Уравнения и системы

9 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения, алгебраические дроби, линейные системы, координатная плоскость

Бассейн наполняют две трубы. Вместе они справляются за $2$ часа, а одна вторая труба работает на $3$ часа дольше первой. За сколько часов каждая труба наполнит бассейн в одиночку?

Здесь не помогает ни одна готовая формула. Сначала нужно решить, что назвать буквой, потом записать условие уравнением — и только после этого начинается счёт. Причём уравнение получится с дробями, а значит, у него появятся запрещённые значения и, возможно, лишние корни.

В этой главе мы соберём вместе всё, что уже умеем про равенства с буквами, и научимся выбирать: где хватит одного уравнения, где нужна система, а где ответ проще прочитать по графику.

◎ После урока ты сможешь

• решать целые уравнения разложением на множители и заменой переменной
• решать дробно-рациональные уравнения и отсеивать посторонние корни
• понимать, что график уравнения с двумя переменными — это множество всех его решений
• решать системы с двумя переменными, включая нелинейные, способом подстановки
• строить систему по условию текстовой задачи и проверять ответ по смыслу

◆ Три разных объекта с похожей записью

$x^2-x-6=0$ — это уравнение с одной переменной: его решение — числа.

$x+y=5$ — это уравнение с двумя переменными: его решение — пара чисел, а всех решений бесконечно много.

А вот это — система: её решение — пара, подходящая обоим уравнениям сразу.

$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases}$

Путать их нельзя: у первого ответ вида «$x=3$», у второго — целая линия, у третьего — список пар.

Входная диагностика

Ответь по возможности устно.

1. Сколько корней у уравнения $x^2-9=0$?
2. Чему равен дискриминант уравнения $x^2-5x+6=0$ и сколько у него корней?
3. При каких $x$ дробь $\dfrac{5}{x-4}$ не имеет смысла?
4. Как решить уравнение $(x-1)(x+7)=0$, не раскрывая скобки?
5. Что является графиком уравнения $y=2x-1$?
6. Является ли пара $(3;2)$ решением уравнения $x+y=5$?
7. Реши систему $x+y=7$, $x-y=1$.
8. Разложи на множители $x^3-x$.

Ответы для самопроверки

1. Два: $x=3$ и $x=-3$.
2. $D=25-24=1>0$, поэтому корня два: $x=2$ и $x=3$.
3. При $x=4$: знаменатель обращается в ноль.
4. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель: $x=1$ или $x=-7$.
5. Прямая.
6. Да: $3+2=5$.
7. Сложение даёт $2x=8$, то есть $x=4$ и $y=3$. Ответ: $(4;3)$.
8. $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$.

Если что-то забылось, загляни в дискриминант, допустимые значения дроби и системы линейных уравнений.

Договорённости главы

• Запреты (значения, при которых знаменатель равен нулю) выписываем до решения, а не после.
• Каждый найденный корень проверяем дважды: сначала на допустимость, потом на смысл задачи.
• Ответ «корней нет» и ответ «решений бесконечно много» — полноценные ответы.
• График в лаборатории построен по формуле, а не нарисован от руки, но читать координаты с картинки — только повод для гипотезы. Подтверждает её подстановка.
• Иррациональный корень записываем точно ($\sqrt{3}$), а приближение помечаем знаком $\approx$.

Маршрут главы

1. Рациональные уравнения — целые уравнения выше второй степени и уравнения с переменной в знаменателе.
2. Уравнение с двумя переменными — пара как решение и линия как множество всех решений.
3. Системы уравнений — подстановка, число решений и общие точки двух линий.
4. Текстовые задачи — движение, работа, размеры фигур и цифры числа.
5. Практикум — смешанные задачи, где способ выбираешь сам.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с рациональных уравнений — и заодно узнай, за сколько часов справится каждая труба.