1.3 Оценка и приближения

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: квадратный корень, таблица квадратов, сравнение десятичных дробей

В зале размером $7\times7$ м хотят поставить квадратный стенд площадью $50\text{ м}^2$. Менеджер рассуждает так: «Площадь зала $49\text{ м}^2$, стенда — $50\text{ м}^2$, разница всего в один квадратный метр, как-нибудь впишемся».

Вписаться не получится, и дело даже не в мебели. Сторона стенда равна $\sqrt{50}$, а сторона зала — $7$. Достаточно сравнить эти два числа — и решение принято без калькулятора.

◎ После урока ты сможешь

• зажимать корень между соседними целыми числами по таблице квадратов
• уточнять приближение разряд за разрядом и проверять каждую границу возведением в квадрат
• сравнивать корни с числами и между собой, не вычисляя их значений
• округлять с недостатком и с избытком и честно указывать точность

Прогноз до вычислений

Сколько примерно метров в стороне стенда: $7{,}0$, $7{,}1$ или $7{,}5$? Назови число, а потом проверь его квадратом — это единственный надёжный способ.

Главный инструмент: монотонность

∴ Больше число — больше корень

Если $0\le a<b$, то $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Отсюда правило сравнения: чтобы сравнить два неотрицательных числа, достаточно сравнить их квадраты. Поэтому из $49<50<64$ сразу следует

$7<\sqrt{50}<8.$

Дальше действуем тем же приёмом, но мелким шагом. Проверяем десятые:

$7{,}0^2=49,\qquad 7{,}1^2=50{,}41.$

Число $50$ попало между ними, значит $7{,}0<\sqrt{50}<7{,}1$. Теперь сотые:

$7{,}07^2=49{,}9849,\qquad 7{,}08^2=50{,}1264.$

Получаем $7{,}07<\sqrt{50}<7{,}08$. Каждый шаг сужает промежуток в десять раз, и это можно продолжать сколько угодно долго.

Лаборатория квадратного корня

Площадь, сторона и зажим корня

Корень из числа — это сторона квадрата такой площади. Найти её точно удаётся не всегда, зажать между двумя числами — всегда.

√50

Квадрат по площадиЗажим корня

Число под корнем50От 0,01 до 10000; можно вводить десятичную дробь.

До целыхДо десятыхДо сотыхДо тысячных

Приближение с недостаткомПроверить

?

Зажми √50 с точностью до сотых.Запиши приближение с недостатком — наибольшее число нужного разряда, квадрат которого не больше подкоренного числа. Затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Лаборатория ждёт приближение с недостатком — наибольшее число нужного разряда, квадрат которого не превосходит подкоренного. Введи свой ответ, проверь, потом смени число и точность.

Три разных ответа про одно число

∴ С недостатком, с избытком, с округлением

Для $\sqrt{50}$ на уровне сотых:

• приближение с недостатком: $\sqrt{50}\approx7{,}07$ (это число меньше корня);
• приближение с избытком: $\sqrt{50}\approx7{,}08$ (больше корня);
• округление до сотых: $7{,}07$, потому что корень ближе к левой границе.

Знак $\approx$ обязателен во всех трёх случаях, а рядом полагается назвать точность: «до сотых».

◆ Точность — давняя привычка

Требование назвать точность появилось не сейчас. Ещё в 6 классе, измеряя угол транспортиром, ты писал $\alpha\approx67°$ и добавлял «с точностью до градуса» (урок 6.2). Там точность ограничивал инструмент, здесь — разряд, на котором ты остановился, но правило одно на всю книгу: результат измерения или вычисления называют вместе с тем, насколько ему можно верить.

Проверять правдоподобие полезно и в обратную сторону: если кто-то утверждает, что $\sqrt{50}\approx7{,}5$, возведи в квадрат: $7{,}5^2=56{,}25$. Это заметно больше пятидесяти, значит оценка завышена.

Сравнить, не вычисляяРазбираем вместе

Что больше: $\sqrt{17}$ или $4{,}2$?

Оба числа неотрицательны, поэтому сравниваем квадраты: $(\sqrt{17})^2=17$ и $4{,}2^2=17{,}64$. Так как $17<17{,}64$, получаем $\sqrt{17}<4{,}2$.

А $4{,}1$? $4{,}1^2=16{,}81<17$, значит $4{,}1<\sqrt{17}$. Вместе:

$4{,}1<\sqrt{17}<4{,}2.$

Что больше: $2\sqrt{5}$ или $4{,}5$? Возводим в квадрат оба: $(2\sqrt{5})^2=4\cdot5=20$, а $4{,}5^2=20{,}25$. Значит $2\sqrt{5}<4{,}5$.

Проверка понимания

Между какими соседними целыми числами лежит √130?

• А. Между 11 и 12
• Б. Между 12 и 13
• В. Между 64 и 66

! «Корень между 7 и 8 — значит, примерно 7,5»

Середина промежутка почти никогда не подходит: $7{,}5^2=56{,}25$, а нам нужно $50$.

Причина в том, что квадраты растут неравномерно: от $7^2$ до $8^2$ ровно $15$ единиц, и число $50$ отстоит от $49$ всего на одну из них. Поэтому корень лежит у самого левого края промежутка. Единственная надёжная проверка — возвести границу в квадрат.

Практика

1. Между какими соседними целыми числами лежат $\sqrt{11}$, $\sqrt{44}$, $\sqrt{95}$?
2. Найди приближение $\sqrt{20}$ до десятых с недостатком.
3. Сравни $\sqrt{10}$ и $3{,}2$.
4. Сравни $\sqrt{48}$ и $7$.
5. Что больше: $2\sqrt{5}$ или $4{,}5$?
6. Оцени до десятых сторону квадрата площадью $200\text{ м}^2$.
7. Расположи в порядке возрастания: $3$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$, $3{,}5$.
8. Найди целую часть числа $\sqrt{150}$.
9. Хватит ли верёвки длиной $30$ м, чтобы обнести квадратную площадку площадью $56\text{ м}^2$?
10. Между какими соседними целыми числами лежит $1+\sqrt{40}$?

Ответы и пояснения

1. $3<\sqrt{11}<4$ ($9<11<16$); $6<\sqrt{44}<7$ ($36<44<49$); $9<\sqrt{95}<10$ ($81<95<100$).
2. $4{,}4^2=19{,}36\le20$, а $4{,}5^2=20{,}25>20$, поэтому $\sqrt{20}\approx4{,}4$ с недостатком.
3. $3{,}2^2=10{,}24>10$, значит $\sqrt{10}<3{,}2$.
4. $7^2=49>48$, значит $\sqrt{48}<7$.
5. $(2\sqrt{5})^2=20$, $4{,}5^2=20{,}25$, поэтому $2\sqrt{5}<4{,}5$.
6. Сторона равна $\sqrt{200}$; $14{,}1^2=198{,}81\le200$, $14{,}2^2=201{,}64>200$, значит $14{,}1<\sqrt{200}<14{,}2$.
7. $\sqrt{8}<3<\sqrt{10}<3{,}5$: сравниваем квадраты $8<9<10<12{,}25$.
8. $12$, потому что $12^2=144\le150<169=13^2$.
9. Сторона равна $\sqrt{56}$; $7{,}48^2=55{,}9504$ и $7{,}49^2=56{,}1001$, поэтому $7{,}48<\sqrt{56}<7{,}49$. Периметр заключён между $29{,}92$ и $29{,}96$ м — верёвки хватит, но запаса меньше десяти сантиметров.
10. $6<\sqrt{40}<7$ ($36<40<49$), поэтому $7<1+\sqrt{40}<8$.

Итог

• Корень сохраняет порядок: сравнение неотрицательных чисел сводится к сравнению их квадратов.
• Зажим начинается с соседних целых по таблице квадратов, а затем уточняется разряд за разрядом.
• Приближение с недостатком, с избытком и округление — три разных ответа, и каждый нужно называть своим именем.
• Любую оценку корня проверяют возведением в квадрат, а не «на глаз» по середине промежутка.

Приближения удобны для практики, но в преобразованиях они мешают. В следующем уроке научимся работать с корнями точно: $\sqrt{50}$ окажется числом $5\sqrt{2}$, и никакие округления при этом не понадобятся.

← Иррациональные числа · Дальше: свойства корня →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным