Пространство

10 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: параллельные прямые, теорема Пифагора, тангенс острого угла, координаты

Планиметрия девяти лет училась отвечать на вопросы внутри одного листа. Но лифтовая шахта, стропила, растяжка антенны и рёбра упаковки живут в трёх измерениях, и там появляется новый ответ, которого на плоскости просто нет: две прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными.

В этой главе рисунок перестаёт быть доказательством. Плоский чертёж пространственной фигуры искажает длины и углы, поэтому каждое утверждение придётся выводить из аксиом, а не считывать глазами.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать аксиомы стереометрии и выводить из них первые следствия
• различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые
• применять признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей
• находить расстояния и углы в пространстве и объяснять, какой отрезок их задаёт

◆ Что можно и чего нельзя читать с чертежа

Пространственная фигура изображается параллельной проекцией. При ней параллельные прямые остаются параллельными, а середина отрезка — серединой. Но равные отрезки могут стать неравными, а прямой угол — тупым или острым. Поэтому «на рисунке видно» — не аргумент.

Входная диагностика

Ответь по памяти, без длинных вычислений.

1. Сколько прямых проходит через две различные точки?
2. Две прямые на плоскости не пересекаются. Как они называются?
3. Какой отрезок задаёт расстояние от точки до прямой на плоскости?
4. Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Чему равна гипотенуза?
5. Диагональ квадрата со стороной $4$ — чему она равна?
6. Для острого угла $\operatorname{tg}\alpha=1$. Чему равен $\alpha$?
7. Найди расстояние между точками $A(0;0)$ и $B(6;8)$.
8. Сколько у куба граней, рёбер и вершин?

Ответы для самопроверки

1. Ровно одна.
2. Параллельные.
3. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.
4. $\sqrt{6^2+8^2}=10$.
5. $4\sqrt{2}\approx5{,}66$.
6. $\alpha=45°$.
7. $\sqrt{6^2+8^2}=10$.
8. $6$ граней, $12$ рёбер, $8$ вершин.

Договорённости главы

• Плоскости обозначаем греческими буквами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; прямые — строчными латинскими; точки — прописными.
• Запись $a\subset\alpha$ читается «прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$», а $a\parallel\alpha$ — «прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$».
• Куб всегда обозначаем $ABCDA_1B_1C_1D_1$: $ABCD$ — нижняя грань, $A_1B_1C_1D_1$ — верхняя, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ — боковые рёбра.
• Углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями измеряем от $0°$ до $90°$.
• Приближённое значение отмечаем знаком $\approx$ и называем точность.

Маршрут главы

1. Аксиомы и взаимное расположение — три аксиомы, следствия из них и третий случай для пары прямых.
2. Параллельность — признаки параллельности прямой и плоскости, параллельность плоскостей, угол между скрещивающимися прямыми.
3. Перпендикулярность — признак перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикуляр, наклонная и теорема о трёх перпендикулярах.
4. Расстояния и углы — какой отрезок задаёт расстояние и как измеряют углы между прямыми и плоскостями.
5. Практикум — проектируем каркас павильона и согласуем все измерения.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Опору для главы дают тела и развёртки из 6 класса и теорема Пифагора: почти каждое вычисление здесь сведётся к прямоугольному треугольнику.

Начни с аксиом стереометрии.