2.2 Одночлены и многочлены

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: тождественные преобразования, подобные слагаемые, степень с натуральным показателем

Три ученика записали один и тот же ответ:

$2\cdot a\cdot a\cdot 3b,\qquad 6ba^2,\qquad 6a^2b.$

Все три записи задают одно число при любых $a$ и $b$. Но сравнивать такие ответы неудобно: чтобы понять, совпали они или нет, приходится каждый раз преобразовывать. Нужна единая форма записи — тогда одинаковые ответы будут выглядеть одинаково.

◎ После урока ты сможешь

• приводить одночлен к стандартному виду и находить его степень
• записывать многочлен в стандартном виде и определять его степень
• складывать и вычитать многочлены, приводя подобные члены
• раскрывать скобки, перед которыми стоит знак минус

Прогноз до вычислений

Многочлен $4x^2-3x+7-x^2+5x$ содержит пять членов.

• Сколько членов останется после приведения подобных?
• Изменится ли при этом степень многочлена?
• Изменится ли значение выражения при $x=2$?

Запиши прогноз, затем проверь себя по ходу урока.

Одночлен и его стандартный вид

∴ Одночлен

Одночлен — произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Отдельное число и отдельная буква тоже считаются одночленами.

Одночлен записан в стандартном виде, если он равен произведению одного числового множителя (он стоит первым и называется коэффициентом) и степеней различных переменных.

Степень одночлена — сумма показателей всех входящих в него переменных.

Приведём к стандартному виду:

$2\cdot a\cdot a\cdot 3b=(2\cdot3)\cdot(a\cdot a)\cdot b=6a^2b.$

Здесь коэффициент равен $6$, а степень одночлена равна $2+1=3$.

Ещё примеры: у $-x^2y^3$ коэффициент равен $-1$, степень $2+3=5$; у числа $7$ коэффициент равен $7$, а степень равна $0$ — переменных нет.

Многочлен и приведение подобных членов

∴ Многочлен

Многочлен — сумма одночленов. Эти одночлены называют членами многочлена.

Многочлен записан в стандартном виде, если каждый его член — одночлен стандартного вида и среди членов нет подобных.

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов.

Подобные члены — это члены с одинаковой буквенной частью, ровно как подобные слагаемые из 6 класса. Разложи по группам многочлен

$3a-5b-a+4b+6-2$

и приведи подобные члены.

Лаборатория подобных слагаемых

Сначала разложить по группам, затем сложить коэффициенты

Буквенная часть — ярлык группы. Числа без букв образуют отдельную группу.

6 слагаемых

РазложитьПривести

3a− 5b− a+ 4b+ 6− 2

a0b0Числа0

Выбрана группа

Слагаемые с a

В этой группе пока нет разложенных слагаемых.

0

Выбери карточку, затем укажи для неё группу.Разложено 0 из 6. Одинаковая буква означает одинаковую буквенную часть.

↺ Вернуть пример

Получается $2a-b+4$. Значение не изменилось: при $a=3$, $b=-2$ исходная запись даёт $9+10-3-8+6-2=12$, а короткая — $6+2+4=12$.

Так же приводится к стандартному виду многочлен из прогноза:

$4x^2-3x+7-x^2+5x=3x^2+2x+7.$

Членов стало три, степень осталась равной $2$, значение не изменилось: при $x=2$ обе записи дают $23$.

Сложение и вычитание

Многочлены складывают и вычитают, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При сложении скобки просто исчезают, при вычитании знак меняется у каждого члена второго многочлена.

Лаборатория многочленов

Действие с многочленами по шагам

Меняй коэффициенты и смотри, как складываются подобные члены и откуда берётся каждый член ответа.

(x² − 2x + 3) − (4x − 5)

СложитьВычесть

Первый многочлен, при x² 1

−+

Целое число от −20 до 20.

Первый многочлен, при x −2

−+

Целое число от −20 до 20.

Первый многочлен, свободный член 3

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, при x² 0

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, при x 4

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, свободный член −5

−+

Целое число от −20 до 20.

(x² − 2x + 3) − (4x − 5)=x² − 6x + 8

Подобные члены стоят в одной строке

Столбик по степеням

Степень	Первый	Вычитаем	Результат
x²	1	0	1
x	−2	4	−6
1	3	−5	8

1. 1

   Раскрываем скобки. (x² − 2x + 3) − (4x − 5) = x² − 2x + 3 − 4x + 5.

2. 2

   Приводим подобные. Складываем коэффициенты в каждой строке таблицы — буквенная часть при этом не меняется.

3. 3

   Записываем ответ. x² − 6x + 8; степень равна 2.

Проверочное значение x 2

−+

Целое число от −10 до 10.

=

(x² − 2x + 3) − (4x − 5) = x² − 6x + 8Числовая проверка при x = 2: слева 3 − 3 = 0, справа 0. Значения совпали. Совпадение в одной точке — не доказательство, но любое расхождение сразу указывает на ошибку.

↺ Вернуть пример

В таблице лаборатории каждая строка — одна степень. Подобные члены всегда оказываются в одной строке: складывать можно только их коэффициенты, а буквенная часть остаётся прежней.

Вычтем (3x² − 5x + 2) − (x² − 5x − 4)Разбираем вместе

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому знак меняется у всех трёх членов:

$3x^2-5x+2-x^2+5x+4.$

Приведём подобные члены по степеням:

$3x^2-x^2=2x^2,\qquad -5x+5x=0,\qquad 2+4=6.$

Ответ:

$(3x^2-5x+2)-(x^2-5x-4)=2x^2+6.$

Проверка при $x=1$: слева $(3-5+2)-(1-5-4)=0-(-8)=8$, справа $2+6=8$.

! Минус поменял знак только у первого члена

Запись $(5a-3)-(2a-7)$ часто превращают в $5a-3-2a-7$. Это ошибка: минус относится ко всей скобке, поэтому $-(-7)=+7$.

Верно так: $5a-3-2a+7=3a+4$. Проверка при $a=1$: слева $2-(-5)=7$, справа $3+4=7$.

Проверка понимания

Какова степень одночлена −4a³b²?

• А. 3
• Б. 5
• В. 9

Практика

1. Приведи к стандартному виду одночлен $2a\cdot(-3)\cdot a^2b$ и назови его степень.
2. Назови коэффициент и степень одночлена $-x^2y^3$.
3. Приведи многочлен $4x^2-3x+7-x^2+5x$ к стандартному виду и назови его степень.
4. Найди степень многочлена $5a^3b-2a^2+7$.
5. Выполни сложение: $(2x^2+3x-1)+(x^2-5x+4)$.
6. Выполни вычитание: $(5y^2-2y+6)-(2y^2+3y-1)$.
7. Раскрой скобки: $a-(b-c+d)$.
8. Упрости $(3m-4)-(m-4)$.
9. Стороны треугольника равны $x+2$, $2x-1$ и $x+5$. Запиши периметр многочленом стандартного вида.
10. Найди многочлен, сумма которого с $2x-3$ равна $5x+1$.

Ответы и пояснения

1. $2\cdot(-3)\cdot a\cdot a^2\cdot b=-6a^3b$; степень $3+1=4$.
2. Коэффициент $-1$, степень $2+3=5$.
3. $3x^2+2x+7$; степень $2$.
4. Степени членов: $3+1=4$, $2$ и $0$. Степень многочлена равна $4$.
5. $3x^2-2x+3$.
6. $5y^2-2y+6-2y^2-3y+1=3y^2-5y+7$.
7. $a-b+c-d$.
8. $3m-4-m+4=2m$.
9. $(x+2)+(2x-1)+(x+5)=4x+6$.
10. $(5x+1)-(2x-3)=5x+1-2x+3=3x+4$. Проверка: $(3x+4)+(2x-3)=5x+1$.

Итог

• Стандартный вид даёт единую форму записи, в которой ответы можно сравнивать напрямую.
• Степень одночлена — сумма показателей переменных, степень многочлена — наибольшая степень его членов.
• Складывать можно только коэффициенты подобных членов; буквенная часть при этом не меняется.
• Знак минус перед скобкой меняет знак каждого её члена.

Сложение и вычитание освоены. Дальше — действие, которое порождает новые степени: умножение многочленов.

← Тождества и преобразования · Дальше: умножение многочленов →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным