3.4 Сложный процент и рост

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: проценты и процентные изменения, геометрическая прогрессия, степень с натуральным показателем

Два вклада по $40\,000$ ₽ под $8\,\%$ годовых на три года. По первому проценты начисляют на исходную сумму, по второму — на сумму вместе с уже начисленными процентами.

Ставка одна, срок один, а суммы в конце разные. Разберёмся, откуда берётся разрыв и почему через тридцать лет он становится драматическим.

◎ После урока ты сможешь

• записывать процентное изменение через множитель 1 + p/100
• применять формулу сложного процента A = A₀(1 + p/100)ⁿ
• отличать простой процент (арифметическая прогрессия) от сложного (геометрическая)
• объяснять, почему последовательные проценты перемножаются, а не складываются

Прогноз до вычислений

1. Цена выросла на $20\,\%$, а потом упала на $20\,\%$. Она вернулась к исходной?
2. Вклад под $10\,\%$ годовых за два года вырастет на $20\,\%$ или больше?
3. За сколько лет вклад под $15\,\%$ годовых удвоится: примерно за $5$, $7$ или $13$ лет?

Один шаг — один множитель

Увеличить величину на $p$ процентов — значит прибавить $\dfrac{p}{100}$ её часть:

$A\;\longmapsto\;A+A\cdot\frac{p}{100}=A\left(1+\frac{p}{100}\right).$

Это уже знакомо по процентным изменениям из 6 класса: там это число называли коэффициентом изменения. Там же ты выяснил, что последовательные изменения перемножаются и что после $+20\,\%$ и $-20\,\%$ цена не возвращается к прежней. Значит, сложный процент ты фактически считал ещё три года назад — просто без имени и без формулы. Теперь важен другой акцент: увеличение на $8\,\%$ — это умножение на $1{,}08$, а уменьшение на $8\,\%$ — умножение на $0{,}92$. Одно действие, одно число.

∴ Множитель шага

Изменению на $p$ процентов отвечает множитель

$k=1+\frac{p}{100}.$

Рост даёт $k>1$ (например, $+8\,\%\Rightarrow k=1{,}08$), снижение — $0<k<1$ (например, $-15\,\%\Rightarrow k=0{,}85$).

Как только один шаг стал умножением, $n$ шагов становятся $n$ умножениями подряд — то есть степенью.

∴ Сложный процент

Если величина $A_0$ каждый период меняется на $p$ процентов, то через $n$ периодов она равна

$A_n=A_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}.$

Это в точности геометрическая прогрессия с первым членом $A_0$ и знаменателем $q=1+\dfrac{p}{100}$.

Если же проценты каждый раз начисляют на исходную сумму (простой процент), получается арифметическая прогрессия:

$A_n=A_0\left(1+\frac{p\cdot n}{100}\right).$

Эксперимент: равные прибавки против равных множителей

Обе модели стартуют из одного числа и нарисованы в одном масштабе. Меняй ставку и число шагов — и смотри, когда разрыв становится заметным.

Лаборатория роста

Равные прибавки против равных множителей

Две модели стартуют из одного числа. Первая каждый шаг прибавляет одно и то же, вторая — умножает на одно и то же. Обе нарисованы в одном масштабе, поэтому разрыв между ними виден честно.

A₀ + kn против A₀qⁿ

Линейная модель = простой процентСвоя прибавка за шаг

Начальная величина A₀ 40000

−+

От 1000 до 200000, шаг 1000

Ставка за шаг p, % 8

−+

От -50 до 50, шаг 0.5

Число шагов n 8

−+

Целое число от 1 до 15

Линейная модель: aₙ = 40000 + 3200·n. Экспоненциальная модель: bₙ = 40000·1,08ⁿ.

Значения после каждого шага

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
равные прибавки	40000,00	43200,00	46400,00	49600,00	52800,00	56000,00	59200,00	62400,00	65600,00
равные множители	40000,00	43200,00	46656,00	50388,48	54419,56	58773,12	63474,97	68552,97	74037,21

Обе модели определены только при целых n, поэтому точки соединены лишь для того, чтобы взгляд не терял линию: сами значения существуют только в отмеченных узлах.

↗

Через 8 шагов линейная модель даёт 65600,00, а сложный процент — 74037,21; разница составляет 8437,21.Экспоненциальная модель обгоняет линейную начиная с шага n = 2. Суммарное изменение при сложном проценте равно 85,09 %, а простое сложение 8 % × 8 дало бы 64 %. При такой ставке величина удваивается за 10 шагов.

↺ Вернуть пример

Понаблюдай:

• при малом числе шагов графики почти сливаются — вот почему разницу легко не заметить за один-два года;
• разрыв растёт не постепенно, а всё быстрее: каждый новый множитель применяется к уже увеличенной величине;
• при отрицательной ставке картина зеркальная: линейная модель может уйти в минус, а экспоненциальная приближается к нулю, но не достигает его.

Переключи вкладку «Своя прибавка за шаг» и попробуй дать линейной модели фору: пусть она прибавляет заметно больше. Экспоненциальная всё равно догонит — вопрос только в том, на каком шаге.

Разобранные примеры

Два вклада: простой и сложный процентРазбираем вместе

Даны $A_0=40\,000$ ₽, $p=8\,\%$, $n=3$ года.

Простой процент. Каждый год начисляется $40\,000\cdot0{,}08=3200$ ₽, всегда одна и та же сумма:

$A_3=40\,000+3\cdot3200=49\,600.$

Сложный процент. Каждый год сумма умножается на $1{,}08$:

$A_3=40\,000\cdot1{,}08^3=40\,000\cdot1{,}259712=50\,388{,}48.$

Обе величины — рубли.

Разница за три года — $788{,}48$ ₽. Немного. Но за десять лет она вырастет до нескольких тысяч, а за тридцать — в разы: степень обгоняет прямую всегда, вопрос лишь во времени.

Почему проценты не складываютсяРазбираем вместе

Товар за $1000$ ₽ подешевел на $20\,\%$, а потом ещё на $30\,\%$ от новой цены.

$1000\cdot0{,}8=800,\qquad 800\cdot0{,}7=560.$

Итоговый множитель равен $0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56$, то есть цена упала на $44\,\%$, а не на $50\,\%$.

Причина проста: вторая скидка считается уже от $800$ ₽, а не от $1000$ ₽. Складывать можно проценты только от одной и той же базы.

Плюс двадцать и минус двадцать — не нольРазбираем вместе

Цена выросла на $20\,\%$, затем упала на $20\,\%$:

$1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96.$

Итог — снижение на $4\,\%$. Причём порядок неважен: $0{,}8\cdot1{,}2$ даёт то же самое. А чтобы вернуть цену после снижения на $20\,\%$, поднимать её надо не на $20\,\%$, а на $25\,\%$: ведь $0{,}8\cdot1{,}25=1$.

За сколько лет вклад удвоитсяРазбираем вместе

Ставка $15\,\%$ годовых, множитель $1{,}15$. Ищем наименьшее $n$, при котором $1{,}15^{\,n}\ge2$.

$1{,}15^2=1{,}3225,\quad 1{,}15^3\approx1{,}520875,\quad 1{,}15^4\approx1{,}749,\quad 1{,}15^5\approx2{,}011.$

На пятом году множитель впервые переходит через $2$. Ответ: за $5$ лет.

Для $20\,\%$ хватит $4$ лет ($1{,}2^4=2{,}0736$), а для $7\,\%$ понадобится $11$ лет ($1{,}07^{10}\approx1{,}967$, но $1{,}07^{11}\approx2{,}105$).

Проверка понимания

Цена выросла на 10 %, а через год ещё на 10 %. На сколько процентов она выросла всего?

• А. На 20 %
• Б. На 21 %
• В. На 100 %

Проверь себя без таблицы

Значения скрыты после первого шага. Посчитай сам, чему равна сумма при сложном проценте, округли до целых и только потом нажимай «Проверить».

Лаборатория роста

Посчитай, куда придёт сложный процент

Две модели стартуют из одного числа. Первая каждый шаг прибавляет одно и то же, вторая — умножает на одно и то же. Обе нарисованы в одном масштабе, поэтому разрыв между ними виден честно.

A₀ + kn против A₀qⁿ

Линейная модель = простой процентСвоя прибавка за шаг

Начальная величина A₀ 25000

−+

От 1000 до 200000, шаг 1000

Ставка за шаг p, % 10

−+

От -50 до 50, шаг 0.5

Число шагов n 3

−+

Целое число от 1 до 15

Линейная модель: aₙ = 25000 + 2500·n. Экспоненциальная модель: bₙ = 25000·1,1ⁿ.

Значения после каждого шага

n	0	1	2	3
равные прибавки	25000,00	27500,00	?	?
равные множители	25000,00	27500,00	?	?

Обе модели определены только при целых n, поэтому точки соединены лишь для того, чтобы взгляд не терял линию: сами значения существуют только в отмеченных узлах.

Мой ответ (сложный процент, до целых)

Проверить

?

Посчитай сам: чему равна величина после 3 шагов при сложном проценте?Каждый шаг умножает величину на один и тот же множитель 1,1. Ответ округли до целых.

↺ Вернуть пример

! Четыре ловушки процентного роста

1. Сложение процентов. «$+10\,\%$ и ещё $+10\,\%$ — это $+20\,\%$» неверно: множители перемножаются, получается $1{,}21$, то есть $+21\,\%$.
2. Потерянная база. Процент всегда берётся от чего-то. Вторая скидка считается от уже сниженной цены, поэтому её нельзя приплюсовывать к первой.
3. Симметрия «вверх-вниз». Снижение на $20\,\%$ отменяется не повышением на $20\,\%$, а повышением на $25\,\%$. Множители $0{,}8$ и $1{,}2$ в произведении дают $0{,}96$, а не $1$.
4. Округление посреди вычислений. Округляй только конечный ответ. Если округлить $1{,}08^3$ до $1{,}26$ уже на первом шаге, за десять лет накопится ощутимая ошибка.

Практика

1. Цена $2500$ ₽ выросла на $12\,\%$. Сколько она стала?
2. Цена $2500$ ₽ снизилась на $12\,\%$. Сколько она стала?
3. Вклад $30\,000$ ₽ под $6\,\%$ годовых на $2$ года, сложный процент. Найди итоговую сумму.
4. Тот же вклад при простом проценте. Найди сумму и разницу с предыдущим ответом.
5. Товар подорожал на $25\,\%$, затем подешевел на $25\,\%$. Как изменилась цена?
6. Население посёлка — $20\,000$ человек, оно растёт на $3\,\%$ в год. Сколько будет через $4$ года?
7. Оборудование стоит $500\,000$ ₽ и дешевеет на $15\,\%$ в год. Сколько оно будет стоить через $3$ года?
8. За сколько лет вклад под $20\,\%$ годовых увеличится не менее чем вдвое?
9. Величина три года подряд уменьшалась на $10\,\%$. На сколько процентов она уменьшилась всего?
10. Вклад $40\,000$ ₽ под $8\,\%$ на $3$ года: сравни простой и сложный процент.
11. Цена выросла на $10\,\%$, потом ещё на $10\,\%$. На сколько процентов всего?
12. Цена снизилась на $20\,\%$. На сколько процентов её надо теперь поднять, чтобы вернуть исходную?

Ответы и пояснения

1. $2500\cdot1{,}12=2800$ ₽.
2. $2500\cdot0{,}88=2200$ ₽.
3. $30\,000\cdot1{,}06^2=30\,000\cdot1{,}1236=33\,708$ ₽.
4. $30\,000\cdot(1+0{,}12)=33\,600$ ₽; сложный процент дал на $108$ ₽ больше.
5. Множитель $1{,}25\cdot0{,}75=0{,}9375$, значит цена снизилась на $6{,}25\,\%$.
6. $20\,000\cdot1{,}03^4=20\,000\cdot1{,}12550881=22\,510{,}1762$, то есть примерно $22\,510$ человек. Дробных людей не бывает — модель приближённая.
7. $500\,000\cdot0{,}85^3=500\,000\cdot0{,}614125=307\,062{,}50$ ₽.
8. $1{,}2^3=1{,}728<2$, а $1{,}2^4=2{,}0736\ge2$. Ответ: за $4$ года.
9. Множитель $0{,}9^3=0{,}729$, значит уменьшение на $27{,}1\,\%$, а не на $30\,\%$.
10. Простой: $49\,600$ ₽. Сложный: $40\,000\cdot1{,}259712=50\,388{,}48$ ₽. Разница $788{,}48$ ₽.
11. Множитель $1{,}1^2=1{,}21$, то есть рост на $21\,\%$.
12. Нужен множитель $\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25$, то есть повышение на $25\,\%$.

Сверимся с прогнозом: после $+20\,\%$ и $-20\,\%$ цена не возвращается, а падает на $4\,\%$; за два года под $10\,\%$ вклад растёт на $21\,\%$; удвоение при $15\,\%$ наступает за $5$ лет.

Итог

• Изменение на $p$ процентов — это умножение на множитель $k=1+\dfrac{p}{100}$.
• Сложный процент даёт геометрическую прогрессию: $A_n=A_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n}$; простой процент — арифметическую.
• Последовательные проценты перемножаются множителями, а не складываются; база у каждого своя.
• Экспоненциальный рост всегда обгоняет линейный — сначала незаметно, потом стремительно.

Дальше — практикум: там вид прогрессии не будет назван, и первым шагом каждой задачи станет вопрос «что здесь прибавляется, а что умножается?».

← Геометрическая прогрессия · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным