Условная вероятность

10 класс · Вероятность◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: классическая вероятность, дерево испытаний, сочетания, действия с дробями

Врач говорит: «Тест ошибается всего в одном случае из десяти». Тест дал положительный результат. Насколько человек болен на самом деле?

Ответ почти всех, кого об этом спрашивают, — «примерно на 90 %». Правильный ответ для редкой болезни — около 8 %. Разница не в арифметике: обе стороны считают верно. Разница в том, какое условие стоит в задаче.

Эта глава о том, как новая информация меняет вероятность — и как не перепутать «вероятность результата при болезни» с «вероятностью болезни при результате».

◎ После урока ты сможешь

• считать условную вероятность по таблице частот и по определению
• проверять независимость событий вычислением, а не по ощущению
• применять формулу полной вероятности и формулу Байеса
• строить таблицу распределения случайной величины и находить её математическое ожидание

◆ Условие — это не оговорка, а новая группа

Запись $P(A\mid B)$ читается «вероятность $A$ при условии $B$». Условие $B$ не меняет опыт — оно сужает множество исходов, среди которых мы считаем долю. Поэтому знаменатель в дроби меняется, и ответ меняется вместе с ним.

Входная диагностика

Ответь до чтения главы; там, где можно, — без вычислений.

1. В классе $25$ человек, из них $15$ девочек. Наугад выбирают дежурного. Чему равна вероятность, что это девочка?
2. Известно, что $P(A)=0{,}3$. Чему равна вероятность противоположного события?
3. Монету бросают дважды. Сколько равновозможных исходов у этого опыта?
4. Сколькими способами из $5$ человек можно выбрать двоих без учёта порядка?
5. Бросают игральный кубик. Какова вероятность выпадения чётного числа очков?
6. В мешке $3$ красных и $2$ синих шара. Вынимают два шара подряд, не возвращая первый. Какова вероятность, что оба красные?
7. Что означает равенство $P(A\cap B)=0$?
8. Монету бросают трижды. Какова вероятность ровно двух орлов?

Ответы для самопроверки

1. $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=0{,}6$.
2. $P(\bar A)=1-0{,}3=0{,}7$.
3. Четыре: ОО, ОР, РО, РР.
4. $C_5^2=10$.
5. $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
6. $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$.
7. События несовместны: вместе они произойти не могут.
8. $C_3^2\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}$.

Если задачи 6 и 8 дались тяжело, освежи дерево испытаний и схему Бернулли — вся глава опирается на них.

Договорённости главы

• Все вероятности в примерах точные: считаем обыкновенными дробями, а десятичное значение приводим со знаком $\approx$.
• В условной вероятности $P(A\mid B)$ всегда требуем $P(B)>0$: делить на ноль нельзя, и «условие, которого не бывает» смысла не имеет.
• Независимость — это проверяемое равенство, а не житейское «одно не влияет на другое».
• Частоты в таблицах — целые числа реальных объектов; ни одно число в главе не округляется молча.

Маршрут главы

1. Условная вероятность — таблицы частот, определение $P(A\mid B)$ и правило умножения.
2. Независимость событий — критерий $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ и серии испытаний.
3. Полная вероятность и формула Байеса — разбор по гипотезам и разворот условия на наглядных числах.
4. Дискретные распределения — случайная величина, таблица распределения и математическое ожидание.
5. Практикум — смешанные задачи и разбор одного медицинского теста от начала до конца.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с таблицы частот: именно она превращает слово «при условии» в понятную дробь.