4.2. Модуль и сравнение

6 класс · Числа со знаком◷ 35–40 минут◇ БазаНужно знать: координатная прямая и противоположные числа

Два датчика стоят в точках $-4$ и $2$. Первый расположен левее, но до начала отсчёта ему идти $4$ единицы, а второму — только $2$. Координата хранит сторону, расстояние — только длину пути.

◎ После урока ты сможешь

• находить модуль числа как расстояние до нуля
• сравнивать числа со знаком по их положению на прямой
• вычислять расстояние между двумя координатами

У расстояния нет направления

Перемещай точку и сравнивай её координату с расстоянием до нуля. Обрати внимание на пары $-4$ и $4$, $-1{,}5$ и $1{,}5$.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −4,5

−+

От −8 до 8, шаг 0,5

↔

|−4,5| = 4,5.Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он не бывает отрицательным.

↺ Вернуть пример

Точки $-4{,}5$ и $4{,}5$ лежат по разные стороны от нуля, но длина пути до нуля у обеих равна $4{,}5$.

∴ Модуль числа

Модуль числа $a$ — это расстояние от точки с координатой $a$ до нуля. Его обозначают $|a|$. Поэтому $|-4{,}5|=4{,}5$, $|4{,}5|=4{,}5$, а $|0|=0$.

Из смысла расстояния сразу следуют свойства:

• $|a|\ge0$ для любого $a$;
• $|a|=0$ только при $a=0$;
• противоположные числа равно удалены от нуля: $|-a|=|a|$.

! Ловушка: модуль меняет знак

Модуль не является командой «поменять знак». Для отрицательного числа результат действительно положителен, но для $3$ ничего менять не нужно: $|3|=3$. Всегда думай о расстоянии.

Сравнение — это порядок слева направо

На координатной прямой меньше то число, которое расположено левее. Это единое правило работает для любых чисел:

$-5<-2<0<1{,}5<4.$

Попробуй сближать и разводить две точки, в том числе две отрицательные.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −3,5

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

Координата B −1,5

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

↔

−3,5 < −1,5.−1,5 правее на координатной прямой, значит это число больше.

↺ Вернуть пример

Среди двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю. Поэтому $-1{,}5>-3{,}5$. Величина $3{,}5$ по модулю больше, но точка $-3{,}5$ находится левее.

Сравним −2,35 и −2,8Разбираем вместе

Обе точки лежат между $-3$ и $-2$. Отрицательное число $-2{,}8$ дальше от нуля и левее, поэтому

$-2{,}8<-2{,}35.$

Можно проверить модулями: $|-2{,}8|=2{,}8>2{,}35=|-2{,}35|$. Для двух отрицательных чисел большему модулю соответствует меньшее число.

Проверка понимания

Какое сравнение верно?

• А. −3/4 < −5/6
• Б. |−3/4| < 0
• В. −5/6 < −3/4

Расстояние между двумя точками

От точки $-3$ до точки $2$ нужно пройти $3$ единицы до нуля и ещё $2$ вправо. Расстояние равно $5$. Если поменять начало и конец местами, длина пути останется той же.

Исследуй расстояние между двумя точками, не пытаясь заранее выбрать знак.

Лаборатория координатной прямой

Числа как точки и расстояния

Меняй координаты кнопками или вводи их с клавиатуры. Следи не только за знаком, но и за положением точки.

шаг 0,5

ПоложениеПротивоположныеМодульСравнениеРасстояние

Координата A −3

−+

От −7 до 7, шаг 0,5

Координата B 2

−+

От −7 до 7, шаг 0,5

↔

Расстояние между A и B равно 5.Вычитаем координаты и берём модуль: |−3 − (2)| = 5.

↺ Вернуть пример

∴ Расстояние между координатами

Если точки находятся по разные стороны от нуля, сложи их модули. Если по одну сторону — вычти меньший модуль из большего. Так мы измеряем длину отрезка, не вводя направление пути.

Расстояние между −1,2 и 3,5Разбираем вместе

Точки лежат по разные стороны от нуля. От $-1{,}2$ до нуля нужно пройти $1{,}2$, а от нуля до $3{,}5$ — ещё $3{,}5$:

$1{,}2+3{,}5=4{,}7.$

Если бы обе точки находились слева, например в $-1{,}2$ и $-3{,}5$, расстояние было бы равно разности модулей: $3{,}5-1{,}2=2{,}3$.

Практика

1. Вычисли $|-8|$.
2. Вычисли $|3{,}6|$.
3. Вычисли $\left|-\frac75\right|$.
4. Найди все числа $x$, для которых $|x|=4{,}2$.
5. Расположи по возрастанию $-3{,}1$, $-\frac34$, $0{,}2$, $-2$.
6. Сравни $-\frac56$ и $-0{,}8$.
7. Найди расстояние между точками $-2{,}5$ и $4$.
8. В двух городах $-1{,}2\,°\text{C}$ и $-4{,}7\,°\text{C}$. Где холоднее и на сколько градусов различаются температуры?
9. Сравни $|-a|$ и $|a|$ для произвольного числа $a$.
10. Найди все точки, удалённые от точки $2$ на $3$ единицы.

Ответы и объяснения

1. $8$.
2. $3{,}6$.
3. $\frac75$.
4. $x=4{,}2$ или $x=-4{,}2$: по одной точке с каждой стороны нуля.
5. $-3{,}1<-2<-\frac34<0{,}2$.
6. $-\frac56<-0{,}8$, потому что $-\frac56\approx-0{,}833$.
7. Точки по разные стороны от нуля: $2{,}5+4=6{,}5$.
8. Холоднее там, где $-4{,}7\,°\text{C}$. Обе отметки слева от нуля, поэтому расстояние между ними равно $4{,}7-1{,}2=3{,}5\,°\text{C}$.
9. Они равны: противоположные точки одинаково удалены от нуля.
10. Точки $-1$ и $5$: обе находятся в трёх единицах от $2$.

Итог

• Модуль — расстояние до нуля, поэтому он неотрицателен.
• Числа растут слева направо; среди отрицательных дальше от нуля означает меньше.
• Расстояние измеряется модулями: по разные стороны от нуля их складывают, по одну сторону — находят положительную разность.

Дальше превратим направленные перемещения в сложение чисел со знаком.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным