2.6 Практикум: смета спортивной площадки

7 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 2.1–2.5

Школа переделывает спортивную площадку. Точные размеры ещё обсуждаются, поэтому в смете вместо чисел стоят буквы: $x$ — сторона газона, $a$ — сторона старой площадки. Готовые формулы нужно записать так, чтобы в них можно было подставить любой из обсуждаемых вариантов и не пересчитывать всё заново.

◎ После урока ты сможешь

• переводить условие в многочлен и приводить его к стандартному виду
• выбирать между прямым умножением и формулой сокращённого умножения
• раскладывать выражение на множители подходящим способом
• проверять ответ обратным действием и объяснять границы модели

Станция 1. Газон

Газон — прямоугольник со сторонами $x+4$ и $x+1$ метров.

Периметр и площадь одной фигурыРазбираем вместе

Периметр — сумма всех сторон:

$P=2\bigl((x+4)+(x+1)\bigr)=2(2x+5)=4x+10.$

Площадь — произведение сторон:

$S=(x+4)(x+1)=x^2+x+4x+4=x^2+5x+4.$

Проверка при $x=6$: стороны равны $10$ и $7$, поэтому $P=34$ и $S=70$. Формулы дают $4\cdot6+10=34$ и $36+30+4=70$.

Периметр оказался многочленом первой степени, площадь — второй. Это не совпадение: периметр складывается из длин, а площадь получается умножением двух длин.

Станция 2. Переделка площадки

Старая площадка — квадрат со стороной $a$ метров. Одну сторону предложили увеличить на $3$ м, а другую на столько же уменьшить. Кажется, что площадь сохранится.

Лаборатория многочленов

Действие с многочленами по шагам

Меняй коэффициенты и смотри, как складываются подобные члены и откуда берётся каждый член ответа.

(a + 3) · (a − 3)

Первый многочлен, при a 1

−+

Целое число от −20 до 20.

Первый многочлен, свободный член 3

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, при a 1

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, свободный член −3

−+

Целое число от −20 до 20.

(a + 3) · (a − 3)=a² − 9

Каждый член на каждый

Решётка произведений

·	a	−3
a	a²	−3a
3	3a	−9

Приведение подобных после раскрытия скобок

Собираем члены одной степени

• a²: 1 → a²
• a: 3 и −3 → 3 − 3 = 0
• 1: −9 → −9

1. 1

   Раскрываем скобки. Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго: 2 · 2 = 4 произведений.

2. 2

   Приводим подобные. Складываем коэффициенты произведений одинаковой степени.

3. 3

   Записываем ответ. a² − 9; степень равна 2.

Проверочное значение a 7

−+

Целое число от −10 до 10.

=

(a + 3) · (a − 3) = a² − 9Числовая проверка при a = 7: слева 10 · 4 = 40, справа 40. Значения совпали. Совпадение в одной точке — не доказательство, но любое расхождение сразу указывает на ошибку.

↺ Вернуть пример

Новая площадь равна $(a+3)(a-3)=a^2-9$. Она меньше прежней ровно на $9\text{ м}^2$ — при любом $a$. Периметр при этом не изменился: $2\bigl((a+3)+(a-3)\bigr)=4a$.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым ответом запиши: что он измеряет, в какой единице получен, при каких значениях букв имеет смысл. Например, запись $a^2-9$ описывает площадь только при $a>3$: иначе одна из сторон не положительна.

Станция 3. Плитка без калькулятора

Дорожку выкладывают прямоугольником $47\times53$ плитки. Считать в столбик долго, а формула разности квадратов даёт ответ в уме. Сначала оцени площадь по модели, затем перенеси приём на числа.

Лаборатория формул сокращённого умножения

Формула как разрезанный квадрат

Каждое слагаемое формулы — это площадь настоящего куска фигуры. Меняй a и b: пропорции на рисунке пересчитываются честно.

a² − b² = (a + b)(a − b)

Отрезок a 7

−+

Целое число от 2 до 12 условных единиц.

Отрезок b 3

−+

Целое число от 1 до 6 условных единиц.

Для этих двух моделей нужно a > b: иначе вырезаемый квадрат не помещается.

a² − b² = (a + b)(a − b)→ответ закрыт до проверки

Площадь оставшейся фигурыПроверить

1. 1

   Вырезаем. Из 7² = 49 убираем 3² = 9; остаётся ?.

2. 2

   Перекладываем. Два куска дают прямоугольник со сторонами 7 + 3 = 10 и 7 − 3 = 4.

3. 3

   Сверяем. Площадь не изменилась: 10 · 4 = ?.

?

Посчитай площадь по рисунку и нажми «Проверить».Площадь при перекладывании не меняется, поэтому a² − b² и (a + b)(a − b) — одно и то же число при любых a и b.

↺ Вернуть пример

Числа $47$ и $53$ стоят симметрично относительно $50$:

$47\cdot53=(50-3)(50+3)=2500-9=2491.$

Проверка понимания

Какое разложение выражения 2x² − 8 доведено до конца?

• А. 2(x² − 4)
• Б. 2(x − 2)(x + 2)
• В. (2x − 4)(x + 2)

Итоговый набор задач

1. Приведи к стандартному виду: $3x^2-5x+2-x^2+7x-9$.
2. Найди степень многочлена $4a^2b^3-7ab+2$.
3. Выполни вычитание: $(4y^2-3y+1)-(y^2+2y-6)$.
4. Раскрой скобки: $-3a(2a^2-a+5)$.
5. Выполни умножение: $(x-6)(x+2)$.
6. Раскрой скобки: $(3m+2)^2$.
7. Выполни умножение: $(5p-4q)(5p+4q)$.
8. Вычисли устно $52^2$.
9. Вычисли устно $47\cdot53$.
10. Разложи на множители: $12x^3-18x^2$.
11. Разложи на множители: $ab-3a+2b-6$.
12. Разложи на множители: $9x^2-30x+25$.
13. Упрости $(a+b)^2-(a-b)^2$.
14. Докажи, что значение выражения $(n+4)^2-(n-4)^2$ делится на $16$ при любом целом $n$.

Ответы и пояснения

1. $2x^2+2x-7$.
2. Степени членов: $2+3=5$, $1+1=2$ и $0$. Степень многочлена равна $5$.
3. $4y^2-3y+1-y^2-2y+6=3y^2-5y+7$.
4. $-6a^3+3a^2-15a$.
5. $x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12$.
6. $(3m)^2+2\cdot3m\cdot2+2^2=9m^2+12m+4$.
7. $(5p)^2-(4q)^2=25p^2-16q^2$.
8. $(50+2)^2=2500+200+4=2704$.
9. $(50-3)(50+3)=2500-9=2491$.
10. НОД коэффициентов равен $6$, наименьшая степень $x$ равна $2$: $12x^3-18x^2=6x^2(2x-3)$.
11. $a(b-3)+2(b-3)=(b-3)(a+2)$.
12. $(3x)^2-2\cdot3x\cdot5+5^2=(3x-5)^2$.
13. $(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$.
14. $(n^2+8n+16)-(n^2-8n+16)=16n$. Произведение $16n$ делится на $16$ при любом целом $n$, потому что один из множителей равен $16$.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах формула сокращённого умножения оказалась быстрее прямого умножения, а в каких выигрыша не было?
2. Какие ответы ты проверил обратным действием, а какие — подстановкой числа? Чем эти две проверки отличаются по силе?
3. Какое реальное ограничение не учитывает модель площадки?

Возможные ответы: формулы выиграли в задачах $6$–$9$ и $12$–$14$, а в задаче $5$ множители не симметричны, поэтому обычное умножение не длиннее; разложения проверяются обратным умножением — это доказательство, подстановка числа лишь ищет ошибку; модель не учитывает толщину бортика, ширину швов между плитками, уклон для стока воды и запас материала на подрезку.

✦ Мост дальше

Умение превращать сумму в произведение понадобится очень скоро: именно так решают уравнения вида «произведение равно нулю», сокращают алгебраические дроби и упрощают ответы в геометрии. Формулы сокращённого умножения ещё вернутся при работе с квадратными уравнениями и с корнями.

Пока важнее другое: любое преобразование в алгебре должно опираться на закон, а не на внешнее сходство записей. Эта привычка и есть главный результат главы.

← Разложение на множители · К обзору 7 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным