1$; $D=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$.
• $y=\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)^2$: три звена — $u=\sqrt{x}$, затем $v=u-1$, затем $y=v^2$. Ограничение даёт только корень: $D=[0;+\infty)$.

Проверка понимания

Функция задана формулой y = 5 − √(x − 1). Какое утверждение о ней верно?

• А. Множество значений равно [5; +∞)
• Б. Множество значений равно (−∞; 5], и функция убывает на всей области определения
• В. Функция чётная

Итоговый набор задач

1. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-1}$.
2. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5-x}}$.
3. Найди $E(f)$ для $f(x)=4-(x-1)^2$.
4. Найди $E(f)$ для $f(x)=\dfrac{3}{x+2}+1$.
5. Исследуй на чётность $f(x)=x^4-|x|$.
6. Исследуй на чётность $f(x)=x|x|$.
7. Исследуй на чётность $f(x)=(x-2)^2$.
8. Опиши цепочку преобразований для $y=-(x+2)^3+1$ и назови, куда переехала точка $(0;0)$.
9. Найди $D(f)$ и $E(f)$ для $y=2\sqrt{x-1}-3$.
10. Назови промежутки возрастания и убывания функции $y=|x-3|$.
11. Найди обратную функцию для $f(x)=4x-8$.
12. Найди обратную функцию для $f(x)=(x+3)^2$ при $x\geqslant -3$ и укажи $D(f^{-1})$.
13. Обратима ли функция $f(x)=|x-1|$ на всей числовой прямой? Приведи проверку.
14. Для $f(x)=x^2$ и $g(x)=x+3$ найди $f(g(x))$ и $g(f(x))$. При каком $x$ их значения совпадают?
15. Найди $D(f)$ для $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{6-x}}$.
16. Для $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ и $g(x)=\sqrt{x}$ найди формулу $f(g(x))$ и её область определения.

Ответы, проверки и комментарии

1. Условия $x+3\geqslant 0$ и $x\neq 1$ дают $D(f)=[-3;1)\cup(1;+\infty)$.
2. Корень в знаменателе требует строгого неравенства: $5-x>0$, то есть $D(f)=(-\infty;5)$.
3. Так как $(x-1)^2\geqslant 0$, получаем $4-(x-1)^2\leqslant 4$ и $E(f)=(-\infty;4]$.
4. Дробь $\dfrac{3}{x+2}$ не обращается в ноль, поэтому $E(f)$ — все числа, кроме $1$.
5. $f(-x)=x^4-|x|=f(x)$ — чётная.
6. $f(-x)=(-x)\cdot|-x|=-x|x|=-f(x)$ — нечётная.
7. $f(1)=1$, а $f(-1)=9$: ни чётная, ни нечётная.
8. $y=x^3\to y=(x+2)^3\to y=-(x+2)^3\to y=-(x+2)^3+1$: сдвиг на $2$ влево, отражение относительно оси $x$, подъём на $1$. Точка $(0;0)$ переехала в $(-2;1)$.
9. $D(f)=[1;+\infty)$; так как $2\sqrt{x-1}\geqslant 0$, то $E(f)=[-3;+\infty)$.
10. Убывает на $(-\infty;3]$, возрастает на $[3;+\infty)$.
11. Из $y=4x-8$ следует $x=\dfrac{y+8}{4}$, поэтому $f^{-1}(x)=\dfrac{x+8}{4}$.
12. На луче $x\geqslant -3$ выражение $x+3$ неотрицательно, поэтому $x+3=\sqrt{y}$ и $f^{-1}(x)=\sqrt{x}-3$, $D(f^{-1})=[0;+\infty)$.
13. Не обратима: $f(0)=1$ и $f(2)=1$ — два разных аргумента дают одно значение.
14. $f(g(x))=(x+3)^2$ и $g(f(x))=x^2+3$. Равенство $x^2+6x+9=x^2+3$ даёт $6x=-6$, то есть $x=-1$. Проверка: $(-1+3)^2=4$ и $(-1)^2+3=4$.
15. Числитель требует $x\geqslant 2$, знаменатель — строгого $6-x>0$. Вместе $D(f)=[2;6)$.
16. $f(g(x))=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$. Условия: $x\geqslant 0$ для корня и $\sqrt{x}\neq 1$, то есть $x\neq 1$. Значит $D=[0;1)\cup(1;+\infty)$.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ полностью доказан выкладкой, а где ты опирался на картинку?
2. Какую задачу можно проверить вторым способом — подстановкой конкретного числа?
3. Где сужение области определения превратило необратимую функцию в обратимую?
4. Какая из шести строк паспорта чаще всего забывалась?

Возможные ответы: области определения и обратные функции получены выкладкой, а промежутки монотонности во многих случаях прочитаны по графику и строго доказываются позже; любая обратная функция проверяется подстановкой пары «аргумент — значение»; сужение спасло задачи 12 и 13; чаще всего забывают проверить симметрию $D(f)$ перед разговором о чётности.

✦ Мост дальше

Этот словарь дальше не изменится — изменятся только функции, к которым он применяется.

В следующей главе появятся синус, косинус и тангенс: у них те же вопросы про $D(f)$, $E(f)$, чётность и монотонность, а обратимость снова придётся добывать сужением области определения. Позже добавятся показательная и логарифмическая функции — и они окажутся обратными друг другу. А производная, которая ждёт в 11 классе, будет измерять ровно то, что мы сегодня описывали словами «возрастает» и «убывает».

← Композиция функций · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным