5.3 Построение сечений

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: аксиомы стереометрии, призма и пирамида, теорема Пифагора

Столяр распиливает брус одним движением пилы. Инженер в CAD-редакторе включает разрез, чтобы увидеть, что внутри детали. Повар режет головку сыра ровным ножом.

Во всех трёх случаях происходит одно и то же: плоскость пересекает многогранник, и в разрезе появляется многоугольник. Задача урока — научиться строить этот многоугольник заранее, на чертеже, до того как пила коснётся дерева.

◎ После урока ты сможешь

• применять три правила построения сечения многогранника плоскостью
• строить след секущей плоскости на плоскости основания
• определять вид многоугольника сечения по числу пересечённых граней
• находить периметр и площадь простых сечений куба

Прогноз до вычислений

Куб можно разрезать одной плоскостью. Какие многоугольники могут получиться в разрезе?

Запиши все варианты, которые придут в голову, и отметь, какой из них кажется самым «большим по числу сторон». Проверять начнём сразу.

Управляемый эксперимент

Поставь три точки на рёбрах куба. Лаборатория проведёт через них плоскость, найдёт все точки её пересечения с рёбрами и соберёт из них многоугольник.

Лаборатория сечений

Сечение куба плоскостью через три точки

Поставь три точки на рёбрах куба ABCDA₁B₁C₁D₁ — лаборатория найдёт все точки пересечения плоскости с рёбрами и соберёт из них многоугольник.

3 стороны

Треугольник у вершиныДиагональное сечениеПятиугольникПравильный шестиугольник

Точка M на ребреABABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Точка N на ребреADABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Точка K на ребреAA₁ABBCCDADA₁B₁B₁C₁C₁D₁A₁D₁AA₁BB₁CC₁DD₁Доля от начала ребра0,5

Ребро куба6 см

Три середины рёбер, выходящих из одной вершины. Плоскость встречает только три грани.

Вершины сечения; начало координат — вершина A, ось z вдоль ребра AA₁

Вершина	x	y	z	Сторона до следующей, см
1	0	0	3	4,24
2	3	0	0	4,24
3	0	3	0	4,24

◆

Сечение — треугольник: 3 стороны.Периметр 12,73 см, площадь 7,79 см². Все стороны равны. Стороны: 4,24; 4,24; 4,24 см.

↺ Вернуть пример

Пройди по четырём заготовкам слева направо и следи за числом сторон. Затем подвигай ползунки вручную: попробуй получить квадрат, пятиугольник и шестиугольник.

✦ Правило, которое видно сразу

Каждая сторона сечения лежит в какой-то грани, и в одной грани не может быть двух сторон (плоскости пересекаются по одной прямой). Значит,

$\text{число сторон сечения} = \text{число пересечённых граней}.$

У куба $6$ граней, поэтому у сечения не больше шести сторон. Меньше трёх тоже не бывает: многоугольника не получится.

На чём всё держится

Построение сечения — это не «нарисовать похоже». Каждый отрезок появляется по одной из трёх аксиом стереометрии:

• через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость;
• если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости;
• если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.

∴ Три рабочих правила

Правило 1. Две точки в одной грани — соединяй. Если две точки сечения лежат в одной грани, отрезок между ними — сторона сечения (по второй аксиоме он целиком в этой грани и целиком в секущей плоскости).

Правило 2. Параллельные грани — параллельные отрезки. Секущая плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным прямым. У куба три пары параллельных граней, и это правило экономит половину работы.

Правило 3. Не в одной грани — ищи след. Продолжай уже построенную прямую сечения до пересечения с плоскостью основания. Полученная прямая называется следом секущей плоскости. Точка следа лежит одновременно в секущей плоскости и в плоскости основания, и через неё можно «дотянуться» до дальних граней.

Простой случай: три точки в трёх соседних гранях

Треугольник у вершиныРазбираем вместе

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$. Точки $M$, $N$, $K$ — середины рёбер $AB$, $AD$, $AA_1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в грани $ABCD$ — соединяем (правило 1). Точки $M$ и $K$ лежат в грани $ABB_1A_1$ — соединяем. Точки $N$ и $K$ лежат в грани $ADD_1A_1$ — соединяем. Сечение построено: это треугольник $MNK$.

Каждая его сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $3$:

$MN=NK=KM=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\approx4{,}24.$

Треугольник равносторонний, поэтому

$P=9\sqrt{2}\approx12{,}73, \qquad S=\frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{18\sqrt{3}}{4}=4{,}5\sqrt{3}\approx7{,}79.$

Заметь: плоскость встретила ровно три грани — и получился треугольник.

Метод следов в действии

Теперь случай, где «просто соединить» не выйдет.

Пятиугольник: точки в далёких граняхРазбираем вместе

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$.

Шаг 1. $M$ и $N$ лежат в грани $ABCD$: отрезок $MN$ — сторона сечения.

Шаг 2. Прямая $MN$ и есть след секущей плоскости на плоскости основания. Продолжим её и найдём, где она встречает прямые $BC$ и $DC$. Введём координаты в плоскости основания: $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(6;6)$, $D(0;6)$. Тогда $M(3;0)$, $N(0;3)$, и прямая $MN$ задаётся уравнением $x+y=3$.

Прямая $BC$ — это $x=6$, отсюда $y=-3$: точка $P(6;-3)$ лежит на продолжении ребра $CB$ за точку $B$. Прямая $DC$ — это $y=6$, отсюда $x=-3$: точка $Q(-3;6)$ лежит на продолжении ребра $CD$ за точку $D$.

Шаг 3. Точки $P$ и $K$ обе лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$, значит, вся прямая $PK$ лежит в ней. Она пересекает ребро $BB_1$ в точке $E$. Расстояние от $P$ до $K$ по горизонтали равно $9$, подъём равен $3$; от $P$ до ребра $BB_1$ по горизонтали ровно $3$, то есть треть пути, поэтому подъём составит треть от $3$:

$BE=\frac{1}{3}\cdot3=1.$

Шаг 4. Точно так же прямая $QK$ в грани $CDD_1C_1$ даёт точку $F$ на ребре $DD_1$ с $DF=1$.

Шаг 5. Соединяем по правилу 1 внутри каждой грани и получаем пятиугольник $MEKFN$.

Проверим правило 2. Стороны $ME$ и $KF$ лежат в параллельных гранях $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ — и действительно параллельны. Стороны $EK$ и $FN$ лежат в параллельных гранях $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ — тоже параллельны. Плоскость встретила пять граней (все, кроме верхней), и сторон получилось пять.

Длины сторон считаем по теореме Пифагора:

$MN=3\sqrt{2}, \qquad ME=FN=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}, \qquad EK=KF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}.$

$P=3\sqrt{2}+6\sqrt{10}\approx4{,}24+18{,}97=23{,}22.$

Открой лабораторию ещё раз, выбери заготовку «Пятиугольник» и сверь таблицу вершин с координатами из разбора: $M(3;0;0)$, $E(6;0;1)$, $K(6;6;3)$, $F(0;6;1)$, $N(0;3;0)$.

Шестиугольник и его сторона

Правильный шестиугольник в кубеРазбираем вместе

Куб с ребром $6$, точки — середины рёбер $AB$, $BC$ и $CC_1$.

Секущая плоскость проходит через центр куба перпендикулярно диагонали $DB_1$ и встречает все шесть граней. Сечение — правильный шестиугольник, каждая сторона которого соединяет середины двух рёбер одной грани:

$a=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\approx4{,}24.$

$P=6\cdot3\sqrt{2}=18\sqrt{2}\approx25{,}46, \qquad S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot18=27\sqrt{3}\approx46{,}77.$

Формулу площади правильного шестиугольника мы получили в 9 классе — она собирается из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Какие фигуры бывают, а какие нет

• Треугольник — плоскость отсекает угол; такое сечение всегда остроугольное. Вершины лежат на трёх рёбрах при одной вершине куба на расстояниях $p$, $q$, $r$ от неё, поэтому стороны равны $\sqrt{p^2+q^2}$, $\sqrt{q^2+r^2}$, $\sqrt{p^2+r^2}$. Сложи квадраты любых двух сторон — получишь квадрат третьей плюс удвоенный квадрат одного из чисел $p$, $q$, $r$. А эти числа положительны, значит, равенства Пифагора не выйдет: прямоугольного треугольного сечения у куба не бывает.
• Квадрат и прямоугольник — легко: плоскость, параллельная грани, даёт квадрат, а диагональное сечение даёт прямоугольник $a\times a\sqrt{2}$.
• Пятиугольник — бывает, но правильным быть не может: пять граней содержат минимум две пары параллельных, значит, у сечения есть минимум две пары параллельных сторон, а у правильного пятиугольника параллельных сторон нет вовсе.
• Шестиугольник — максимум; у него обязательно три пары параллельных сторон.
• Семиугольник — невозможен: граней всего шесть.

Проверка понимания

Плоскость пересекает пять граней куба. Какой многоугольник получится в сечении?

• А. Правильный пятиугольник
• Б. Шестиугольник
• В. Пятиугольник, обязательно с параллельными сторонами

! Четыре типичные ошибки построения

Соединяют точки «напрямую» через тело. Отрезок можно проводить, только если обе точки лежат в одной грани. Иначе линия пройдёт внутри куба и стороной сечения не будет.

Забывают про параллельность. Если одна сторона уже построена в грани, то в противоположной грани сторона обязана быть ей параллельна. Нарисованный «на глаз» непараллельный отрезок — сразу ошибка.

Пугаются, когда след выходит за пределы куба. Точки $P$ и $Q$ из разбора лежат вне куба — и это нормально. Они вспомогательные: работает не отрезок, а вся прямая.

Считают, что сечение куба всегда четырёхугольник. Это самый частый случай на картинках в интернете, но не закон: бывают треугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Практика

Везде куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Какое наибольшее число сторон может быть у сечения куба? Почему?
2. Может ли сечение куба быть пятиугольником? А правильным пятиугольником?
3. Ребро куба равно $6$. Через середины трёх рёбер, выходящих из вершины $A$, проведена плоскость. Найди периметр и площадь сечения.
4. Ребро куба равно $4$. Найди площадь диагонального сечения $ACC_1A_1$.
5. Ребро куба равно $6$, точки — середины рёбер $AB$, $BC$, $CC_1$. Найди сторону и периметр сечения.
6. Может ли треугольное сечение куба быть равносторонним? А прямоугольным?
7. Плоскость параллельна грани куба с ребром $5$. Какова площадь сечения?
8. Ребро куба равно $6$. Плоскость проходит через ребро $AB$ и середину ребра $CC_1$. Определи вид сечения и найди его площадь.
9. Сечение куба — шестиугольник. Сколько граней пересекает плоскость и сколько у сечения пар параллельных сторон?
10. Ребро куба равно $4$. Плоскость проходит через вершины $A$, $C$ и $B_1$. Определи вид треугольника сечения и найди его площадь.

Ответы и пояснения

1. Шесть: число сторон равно числу пересечённых граней, а граней у куба шесть.
2. Пятиугольником — да. Правильным пятиугольником — нет: пять граней содержат минимум две пары параллельных, поэтому у сечения найдутся параллельные стороны, а у правильного пятиугольника их нет.
3. Сторона $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$; $P=9\sqrt{2}\approx12{,}73$; $S=\dfrac{18\sqrt{3}}{4}=4{,}5\sqrt{3}\approx7{,}79$.
4. Прямоугольник со сторонами $4$ и $4\sqrt{2}$: $S=16\sqrt{2}\approx22{,}63$.
5. Правильный шестиугольник со стороной $3\sqrt{2}\approx4{,}24$; $P=18\sqrt{2}\approx25{,}46$. Для справки $S=27\sqrt{3}\approx46{,}77$.
6. Равносторонним — да, например через середины трёх рёбер при одной вершине или через $A$, $C$, $B_1$. Прямоугольным — нет: стороны равны $\sqrt{p^2+q^2}$, $\sqrt{q^2+r^2}$, $\sqrt{p^2+r^2}$, и сумма квадратов любых двух из них больше квадрата третьей ровно на $2p^2$, $2q^2$ или $2r^2$ — на положительное число. Равенство Пифагора невозможно.
7. $S=25$: сечение равно грани.
8. Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$, ось $z$ вдоль ребра $AA_1$. Середина $CC_1$ — точка $K(6;6;3)$. Секущая плоскость содержит прямую $AB$, а грань $DCC_1D_1$ параллельна ей, поэтому пересечение с этой гранью — отрезок $LK$, параллельный $AB$, где $L(0;6;3)$. Сечение — четырёхугольник $ABKL$. Векторы $\overrightarrow{AB}=(6;0;0)$ и $\overrightarrow{BK}=(0;6;3)$ перпендикулярны, значит, это прямоугольник со сторонами $AB=6$ и $BK=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$: $S=18\sqrt{5}\approx40{,}25$.
9. Шесть граней; три пары параллельных сторон.
10. Отрезки $AC$, $CB_1$, $B_1A$ — диагонали граней, все равны $4\sqrt{2}$. Треугольник равносторонний, $S=\dfrac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}\approx13{,}86$.

Итог

• Число сторон сечения равно числу пересечённых граней; у куба это от трёх до шести.
• Соединять отрезком можно только точки, лежащие в одной грани.
• В параллельных гранях стороны сечения параллельны — это и проверка, и способ построения.
• Если точки в далёких гранях, строим след секущей плоскости на плоскости основания и продолжаем прямые за пределы куба.
• Длины сторон сечения находятся теоремой Пифагора внутри соответствующей грани.

Сечение построено, вид фигуры определён, длины сосчитаны. Осталось научиться считать площадь всей поверхности тела — уже не разреза, а обшивки.

← Правильные многогранники · Дальше: площадь поверхности →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным