Интеграл — обратный ход и накопление

11 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: производная, графики функций, площадь фигуры, предел последовательности

У автомобиля есть два прибора. Спидометр показывает скорость — то, как быстро меняется пройденный путь. Одометр показывает сам путь. Обычно они работают вместе, и никто не задумывается о связи между ними.

А теперь представь, что одометр сломался, а спидометр записывал показания всю дорогу. Можно ли восстановить путь по записи скорости?

Ответ «да» — и он устроен интереснее, чем кажется. Восстановить путь можно двумя совершенно разными способами, которые в итоге дают одно число:

по-честному сложить маленькие кусочки: за каждую секунду проехали примерно «скорость × секунда», и таких кусочков много;
обратить производную: найти функцию, скорость изменения которой равна записанной скорости.

Первый способ — это площадь под графиком скорости. Второй — первообразная. Совпадение двух ответов не случайно: это и есть главный факт главы, формула Ньютона–Лейбница.

Две операции, направленные в разные стороны

Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется?»: из функции пути она делает функцию скорости.

Интегрирование отвечает на обратный вопрос «сколько накопилось?»: из функции скорости оно восстанавливает путь.

Всю главу удобно держать в голове одну картинку: дифференцирование — это спуск (путь $\to$ скорость), интегрирование — подъём обратно (скорость $\to$ путь). Подъём получается неоднозначным: при подъёме теряется информация о «начальной высоте».

Входная диагностика

Отвечай без длинных вычислений — проверяем инструменты, а не выносливость.

Чему равна производная функции $y=x^3$ ?
Чему равна производная функции $y=5$ ?
Какая функция имеет производную, равную $2x$ ?
Чему равна площадь трапеции с основаниями $3$ и $7$ и высотой $2$ ?
Автомобиль ехал $4$ с с постоянной скоростью $15$ м/с. Какой путь он проехал?
Как выглядит график функции $y=x^2$ на отрезке $[0;1]$ — выше или ниже прямой $y=x$ ?
К чему стремится последовательность $a_n=\dfrac{1}{n}$ при неограниченном росте $n$ ?
В каких единицах получится результат, если скорость в метрах в секунду умножить на время в секундах?

Ответы для самопроверки

$y'=3x^2$ .
$y'=0$ : постоянная не меняется.
Например, $y=x^2$ . И ещё $y=x^2+7$ , и $y=x^2-1$ — таких функций бесконечно много.
$S=\dfrac{3+7}{2}\cdot 2=10$ .
$s=15\cdot 4=60$ м.
Ниже: при $0<x<1$ выполняется $x^2<x$ .
К нулю.
В метрах: единицы времени сокращаются.

Пункты 3 и 8 — ключевые. Третий показывает, что обратная задача имеет много ответов. Восьмой подсказывает, что произведение «значение функции × длина промежутка» имеет смысл сам по себе, а не только как площадь на рисунке.

Договорённости главы

Знак $\displaystyle\int$ читаем как «интеграл»; запись $\int_a^b f(x)\,dx$ всегда содержит четыре части: нижний предел, верхний предел, функцию и обозначение переменной.
Первообразную обозначаем большой буквой: $F$ — первообразная для $f$ , $V$ — для $v$ . Это не отдельная функция «эф большое», а именно та, чья производная равна исходной функции.
Постоянную $C$ пишем всегда, когда речь о семействе первообразных, и не пишем, когда подставляем пределы: там она сокращается.
Численный эксперимент показывает, что происходит, но ничего не доказывает. Доказательство — выкладка через первообразную.
Все функции главы непрерывны на рассматриваемых отрезках; про разрывы честно оговариваемся отдельно.

Маршрут главы

Первообразная — обратный ход к производной и семейство функций, различающихся на постоянную.
Площадь под графиком — криволинейная трапеция, суммы прямоугольников и предел.
Формула Ньютона–Лейбница — точное значение интеграла за три строки и площадь между графиками.
Накопление величины — путь по скорости, работа по силе, объём по расходу.
Практикум — смешанные задачи и разбор проекта водохранилища.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут

Начни с обратного хода — с вопроса «чья это производная?».