3.3 Теорема Виета

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: дискриминант и формула корней, разложение на множители

Решим по формуле уравнение $x^2-13x+40=0$:

$D=169-160=9,\qquad x_{1,2}=\frac{13\pm3}{2},\qquad x_1=8,\quad x_2=5.$

Теперь посмотри на два числа в ответе и на два числа в уравнении:

$8+5=13,\qquad 8\cdot5=40.$

Сумма корней совпала с коэффициентом при $x$ (с обратным знаком), произведение — со свободным членом. Совпадение?

◎ После урока ты сможешь

• формулировать и доказывать прямую теорему Виета
• подбирать корни приведённого уравнения по сумме и произведению
• применять обратную теорему Виета для составления уравнения по корням
• раскладывать квадратный трёхчлен на множители через его корни

Прогноз до вычислений

1. Угадай корни уравнения $x^2-7x+12=0$, не считая дискриминант.
2. Что произойдёт с корнями, если у второго коэффициента поменять знак: $x^2+7x+12=0$?

Эксперимент: два числа вместо формулы

Задай $p$ и $q$ и посмотри на таблицу всех пар целых чисел с произведением $q$. Подходит ровно та пара, у которой сумма равна $-p$.

Лаборатория теоремы Виета

Сумма и произведение вместо формулы корней

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 пара корней полностью описывается двумя числами: сумма равна −p, произведение равно q. Проверь, когда этого хватает, а когда нет.

x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

Подобрать корниСоставить уравнение

Коэффициент p −7

−+

Целое от −20 до 20

Свободный член q 12

−+

Целое от −48 до 48

x² − 7x + 12 = 0→x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12

Все пары целых чисел с произведением 12

Первое число	Второе число	Их сумма	Совпадает с −p = 7?
−12	−1	−13	нет
−6	−2	−8	нет
−4	−3	−7	нет
3	4	7	да — это корни
2	6	8	нет
1	12	13	нет

=

Подходит пара 3 и 4: сумма 7, произведение 12.Проверка по Виету: x₁ + x₂ = −p = 7 и x₁ · x₂ = q = 12.

↺ Вернуть пример

Поставь $q=12$, а $p$ меняй. При $p=-7$ подходит пара $(3;4)$, при $p=-8$ — пара $(2;6)$, при $p=-13$ — пара $(1;12)$. А при $p=-5$ подходящей пары нет: дискриминант отрицательный, корней нет вообще.

Прямая теорема

∴ Теорема Виета

Если приведённое квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то

$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q.$

Для неприведённого уравнения $ax^2+bx+c=0$ соотношения такие:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Доказательство короткое. Пусть $D=p^2-4q\ge0$, тогда по формуле корней

$x_1=\frac{-p-\sqrt D}{2},\qquad x_2=\frac{-p+\sqrt D}{2}.$

Складываем — корни взаимно уничтожаются:

$x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt D-p+\sqrt D}{2}=\frac{-2p}{2}=-p.$

Перемножаем — работает разность квадратов:

$x_1\cdot x_2=\frac{(-p)^2-(\sqrt D)^2}{4}=\frac{p^2-D}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=q.$

При $D=0$ оба корня совпадают, и равенства остаются верными: $x_1=x_2=-\dfrac p2$, сумма равна $-p$, произведение равно $\dfrac{p^2}{4}=q$.

Обратная теорема: она и делает подбор законным

Прямая теорема говорит: если корни есть, то сумма и произведение такие-то. Для подбора нужна обратная формулировка.

∴ Обратная теорема Виета

Если числа $m$ и $n$ таковы, что

$m+n=-p\qquad\text{и}\qquad m\cdot n=q,$

то $m$ и $n$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, и других корней у него нет.

Доказательство — одна строчка. Подставим $p=-(m+n)$ и $q=mn$:

$x^2+px+q=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n).$

Произведение равно нулю ровно при $x=m$ и $x=n$ — больше ни при каких значениях.

Именно поэтому подобранная пара не требует дополнительной проверки дискриминантом: если сумма и произведение сошлись, числа гарантированно являются корнями.

✦ Разложение трёхчлена на множители

Из того же равенства получается формула разложения. Если $D\ge0$ и корни равны $x_1$, $x_2$, то

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

Например, $2x^2-5x+2$ имеет корни $2$ и $\dfrac12$, поэтому

$2x^2-5x+2=2(x-2)\left(x-\frac12\right)=(x-2)(2x-1).$

Проверка раскрытием скобок: $(x-2)(2x-1)=2x^2-x-4x+2=2x^2-5x+2$.

Разобранные примеры

Знаки подсказывают, где искатьРазбираем вместе

Решим $x^2+5x-14=0$ подбором.

Произведение корней равно $-14$ — оно отрицательно, значит корни разных знаков. Сумма равна $-5$, значит по модулю больше отрицательный корень.

Перебираем пары с произведением $-14$: $(-1;14)$ даёт сумму $13$; $(-14;1)$ даёт $-13$; $(-2;7)$ даёт $5$; $(-7;2)$ даёт $-5$ — подходит.

Корни: $x_1=-7$, $x_2=2$. Проверка: $49-35-14=0$ и $4+10-14=0$.

Оба корня одного знакаРазбираем вместе

Решим $x^2-9x+20=0$.

Произведение $20$ положительно — корни одного знака. Сумма $9$ положительна — значит оба корня положительны.

Пары с произведением $20$: $(1;20)$, $(2;10)$, $(4;5)$. Сумму $9$ даёт последняя.

Корни: $4$ и $5$. Проверка: $16-36+20=0$ и $25-45+20=0$.

Составить уравнение по корнямРазбираем вместе

Найдём приведённое уравнение с корнями $-3$ и $6$.

$p=-(x_1+x_2)=-(-3+6)=-3,\qquad q=x_1\cdot x_2=-18.$

Получается $x^2-3x-18=0$. Проверим формулой: $D=9+72=81$, $\sqrt{81}=9$, $x=\dfrac{3\pm9}{2}$ — это $6$ и $-3$. Совпало.

Неприведённое уравнениеРазбираем вместе

Для $3x^2-8x+4=0$ теорема даёт дробные соотношения:

$x_1+x_2=\frac{8}{3},\qquad x_1\cdot x_2=\frac43.$

Подбор здесь уже неудобен, но проверить готовый ответ легко. По формуле корней $D=64-48=16$, значит $x=\dfrac{8\pm4}{6}$, то есть $2$ и $\dfrac23$.

Проверка по Виету: $2+\dfrac23=\dfrac83$ и $2\cdot\dfrac23=\dfrac43$. Оба соотношения выполнены.

Проверка понимания

Уравнение x² + 3x − 10 = 0 имеет два корня. Чему равны их сумма и произведение?

• А. Сумма 3, произведение −10
• Б. Сумма −3, произведение −10
• В. Сумма −3, произведение 10

! Минус живёт только в сумме

Самая частая ошибка — записать сумму корней равной $p$ вместо $-p$. Проверяй на примере, который знаешь наизусть: у $x^2-5x+6=0$ корни $2$ и $3$, их сумма $5$, а $p=-5$. Минус стоит именно в сумме; произведение берётся с тем же знаком, что и $q$.

Вторая ловушка — подбор без остановки. Если целая пара не находится за несколько попыток, это не значит, что корней нет: у уравнения $x^2-4x+2=0$ корни $2\pm\sqrt2$, и они прекрасно существуют. Подбор — быстрый инструмент для целых корней, а универсальный способ по-прежнему один: дискриминант.

Третья — забыть про делитель $a$. У уравнения $2x^2-9x+4=0$ сумма корней равна $\dfrac92$, а не $9$.

Практика

В задачах $1$–$6$ подбирай корни по теореме Виета и обязательно проверяй обе величины: сумму и произведение.

1. $x^2-7x+12=0$
2. $x^2+x-6=0$
3. $x^2-2x-15=0$
4. $x^2+8x+15=0$
5. $x^2-11x+30=0$
6. $x^2+4x-21=0$
7. Не решая уравнение $2x^2-9x+4=0$, найди сумму и произведение его корней.
8. Составь приведённое квадратное уравнение с корнями $2$ и $-9$.
9. Один из корней уравнения $x^2+px-24=0$ равен $3$. Найди второй корень и число $p$.
10. Разложи на множители трёхчлен $x^2-x-12$.
11. Можно ли подобрать целые корни у уравнения $x^2-4x+5=0$?
12. Можно ли подобрать целые корни у уравнения $x^2-4x+2=0$?

Ответы и пояснения

1. Сумма $7$, произведение $12$: корни $3$ и $4$.
2. Сумма $-1$, произведение $-6$: корни $-3$ и $2$.
3. Сумма $2$, произведение $-15$: корни $5$ и $-3$.
4. Сумма $-8$, произведение $15$: корни $-3$ и $-5$ (оба отрицательны).
5. Сумма $11$, произведение $30$: корни $5$ и $6$.
6. Сумма $-4$, произведение $-21$: корни $-7$ и $3$.
7. $x_1+x_2=-\dfrac{-9}{2}=4{,}5$ и $x_1x_2=\dfrac42=2$ — это видно сразу, без решения. Если всё же решить: $D=81-32=49$, корни $\dfrac{9\pm7}{4}$, то есть $4$ и $0{,}5$. Их сумма равна $4{,}5$, произведение равно $2$ — сошлось.
8. $p=-(2+(-9))=7$, $q=2\cdot(-9)=-18$, уравнение $x^2+7x-18=0$. Проверка: $D=49+72=121$, корни $\dfrac{-7\pm11}{2}$ — это $2$ и $-9$.
9. Произведение корней равно $-24$, поэтому второй корень равен $-24:3=-8$. Сумма корней $3+(-8)=-5$, а она равна $-p$, значит $p=5$. Проверка в $x^2+5x-24=0$: $9+15-24=0$ и $64-40-24=0$.
10. Корни: сумма $1$, произведение $-12$, то есть $4$ и $-3$. Значит $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$.
11. Нет, и целых, и любых других: $D=16-20=-4<0$, корней у уравнения нет.
12. Целых нет, но корни существуют: $D=16-8=8$, корни $2\pm\sqrt2$. Проверка по Виету: сумма $4$, произведение $4-2=2$.

Итог

• Прямая теорема Виета связывает корни с коэффициентами: $x_1+x_2=-\dfrac ba$, $x_1x_2=\dfrac ca$.
• Обратная теорема делает подбор законным способом решения, а не догадкой.
• Подобранная пара сразу даёт разложение $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Виет удобен для целых корней приведённого уравнения; во всех остальных случаях остаётся дискриминант.

Мы научились решать квадратные уравнения тремя способами. Дальше самое интересное: научиться получать такое уравнение из текста задачи — и понимать, какой из найденных корней имеет смысл.

← Полный квадрат и дискриминант · Дальше: текстовые задачи →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным